2023届湖北省重点高中智学联盟10月联考试题含答案

数学试题

考试时间：2022年10月12日下午15:00-17:00试卷满分：150分

一、单项选择题：（本大题8个小题，每小题5分，总分40分，每题有且仅有

一个选项正确。）

1.已知集合A={x|F-w,v<0},B={.V|/HV<I},若〃豫，则实数m的取值范围是（）

A.(O，

2.已知向量J、B满足"=(后’2后卜

A.5B.6

3.在A48c中，已知a+b=—^―+—L

,则&48c的形状一定是（）

tanAtani

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

|x-a+3|,x>l

4.函数在定义域上是单调增函数，则实数。的取值范围是（

log。x,0<x<l)

A.0<a<lB.3<a<6C.l<aW4D.lVa这2

5.已知A48c三边3C,AC,4B上的高分别为L、色、1,则cos4=（）

22

A.BB.也C.也D.一迫

2244

6.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=%log2（l+M）.它表示：在受噪声干挠

的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽沙、信道内信号的平均功率S、信道内部

的高斯噪声功率N的大小，其中捻叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽V,而将信

噪比£从1000提升至2000,则C大约增加了（）•

N

A.10%B.30%C.50%D.100%

7.设函数/（x）=2sin（；x+夕卜1、0弓夕《女）在［°，5兀］内恰有3个零点，则（P的取值范

围是（）

c兀

A.0-

3U图

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8.直线y=k与两条曲线/(x)=j和g(x)=叱共有三个不同的交点，并且从左到右三

个交点的横坐标依次是苞、、2、x3,则下列关系式正确的是()

2

XJX

A.x2=X,4-x3B.22=X+3C.X2=XjX3D.x2=X]X3

二、多项选择题：(本大题4个小题，每小题5分，全对5分，漏选2分，错选

0分。)

9.已知3=(1,2),6=(-4,/),则()

A.若a〃g,则f=8B.若G15，贝！1/=2

的最小值为5D.若向垃2与向量石的夹角为钝角，贝h<2

10.下列命题正确的是()

A.直线N=x是曲线/(x)=lnx+ln(2-x)+l的一条切线

B.在MBC中，“Z>3”是“sin力>sinB”的充要条件

ww

C.命题“Vx>0,log2(x+l)>0的否定为“玉0>O,log2(x0+1)<0

D.tan(%r+a)=tana,A:eZ

11.已知函数/(x)=cos|x|-2卜inx|,以下结论不正确的是()

•.•■.•«;1,,

.i一

A.乃是函数/(x)的一个周期B.函数/(x)在0,早上单调递减

C.函数/(x)的值域为［-^,1］D.函数/(x)在［一2见2句内有6个零点

三、填空题：(本大题4个小题，每小题5分，总分20分。)

13.角a的终边经过点P(加,4),且cosa=-',则tana的值为1

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14.代数式（2log,3+log83）（log32+log92）的值为.

15.已知14x44,则函数=）x：+x——的值域为

X+x+4x+4

16.若函数/（x）=2x-cosx-〃［在（-万，万）上存在唯一的零点须，若函数

8。）=丫2-而》-"比在（一肛》）上存在唯一的零点丫2,且再＞々，则实数旭的取值

范围是.

四、解答题：（本大题6个小题，总分70分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）

已知数列S”｝的前〃项和为，，q=l,a“+LS"+l（"eN*）,数列｛%｝满足"=1,

=2。"+".

（1）求数列MJ、｛4｝的通项公式;

（2）若数列｛%｝满足％=鲁，求证：q+q+…+C.＜：.

DR+i2

18.（本小题12分）

19.（本小题12分）

2022年9月28日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以3:0的比分

酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们

•,*...,•P••,•■

知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支

球队先胜3局即获胜，比赛结束）.比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0

或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分・已知甲、

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2

乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为5.

(1)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(2)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率・

I,'

20.(本小题12分)

已知向量用=(sinx,l}〃=^-s^cosx,-目.设函数/(、)=(析+”>*

(1)求函数/(x)的最小正周期；

(2)在&中，角A,B,C的对边分别为0、氏c,4cB的角平分线交45于

点D.若/(C)恰好为函数/㈤的最大值，且此时C£)=/(C),求3a+b的最小值.

21.(本小题12分)

已知直线L:y=--x+2与椭圆—+^-=1相切于点“，与直线

1z242

/2：y=#x+/相交于点N(异于点〃).

(1)求点M的坐标；

(2)直线4交E于点工(玉,必)，两点，证明：*NMs^MNB,

22.(本小题12分)

己知函数/(x)=e2R-x,加€火.

(1)若加>0,求函数/(x)的单调区间；

(2)若任意xNO,f(x)>l+mx2,求m的取值范围.

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湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高三年级10月联考

参考答案

题号123456789101112

答案CBBCCADDBCBCDABDABC

4

16.[%，2乃+1)

13.——14.215.5a

3

部分试题的简答：

7.解：：/(x)=0即sin(gx+，=；,

/.—x+0=—F—x二----------&2k兀,keZ,

2626

x=三一2肢+4左万或x=葺-2。+4k兀,keZ,

当人＜0时，所有根都小于零，当我22时，所有根都大于5万，

JT77

y-2^>0y-2^<0

由题可得:或v

军一2。+4万>57r57r...

--2^+4^<5兀

解之得：代或王工.故选D.

632

XInx

(1)先说明：方程二二——有唯一零点；

ex

XInxxInx

(2)再说明：X＜%时，一＞—1，JO当时，一＜一，即在说明：当直线歹=左经过唯

xexx

一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点。

%,x,Inx,inx,

(3)此时：0<西<1<々<e<》3,且-V=-T="---•=——......①

1212

3e*ex2x3

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—0Ine1Ine2Inx,inx,

对上式同构可得：—；——―-——----------,

2

e'ex2x3

1

•J0</',》2<e且函数g(x)=@i在(0,e)单调递增，：〃=々，X,=Inx2...②

又xe迎,彳3>e,且函数g(x)=5)在(e,+oo)上单调递减，

e*=毛.............③

2

由方程②③可得：七・七=In&・e*,再结合方程①可得：x2=x,x3.故选D.

12.(1)/(x)有唯一的零点x=l,

且当xe(O,l)时，/(x)<0:当xe(l,+8)时，/'(x)>0,排除D答案.

(2)当左=0时，/(x)=lnx：

17.(1)解:由a.+i=S,+l,得=S“_]+1(”22),

所以%+i-4=%("*2)，即%+i=24(»>2)

又由卬=1,得。2=2,满足。的=2%，所以a“=2i..................................3分

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1

而bn+t-b„=2an=2",所以b*—b、=2"-'+2”2+...+2,

所以"=2n~l+2n~2+…+21+1=—；］，-2"-1；5分

(

（2）证明：因为q,=(2»-l)(2--1)4r-l2--1

I,I111

所以q+七+…C”=_(-i--------:-----HF--------r----H丁一严产--

'2"2V2'-122-122-123-12n-i2z,42"-2

10分

18.(1)证明：由题意可知QE_L£>C,又/ZC8=90°,则8C_L4C

5LDE//BC,所以。EUC,又/CCDC=C,AC,OCu平面ZCD,

所以。E_L平面NCA；.4分

（2）解：方法一：因为平面BCOE_L平面力8C,平面8COECI平面48c=8C,BCVAC,

所以“C_L平面8COE,连结C£,

故/4EC即为直线ZE与平面B8E所成的角，。.5分

AC1

则有sin/4EC=—=-,过点力作///BC,则面/QED面48。=/,

AE4

所以cos4g条半

故异面直线DE与AB所成角的余弦值为叵

10分

6

方法二：由（1）可得，CAICB,CA1CD,CD1CB...............5分

以点C为坐标原点，。为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设4C=4,8C=b,

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则：”(a,0,0),0(0,0,2),E(0也2),3(0,仇0),

75=(—凡0,2),瓦=(0/,0),至=(—凡6,2),0

■：CD1面Z8C,

面N8C的法向量而=(0,0,2).

设面的法向量〃=(x,y,z),

一___[-ax+2z=0

,**n±AD,n±DE,_八，不妨令x=2y=0,z=a

=0

n=(2,0,a),

I/----Ai\n^CD\ai

由题得：cos(A7,CD)\=^u_=.=-r=,解得：a=\......7分

।'〃卜|同|45+1V5

・・・AC1面BCDE，.二WiBCDE的法向量为CA=(1,0,0)

I/------\||C4*JElIi

^.4"q解之得：bW……9分

.•.瓦=(0,而,0),西-i,VTT,o)

由题得：|cos(DE,AB)\=,

异面直线DE与AB所成角的余弦值为叵

10分

6

19.解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

p(x=o)=(‘+c；q(yU，尸(丫=1)=仁.(箝(94=白，

353JyJ33ol

P(X=2)=G•《)2•(；『[=5，P(X=3)=/.4)2.l.|+(I)'=11.........4分

j3Joi333JZ/

所以X的分布列为

X0123

81616

P

98?8?27

所以数学期望E(X)=0xg+lx2+2x《+3x11=詈.................6分

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（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A,

设第i场甲、乙两队积分分别为X，工，则X,=3T，z=l,2,

因两队积分相等，所以队|+3=岸+所，即％+乂=（3-工）+（3-匕），则X1+X?=3,

所以P(A)=P(M=0)尸(氏=3)+P(X、=1)P(玛=2)+P(X\=2)尸(乙=1)+P(X\=3)尸(匕=0)

1168161681611120

——yX/1_yL_V_—.........................................................6分

-92781818181279~6561

20.解：(1)vm=(sinx,l),/7=[y/3cosx,--|,:.m+n=\sinx+>/3cosx,—

1

f(x)=sinx(sinx+V3cosx)+-

2

C0SA

二sin?x+Gsinxcosx+-=~^+2^sjn2r+—=sinf2%--1+1...........4分

2222I

则/⑺的最小正周期为35.....................................................................5分

（2）方法一：由八。）恰好为函数/*）的最大值可得f（C）=sin（2C-]+l=2,

即sin■.-0<C<7r,则可解得C=。，则8=/(C)=2,...7分

CDAD

在△ZCD中,由sin'-sin’C，可得

sinA

2

CDBD

11

在△88中,由蓊=正’可得如痴-------|--------...............8分

sinAsin3

sinJ

则可得。=H------....................................10分

sinB

3sinAsinB

3(74-6H--；----1—；---

sinBsinA

,/sin^>0,sinS>0,

_/3sinA_sin8、

「•3a+b>+2J-----x---------

Vsin5sinA

当且仅当百sin/=sin8时，等号成立，故3a+b的最小值为4+随......12分

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方法二：同上：解得c=。，则8=/(C)=2,7分

等面积法可得：S6MD+SABCD=S.CD

即：-CA-CD^m30°+-CB-CD-sin30°=-C4・C8・sin60°,

2口，24224

设"一方='且人一百=一则"耳+祖n”L耳+养

3a+6=接+3/+:2-3+4,当且仅当3=2时即4=2+2，1且b=6时,等

V33/V3333

号成立.

•••34+b的最小值为4+随........................................12分

3

y=------x+2.—.—

21.解：⑴解：r2,消歹得：/—2瓜+2=0,解得：x=4i，

x1+2y2=4

故〃(0,1)..................................................................................................3分

y=---x+2(无A

(2)证明：联立彳广>解之得：NV2--+—........6分

V2

"丁+»k)

y=—x-\"t

联立42，消V得:x2+y/2tx+t2-2-0>由题可得：△=8-2/>0,

x2+2y2=4

X|+%2==厂—2.

X|一近一与t,|阴=Jl+g卜-近一与t.........8分

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|w|2=|网|网

,又ZANB=AMNB,：.\ANMs\MNB......12分

NMNB

22.解：⑴/(x)=2加e2mx-1,>o,二/(x)在及上单增,令/(x)=0,解得

1,1

x=—In—,

2m2m

则当X』—8,『ln，一］时，/'(x)<0；当xe(『ln丁,+oo］时，/'(x)>0.

V2m2m)\2m2m)

.••/(X)的递减区间为一哈「In丁；递增区间为Lnj4分

I2m2m/2m2m

(2)方法一：设g(x)=/(x)-(mx2+l)=e2s-mx2—x-l,xZ0,g(0)=0；

g(x)=2me2mx-2mx-1,x>0,g(0)=2m-\；

g(x)=(2m)2-2m=2m(2me2n,x-1)=2mf(x),x>0

①当2〃?—120即加2g时，g”(x)N0在［0,