2023届高中数学大题二轮复习第46讲双变量问题-解析版

第46讲双变量问题

经过前面对极值点偏移的学习，我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识，本节讲解

一般的双元问题，其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多，都需要把双元问题转换成一元

问题来解决，其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法.

韦达代换消元

韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法，其题目特征是所求的双变量占，々为一元

二次方程ax2+hx+c=O的两个解,其一般解题步骤为：

hr

第一步:找到两个变量的关系,X[+w=--,x,x=-.

a2a

第二步:统一变量，把要求解的双变量问题凑出韦达，把根与系数的关系带进去，消掉参数和多

余变量，统一为一元变量.

第三步:构造函数求【解析】，构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题.

【例1】函数/(工)=0¥-"一10¥(0£/?),若〃〉不函数/(%)有两个极值点不，%(X<&)，求

/(X)-/(尤2)的取值范围•

12

【解析】的定义域为(O,+8)J'(x)=a+£—：=竺三产.

2

设方程/'(x)=0,即ax-x+〃=0得两根为3,%2,且。<不<£.

7?1

由△=1-4/〉0且。>一得一<〃<一.

552

；=1,X]+x>——,2<X|H—=—v—,—<演<l^cl<x<2.

f(x})-f(x2)=cix}---In%1-ax2---lnx2

芭IXZ2

a.a.

ciXy-----[nX]----ctXy+lnX)2ciXy-----InXj,①

IX；

2八%

.CIX：-x4-6Z=0,.'.«=—,.

有+1

21\’3」鬲]

%—11r

代入①式得4％)-/(%)=2-4----1nxi=2

x：+l)穿+12〃

令x；=f，贝<f<1,g(t)=-~---Inr,-<r<l,g'(r)=—~^-<0.

14v7t+\24v72r(r+l)2

.•.g⑺在《“上单调递减，从而g⑴<g⑺<g]£|,

即0<g(f)<ln2-：

•••0</(A；)-/(A2)<21n2-1

【例2】函数f(x)=e——e*£R.

(1)讨论的单调性.

(2)若/(x)存在两个极值点斗,々，X<兀2•证明：/(百)一/(W)>(。-2乂A一e").

x

人/、(1-ae

【解析】(1)//(x)=-ex-ex+a=-i—+ex\+a=-7-------.

c，+4厘+二)-2.

当42时,尸(力„0，此时外力在R上单调递减.

当。>2时，由((力=0【解析】Wx=ln-~~彳或x=]n〃+，；彳

y=，是增函数,此时/(力在-8,lnf心和in空为三,+8上单调递减，在

\7\/

始纥用工加”孚三)上单调递增.

(2)证明由⑴题知a>2,.\e*•浮=1,

x]+x2=0,/.X)=-x2,x2=-xr

x]<x2,:.x1<0.

xXiXl

/(玉)-/(x2)-(«-2)卜*_1)=("/_e"+时)_-e-+ax^-(a-2)(e—e~)

=卜小_炉+时)一(e*—e』_叫)_(4—2乂--ef)=。卜』一1+2不).

令g(f)=e-'-e，+2f(r<0),

二g（。在（T»,0）上是减函数,g（f）＞g（o）

e-x,-ex,+2%)>0

・••/（百）-/（工2）＞（4-2乂9-9）.

【例3】函数/（力=嘉o*不且/"）存在两个极值点x，z，求证：/（百）+/仇）＜e2亨+]

/+1)-exlax/(a?2奴+1)

岛"(x)=

【解析】证明由/（6=

ax1+ax2+1)~

/（尤）存在两个极值点,，4〃2-4a＞0,:.a＞l.

令/（"=0得以2-2奴+1=0,「・不,”2是方程以2-2dX+l=0的两个根.

:.xx+x,=2,X[M=—e(O,l),

~a

且竭+1=2axlyax^+1=2ax2.

不妨设再<毛,则0<%<1<%<2,

______•)________=_-_-__-_-__-___+_I__-_-__-_-__-_-__-=__________________I

ax；+12or,2ax22a1%x2?

=1-X*x；*=+XC")=；[(2-xje”+&e2f1.令

/z(x)=(2-x)ex4-xe2-x(0<x<1),

/."(x)=-/+(2-x)e*+e2~x-xe2~x=(l-x)(ev+e2x)>0.

/?（x）在（0,1）上单调递增./?（%）＜/?（!）=2e.

，+］p-_1_1

•••/(%)+/(%)又已<万一..,・/(%)+/(々)<一^—.

【例4】函数/(太)=,工2一⑪+4地工,。。).

(1)若。〈0时/("在［l,e］上的最小值是1—ln2,求〃.

⑵若a.e,且不,工2是〃x)的两个极值点.证明：/(芭)+/(工2)<；储+W)-2e(其中e为自然

对数的底数642.71)

【解析】⑴"X)定义域是(O,+8)J"(x)=/-a+］=上卷土幺.

令g(x)=x?—2改+2。,对称轴左=。<0,1>«,^(1)=1>0,

二当x£［l,e］时,g(X)>0..(X)=>0..,./(%)在［10上单调递增.

/"L,=/(1)=；一。+掘2=：-1112,

解得。=-1.

(2)证明由f(x)有两个极值点az，则广("=o在(o,+8)上有2个不等的实根，即

△=4/-8。>0,解得。>2.

/一2利+勿=0在(0,+8)上有2个不等的实根，则，

4〉0

22

x,+x2=2a,x]x2=2a,xf+x；=(x,+x2)-2x]x2=4a-4a.

当。，时,/(5)+/(尤2)-3解+x；)+2e=aln4X[X2+天)一；(工；+考)+2

=cdnSa-2a2-—^4a2一4〃)+2e=a\n8a-3a2+a+2e.

令g⑷=a\nSa-3a2+〃+2e(a..c),g'(。)=ln8〃-6a+2(〃..e),

f

令h[a)=g\a)=ln8a-6a+2,h(<a)=--6=-——

a

当a.e时,“(a)<0,〃(a)在[e,+oo)单调递减h(e).

即g'(a),,g'(e)=ln8e_6e+2=(1+31n2)-6e+2=31n2-6e+3

<3-6e+3=6-6e<0

.g(a)在［e,+oo)上单调递减.

g(a),,g(e)=eln8e-3/+3e=e(l+31n2)-3e?+3e=e(31n2-3e+4)

<e(3-3e+4)=e(7-3e)<0.

.•.g(a)<0..,.原式成立，

即〃xJ+/(W)<；(x：+¥)-2e.

差式引参消元

所谓差式引参消元就是找玉-々这样的作差的式子，整体代换从而实现统一变量,其一般

解题步骤和“极值点偏移”的类似，通过变形/(内)=〃々),构造出玉-X?,令玉-赴=f,引人参

数r,用参数f表示出变量进而构造出一元函数.

[％=g。)

【例1】己知函数/(工)=入1,若0<X]<工2,且/(%)=〃X2)，求证：3%+工2>3.

[解析]证明由0<%〈龙2,且/(内)=/(工2)得・===~=玉/2-』.

设，=刍一»(，>0),则，％-％.

13/

可得X=—!t—，w=-t^e..•.要证3%+x,>3,即证td-只

e'-le'-l'e'-1e'-I

需证Q-3)3+3r+3>0.

设g(r)=Q_3)e'+3r+3(/>0),

贝iJg1/)=62)d+3.

令g)=(r-2)d+34ij〃(f)=(f-l)d.

当re(0,l)时,〃'(/)<(),〃(。单调递减.当/e(l,+8)时，”⑺>0,/?⑺单调递增.

/?(?)../?(l)=3-e>0,BRg()>0g(。在(0,+8)上单调递增.

g(r)>g(0)=0.3Xj+x2>3.

［例2］已知函数/(x)=me'-x-l,若〃x)的两个零点为再,当且当<々,求

(e*-e』)(、：、_".的取值范围.

【解析】由题意，〃箔"一七-1=0,桃/一式2-1=0.

设g(x)=(…)(/『)=公"f)=言|一(一).

令/一再=f«>0),g(/)=1^—r(/>0).

_2/_1

又g'(')=--e----1<。，，g⑺在(0,+8)上单调递减.g<g(o)=0.

(3+1)-

.-.g(f)£(-<»,0)

.•.(*-e*)［，/:-〃，)的取值范围为(F,0).

齐次分式引参消元

所谓齐次分式引参消元，其步骤与“极值点偏移”的类似，先根据已知条件变形出土，然

x2

后令「，用参数f表示出变量，:W，进而构造一元函数,将关于"待求的问题转化

为r的函数问题.

【例1】已知函数/(力=山一无+。.

⑴求函数/⑴的最大值.

⑵若函数/(x)存在两个零点百,工2(内<々).证明：21叫+lnx2<0.

【解析】⑴函数定义域是(0,+8),由题意/'")=上一1=」.

XX

当0vx<l时,/'(x)>0,/'(x)单调递增.当x>l时单调递减.

:.x=l时,取得唯一的极大值，也是最大值，即/⑴=-1+。.

⑵证明由(1)题知〃1)=。一1>0,即4>1时,/(x)有两个零，点X，W，(X|V“2)，

则3G(O,1),X2e(l,+oo).

由liW]-x]+a=Inx>—电+a=0得/一X=lnx2-lnx}=ln-=-.

Ax、ni,1rlnr

令/=上，贝卜〉l,四-%)=lnz,Xj=---,x2=%,/=----

X]t-\t-\

21nxi+g<0<=>In()<0<=>0<鼎41,片9)0显然成立.

要证21nxl+lnx2<0,即证否<1,

只要证<1,即证tin3r<«—1只”>1).

«-1，,

令g(f)=fl/r-(f-1)，,g(1)=0.g'(f)=In3t+31112f_3«_if,g，(1)=0

令〃(t)=g'(f),则+竿一6(r_l)=；[ln2/+21m_2/+2q,〃(l)=0.

令=ln2r+21nr-2t2+2t,m[t}=+y-4r+2=y(Inr+1—r+=0.

令/?(/)=lnr+l-2r+r,〃'，)=1一4/+1/〉0时,"(r)是减函数，

二(>1时,〃'(/)<"⑴=-2<0.〃⑺是减函数，〃⑺<九⑴=0,

即加(/)<0(/>1)./.〃?(/)是减函数,〃7(f)</n(l)=0.

/⑺<0,〃(。在，>1时是减函数,确</?(1)=0,即g'(f)<0.

二.g(。在(1,+8)上是减函数,g«)<g(l)=o.

."li?，-Q-Ip<0,即fl!?，<。一Ip.

综上,21叫+lnx2<0成立.

【例2】已知函数/(x)=四、-白2-匕有两个极值点，设函数的两个极值点分别为百,马,

且是..2,求实数a的取值范围.

%

【解析】f\x)=aex-x.由f'(x)=0得oe*=大,枇叱=X2(0〈玉vic/).

两式相除可得=至.令三=r(r.2)，则々=txx

:.*-以=乙则7=里

/—1

.1----In/

令的）==”..2）,小）=与广

/.(pQ)在［2,+oo)上单调递减.

.,.夕⑺”。(2)=；-ln2<0,即力'(。<0,因此力(/)在［2,+00)上单调递减.

.•/«啜收(2)=皿2,0<玉ln2.

又。=三,g(x)=土在［0,ln2)上单调

e1e

—In2.

2

齐次分式整体代换消元

所谓齐次分式整体代换消元就是变形出齐次分式土，然后整体代换土=r得出一元函数

x2x2

求解，一般步骤和“极值点偏移”的类似，通过将所有涉及3,々的式子转化为关于土的式子，整

体代换土=t，构造关于t的一元函数g(r)来求解.

X2

［例1］已知函数/(司=加-双。为常数，若函数/(可有两个零点%,天.证明：5工2〉1.

【解析】证明法一:齐次分式整体代换消元

不妨设工］〉/,］般|-ax}=0,liir2-ax2=0,.\\nx}+lru:2=«(x)+x2)

II/、1时!一1眸

In%1-lnx9=——------=a

司_工2

2

欲证明xlx2>e?,即证1叫+lnx2>2.In%)-blnx2=+/)，•二即证a>-----.

%!+x2

原命题等价于证明西二处>二一,即证In五土山.

由-X2Xj+X2x2X［+x2

令［=±">1,设函数/7(。=1皿-"二。1>1,则/«0=1-"学学a=立匕>0,

“r+1t(r+1)2t(t+1)2

为(i,+⑹上的增函数.注意到〃⑴=o,因此,>/2⑴=o.

于是，当t>1时，有于>―——.Inx+lnx>>2成立,x,x,>e2.

t+\

法二:参变分离换分式引参消元

1^lnxIru^x

a=--——2—<=>————2,

x,%lnx(xx

设X1<工2，,='，(/>1)，则*2=tX\，-1=t<=>11V+lllX|=t-

%InXjInXj

lie-、InrfiInrtint

反解出：InX]=-----,lnx9=\ntx,=lnr+------=------,

I~r-1t-\

故XjX2>e2=1叫+lnx2>2<=>Inr>

2.转化为一元函数求解，同上，略.

【例2】设*(x)=alnx-x,若夕(x)有两个相异零点否,工2,且X〈Z，求证:1nxi+1哇21na<0.

alnx^一X=0

【解析】证明力,&是方程山四-'=0的两个不同的实数根,，

，

alnx2-x2=0

两式相减得〃(lg-In^)--入2)=。,

解得〃=±二&

X

1In-1L

要证InXj+lnx2-21na<0,

(x-x丫

即证%]X><a2，即证西元2<------♦.

(iH

lX2)

即证仇五]<区㈤-=五一2+七.

(x2)占毛X?X,

令土=z£(0,1).0<X<九2厕只需

)1

证hrr<f—2+-.

t

设g⑺=ln2r-/一；+2,g«)=工In/-1+!=!(2hv-t+-

i21

令6(。=21nr+h\t)=——1--=<0././2(f)在(0,1)上为减函数.

>A(1)=O..\>0,g")在(0,1)上为增函数,g(。<g(l)=O.

即ln=</-2+l在(0,1)上恒成立，In%,+lnx2-2lna<0.

[例3]已知函数g(x)=lnx--y+f。eR)有两个零点为，%,

e

⑴求实数，的取值范围.

(2)求证:，+，>：.

%x2e

【解析】⑴函数8(力=3-彳2Y+(€/?)

的定义域为(0,+8),g'(x)」-==之".

xeex

32\

令g，(x)=0得x=J,可得g(x)在0,\■上单调递增，在J,+8上单调递减.

22/2)

又当X->0时,g(x)-»-00；当Xf+8时,g(x)f-oo,

故欲使g(x)有两个零点，只需g+]=In—-1+r=1-ln2+r>0,EPr>ln2-1.

12J2

2

(2)证明不妨设％<%，则由(1)题可知0<玉</<W，

InX]-^v-+/=0

且；

Inx,--孕+f=0

一夕

两式相减可得2=她二变.

eW一番

欲证2.+_L>J即证_L+_L>陋』1.

芭x2e~芭x24

设立=fQ>1)，则即证/—1>21nr(z>1).构造函数/⑺=/」—21nz(r>1),

xxtt

则加)=1+/_：=铝21>0,.,.”)在(1,+8)上单调递增,故〃。>/(i)=o.

:.t-->2\nt(t>1)，原不等式得证.

[例4]设函数/(x)=x2+(2-a)X-alnx(4eR),若〃>2且方程f(x)=b,beL,在

(1,+8)上有两个不相等的实数根内，马，求证：4＜玉+X2.

【解析】证明方程=〃即f+(2-〃)x-Hnx=d在(1,+8)上有两个不等实根%和

不妨设1<X<x2,

则X；+(2-a)%1-aln%=〃，①

芯+(2-〃)无2=b②

①-②得叫X：+2”」-2X2,

X+In%1-x2-lnx2

欲证a<xi+x2,

R-、TX]+2x-x；-2X.i

只需i止—----!---=-----2<M+x,.x<x+Inx<x,+m,

X]+InXj-x2-lnx2一

则％+\nx{-x2-\nx2<0,

BP需证:％；+2X]—考一2X2>(xt+X2)-(x,+-x2-lnx2),

/X

2%-1

整理得1叫-1眸<20-"2)，即证ln±<"~.令f=五e(0,1),设h(t}=In/-止。，