2023届高中数学大题二轮复习第22讲定点、定直线问题-解析版

第22讲定点、定直线问题

圆锥曲线的定点、定直线问题就是曲线或直线过定点，或者动点在定直线上，其核心思

路就是消参，消参的手段主要用的有两种：①等式代是消参(前面讲过，就是找到两个参数

之间的关系，带是从而消掉一个参数).②参数无关性消参：和参数相关的因式为o时，和

参数的取值没什么关系，比如y-2+炫(幻=0,只要因式g(x)=O,就和参数4没什么关系

了，或者说参数出不起作用.

直线过定点

直线过定点问题：题设为某直线恒过某个定点.

目标：建立出只含斜率一个参数的直线方程，形如>=%。-1)+2,则会恒过(1,2)这个

点，也就是当x=l时，与斜率参数%没有什么关系了，这个我把它称之为参数无关性.

一般解题步骤：

(1)斜截式设直线方程：y=kx+m,此时引入了两个参数，需要消掉一个.

(2)找关系：找到A和机的关系：机=/(4),等式带入消参，消掉

(3)参数无关找定点：找到和％没有关系的点.

【例1】若点A,8是抛物线=4y上的两个动点，O为坐标原点，且。求

证：直线Afi恒过定点.

【解析】证明由题意可知直线AB的斜率存在，设直线反方程：y=kx+b,

8(孙丹).

将直线AB的方程代入V=4y中，得*2_4辰-4〃=0.

.'.X[+w=4k,x^x--Ab,OAOB=xx+=xtx2+-1—=-=-4b+b2=-4=>/?=2,

2l216

...直线4?恒过定点(0,2).

【例2】过点(l，0卜乍相互垂直的两条直线也，直线《与曲线C:y2=6x相交于A,3两

点，直线4与曲线C:y2=6x相交于E,F两点,线段Afi,七厂的中点分别为,求证:

直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

【解析】证明由题意可知，直线4的斜率均存在•

x-|

设直线《的方程为），=&,A（”J,B（x2,y2）.

y2=6x

联立,与肖去y得4左2犬2一（12左2+24）犬+9%2=0

…卜一I

3公+6/6

%+々=——，y+%=4%+/—3x）=%.

•••点M是线段AB的中点,

3r+6工、

M

2公，"'

同理，将人换成-■得3+6公

>5N,-3k,

~2-

k/

-+3k

业3k2+63+6k?

当-------------,即时,k,MNk

2k?23公+63+6-~k2-\"

2k22

3+6-

：.直线MN的方程为y+3&=X---------------

个-1I2

即y号x-|

直线MN恒过定点

|,也过点《9,o1,

当&=±1时，直线MN的方程为x=

2

直线MM恒过定点（g,。].

3

【例】3MH,|为椭圆C:?+1~=l上一点，过点作互相垂直的两条直线分别

又交椭圆C于点A,8,求证：直线Afi过定点，并求出定点的坐标.

【解析】证明（1）当直线A3的斜率存在时，设直线方程为y=fcv+m,

=1'，消去y得（4公+3）X2+8kmx+4m2-12=0.

与椭圆C联立3

y=kx-\-m

4=64/疗_4（4公+3）（4加2-12）＞0.

一8km4小一12

设（（）则用+々=

AX],yJ,Bx2,y2,4〃+3'"e-4）+3•

：.MA-MB=(x}-l)(x2-l)+

/.+wt——HA:+7/n+—I=0.

313

解得〃？=一攵+一或"2=——k---.

2714

若加=-女+/贝iJ直线他的方程为y=Z(x-l)+|，过点V，不符题意.

若“=_4_3,则直线的方程为号过点仕，一

714,I7)14(714J

(2)当直线A3的斜率不存在时，设A(x。,％)，8(%,-%),

联立：,(%-])'+”《『为一

3x；+4y；=12

解得x()=；或々=1(舍).

此时直线A6也过点_意.

综上，直线AB恒过定点炼_高.

动点在定直线上

动点在定直线上：题设为某动点P(%,%)在某定直线.

目标:需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数,从而建立一个无参的直线方程,

此时会分为三种情况：

(1)xa=a,即动点恒过直线x=a.

(2)y0=b,即动点恒过直线了=匕.

(3)%=)(x。)，即动点恒过直线y=/(x).

22

【例1】如下图所示，过点0-4,0)任作一动直线/交椭圆C:二+汇=1于M,N两点，记

43

MQ=AQN.若在线段MN上取一点R,使得MR=-/IRN,试判断当直线/运动时，点R是

否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线.若不在，请说明理由.

【解析】由已知，直线的斜率必存在，

设其直线方程为y=%（x+4）,^（占,％）,N（x2,y2）.

《+£=[

联立《43-，消去y得G+以Bd+BZ^x+N*-iZi),

y=k(x+4)

-32k264k2-12

则△=144(1-4公)>0,先+9=

3+442'-3+叱・

由MQ=4QN得T-%=；l(W+4),=

设点R的坐标为（七,%）,则由=得/-3=-Z（x2-x0）.

x+4

Xj+-..........

解得X。=土二组=一组二lXyX2+4(%+x2)

—「+4G+x?)+8

x2+4

Be“/、c64A:2-12,-32k2-24

又2%马+4(x,+x)=2x------z—+4x----=------

'-''13+4公3+4后723+4左2

一3才74

(x,+8=+从而%=7,

5-13+4公3+4二为

故点R在定直线x=-l上.

22

【例2】设动直线/:y=fcr+m与椭圆C：?=1有且只有一个公共点尸，过椭圆C右

焦点耳作P耳的垂线与直线/交于点Q，求证：点。在定直线上，求出定直线的方程.

【解析】证明:•直线/与椭圆相切,

y=kx+m

联立y2—得(4公+3卜2+8^^+4m2—12=0.

彳十7一

A=64Z2m2-4(W-12)(4Z:2+3)=().

，4Jt2-/n2+3=0=>m2=4k2+3.

5上打工一4km4km4k.4K

：

切点坐标xp=---------=-----r-=----,yp=kxp+m=--------+m

〃4公+3机2mm

即《丑」〕，

Imm)

3_

♦k_-一3_4k+m

PL4k~4kmQF'~3'

--1+

m

FXQ方程为y.

4攵+〃？/八

联立y=---(D

y=kx+tn

(44+m)(x—1)=3(kx+in)=4Ax+nix-4k—m=3kx+3m=(A+rn)x—4(%+m)，

解得x=4.

・・・Q在x=4这条定直线上.

【例3】如下图所示，椭圆、+与=13>b>0)的左、右顶点分别为点44,上、下顶点

a~3

分别为点片也，右焦点为点尸，同尸1=3，离心率为;.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)过点E(O,1)作不与y轴重合的直线/与椭圆交于点A/,N,直线对片与直线交

于点T,试讨论点了是否在某条定直线上，若在，求出该直线方程.若不在，请说明理由.

_C_1

【解析】(1)由题意可得,a2,解得a=2,c=\:・b=\Ja2—c2=6，

同尸］=Q+C=3

因此，椭圆的标准方程为三十反=1.

43

(2)由题意可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=h+l,设点”(公凶)，可(々，必).

联立2!_]2，消去x并整理得("2+3)丁+8"一8=0,

△=64公+32(4公+3)=96(2/+1)>0,

由韦达定理得XI+9=---芈一，x,x2=----—.

易知点4(0,6),B式0,-扬,

直线MB,的斜率为&="避=幺33,

士玉

直线Mg的方程为y=%x+6,

直线NB1的斜率为匕=之上叵=3+Q+、■,

x2x2

直线NB2的方程为y=k2x-y/39

kxA4-(1—

由y_6=>，y+y[3=k2x可得匕2—=——x]_^=kxlx2+(1-43)x2,

y+>/3k2kx24-(1+V3)kxxx2+(1+^3)^

x2

其中3%+x2，

.y-C=%+/+(1-扬々=.+(2一百)/_(2-扬[(2+6)/+1]—2-石

y+6X[+/+(1+G)%(2+V3)Xj+x2(2+\^)Xj+x2

解得y=3.

因此，点7在定直线y=3上.

圆过定点

圆过定点问题：题设以线段45为直径的圆，恒过定点。.

(1)向量为零法：利用4/>8。=0,整体代换消参之后求出D点坐标的确定值.

(2)参数无关法：设出43的中点M,求出43长度，令r=仝，建立出圆的方程,

2

形如f+%(y—3)2=4,利用参数无关性，可知圆恒过(±2,3).

方法一：向量为零法

o2

【例1】已知圆何：/+>2=*的切线/(直线/的斜率存在且不为零)与椭圆x上+丁=1相

32

交于两点.证明：以旗为直径的圆经过原点.

【解析】证明•••直线/的斜率存在且不为零，故设直线/的方程为丫=依+".

y=kx+m

联立任消去y得(2炉+1)%2+4knix+2nr-2=0.

—+y

设B(x2,y2),则用+电=志鼻，2=誓j

2

必％=(3+m)(kx+⑼=k2xx+km(x、+x)+m2=—^；——

2]222k+1

.CHCR3nr—2k--2仆

..OAOB=xtx2+y,y2=―--①

•.•直线/和圆M相切，

圆心到直线/的距离d=，^L=逅，整理得〃=2(]+公).②

^/17F33、)

将②式代入①式得OAOB=0,显然以AB为直径的圆经过原点0(0,0).

【例2】过点尸(0,2)任作一直线下与曲线C:V=8y交于AB两点，直线。4,03与直线

y=-2分别交于点〃,MO为坐标原点，求证：以线段MN为直径的圆经过点F.

【解析】证明设直线钻的方程为y=H+2,

则直线％方程：y=±x,直线机方程：>=立》.

VZ/1/8L/O，8

联立尸铲，得川二2-21.同理得”理,-2

x

y=_2kiJ【W

=(-4)x(-4)+=16+”小

中2

-2得x2-8fct-16=0,

联立

/.XjX2=—16,

G4口z16x1616x16

贝！jFM-FN=16H------=16H--------=0.

x{x2-16

因此，以线段MN为直径的圆经过点尸.

【例3】过点S（O,_g）且斜率为k的动直线/交椭圆：5+丁=1于A8两点，在y轴上是

否存在定点M,使以45为直径的圆恒过这个点？若存在，求出〃的坐标，若不存在，说

明理由.

【解析】设直线/:y=Ax-g,代入］+y2=i得Q标+i*-扣一与=0.

设A（XQI），8（々,%），则X|+X2=3Q}+［［砧=9（2X1）•

若y轴上存在定点加（0,〃2）满足题设，则M4=（4必-〃7）,M3=（工2，%-*

2

MA-MB=%|X2+（必一机）（丁2—机）=XjX2+y1y2+y2）+tn

=XIX2+（"l_；）一加（点I+京2—；）+62

=（公+1）芭/+'"）（&+&）+:"+竽+"

18（n?2-l）&2+（9/n2+6w-15）

9（2—+1）

如果M4MB=0成立，即18（苏—1伙？+（9济+6加一15）=0对无wR成立.

m2-1=0

，解得m

9wz2+6/H-15=0

二在y轴上存在定点M（O,1），使以他为直径的圆恒过M点.

方法二：参数无关法

【例1】若过尸（1,0）的直线与曲线C：y?=4x交于P,。两点，直线。尸,0。与直线x=l分别

交于A8两点，试判断以为直径的圆是否经过定点.若是，求出定点坐标.若不是，请

说明理由.

【解析】设直线P。的方程为x=/ny+l,P（x，y）,Q（x”％），

联立[y-=4x,整理得9_4机）一4=0,

[x=my+]

2

A=16m+16>0,y,+y2=4m,乂%=-4,

直线OP的方程为y=—x=—x.

xy

同理，直线。。的方程为y=±x.

必

令x=l得A，l,3,B\1,—,

IyjIyi)

设他的中点T的坐标为(H，为),

£_4

则"=1,力=岂正&1=一2m，

2%必

，T(l,-2n?).

\AB\=--^~=~p=J(y+%f-4%,=d16m2+16.

圆的半径为r=巫必迹.

2

以AB为直径的圆的方程为(X—+(y+2m)2=4/n2+4.

展开可得(x-l)2+/+4冲=4,

令y=0,可得(x-iy=4,【解析】得x=3或x=-l.

从而以相为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).

【例2】如下图所示，在平面直角坐标系xO｝，中，椭圆C:上+凹=1的左顶点为A,过原