2023届新高考必刷圆锥曲线大题综合含解析

【2023届新高考必刷】■■■■大■■台

1.(2023春•江苏扬州•高三统考开学考试)已知AB为抛物线G：娟=2PMp>0)的弦,点。在抛物线

的准线/上.当AB过抛物线焦点R且长度为8时，4R中点河到y轴的距离为3.

(1)求抛物线G的方程；

(2)若乙4cB为直角，求证:直线过定点.

22

2.(2023・江苏泰州・统考一模)已知双曲线(7：与一9=1(&>0,6>0)的左顶点为>1,过左焦点口的

ab

直线与C交于P,Q两点.当PQ_Lz轴时，|P*=的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.

3.(2023秋•浙江络兴•龙三期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点>1(-2,0),5(2,0)，直线PA与直

线P3的斜率之积为-J，记动点P的轨迹为曲线C.

4

(1)求曲线C的方程；

⑵若直线=+与曲线C交于A/,N两点,直线舷4,NB与y轴分别交于两点，若瓦5

=3诟，求证:直线，过定点.

4.(2023秋•淅江•高三期末)已知点A(竽，竽)是双曲线，■一£=l(a>0,90)上一点，3与

力关于原点对称，E是右焦点，/AFB=3

(1)求双曲线的方程；

(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点P(-4,0),与双曲线的右支交于点且直线MN经过R,求

圆。的方程.

5.(2023叁・广东揖用・高三校考阶盘练习)已知抛物线£：/=2*(0>0)的焦点为尸，点F关于直线

y=^-x-+4的对称点恰好在y轴上.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)直线Z:y=%(；r-2)(kA通)与抛物线E交于4,6两点,线段43的垂直平分线与工轴交于点

C,若。(6,0),求*［的最大值.

6.(2023•湖南邳用•线考二模)已知双曲线C：£—方=l(0<a〈10,b〉0)的右顶点为A,左焦点

F(-c,0)到其渐近线bx+ay=0的距离为2,斜率为。的直线。交双曲线C于45两点，且\AB\

_8V10

3,

(1)求双曲线。的方程；

(2)过点T(6,0)的直线L与双曲线C交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线/=6相交于N

两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点,求出定点的坐标；若不过定点,请说明理

由.

7.（2023春•湖南长沙•商三雅札中学校才阶段练习）定义:一般地，当，>0且1时，我们把方程，

+1=，3>6>。）表示的椭圆G称为椭圆「+<=13>6>。）的相似椭圆.

⑴如图，已知E（—VJ,0）,E（g,0）,M为。。：/+才=4上的动点,延长印11至点N,使得IM7VI=

|尚：|,尸山的垂直平分线与用N交于点P,记点P的轨迹为曲线C,求G的方程;

⑵在条件⑴下，已知椭圆G是椭圆C的相似椭圆，M,N是椭圆G的左右顶点.点Q是G上异

于四个顶点的任意一点，当/=e"e为曲线。的离心率）时,设直线QM与椭圆C交于点4,6,直线

QN、与椭圆。交于点D,E，求\AB\+|DE|的值.

8.(2023-湖北武汉•稣考模根fl测)过坐标原点。作圆C：(./；+2),-'+y--=3的两条切线，设切点为/>

,Q,直线尸。恰为抛物E：婿=2px,(p>0)的准线.

(1)求抛物线E的标准方程：

(2)设点T是圆。上的动点,抛物线E上四点满足：TA=2TM,T§=2前，设4B中点为

D.

⑴求直线TO的斜率；

(")设△TAB面积为S,求S的最大值.

9.(2023*山东•潭坊一中校联考模根覆测)已知R为抛物线C-.y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点,

M为。的准线/上的一点，直线上"的斜率为-1,2i。网0的面积为1.

(1)求C的方程；

(2)过点F作一条直线「，交。于两点，试问在/上是否存在定点N,使得直线NA与NB的斜率

之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

22

10.(2023•山东瘠泽•统考一模)如图，椭圆。：春■+方=l(a>b>0)的焦点分别为尸|(—一,0)

为椭圆。上一点，△口4丹的面积最大值为一.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若B、D分别为椭圆C的上、下顶点,不垂直坐标轴的直线I交椭圆C于P、Q(P在上方，Q在下

方，且均不与尽。点重合)两点,直线PB,QD的斜率分别为如口，且a=-3fc,，求APBQ面积的最

大值.

22

n.(2023•福建泉州•统考三模)已知椭圆C：9+《=1的左、右顶点分别为/I,B.直线/与。相切,

且与圆。:小+才=4交于A/,N两点，A/在N的左侧.

(1)若|MN|=¥■，求/的斜率；

D

(2)记直线AM,5N的斜率分别为七七，证明：卜他为定值.

12.(2023*江苏南通•统考模拟理测)已知4孙/)，B(g,纺)，C(g,%)三个点在椭圆冬+姬=1,椭圆

外一点P满足=2而，丽=2炉，(O为坐标原点).

(1)求xxx2+2助纺的值；

(2)证明：直线力。与OB斜率之积为定值.

13.(2023-浙江基兴•统考模拟预测)已知抛物线C：y-=2m；(?)>()),过焦点”的直线交抛物线。于4

B两点，且=

(1)求抛物线。的方程；

(2)若点P(4,4)，直线PA,P8分别交准线，于“，N两点,证明：以线段MN为直径的圆过定点.

27/2

14.(2023-江苏连云港•统考模拟覆测)已知椭圆E：。+旨=l(a>b>0)的焦距为2小,且经过点

ao-

P(-V3,y).

(1)求椭圆E的标准方程：

(2)过椭圆E的左焦点E作直线I与椭圆E相交于46两点(点力在z轴上方)，过点4B分别作

椭圆的切线,两切线交于点求的最大值.

\MFX\

22

15.(2023春•江苏常州•高三校底考开学考试)已知点P(2,-1)在椭圆C：写+?/告=l(a>b>0)上,

ab~

。的长轴长为4方，直线=+M与。交于A6两点，直线P4PB的斜率之积为

(1)求证：k为定值；

(2)若直线I与力轴交于点Q,求|Q42+IQ4的值.

16.(2023春•江苏苏州•商三统才开学才武)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为4的椭圆4+

乙Cb

2

^-=l(a>b>0)的一个焦点F.

(1)求抛物线与椭圆的标准方程；

(2)设过尸的直线/交抛物线于4、交椭圆于C、。，且人在B左侧，。在。左侧，4在。左侧.设

a-\AC\,b=(J\CD\,c=\DB\.

①当〃=2时,是否存在直线/,使得a,b,c成等差数列？若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明

理由；

②若存在直线I,使得a,b,c成等差数列，求〃的范围.

22/2

17.(2023<­江苏无得•高三统考期末)已知椭圆G：1+(=l(a>b>())的右焦点F和抛物线C2：

2

y=2pX(p>0)的焦点重合，且G和。的一个公共点是(弓，2乎卜

⑴求G和G的方程；

(2)过点R作直线，分别交椭圆于4B,交抛物线a于P,Q,是否存在常数，，使--^Q为定

值？若存在，求出1的值;若不存在，说明理由.

2

18.(2023我•江苏•高三统考期末)如图，已知椭圆号+娟=1的左右顶点分别为点。是椭圆上

异于4g的动点，过原点。平行于力。的直线与椭圆交于点M,N,4。的中点为点O,直线OD与椭

圆交于点P,Q,点P,CM在立轴的上方.

(1)当14cl=/时，求cosZPOM；

(2)求|PQ“MN|的最大值.

19.(2023-淅江•校联考模拟预测)设双曲线C：£一£=1的右焦点为F(3,0),尸到其中一条渐近线

的距离为2.

(1)求双曲线。的方程；

⑵过R的直线交曲线。于力，5两点(其中力在第一象限),交直线,于点河，

八十\AF\­\BM\后

⑴求的值1Vl;

⑻过M平行于04的直线分别交直线OB、c轴于P,Q,证明：=|PQ|.

20.(2023春•淅江缗兴•高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：^-+y2=l

(1)设P是椭圆。上的一个动点，求凡•通的取值范围；

(2)设与坐标轴不垂直的直线/交椭圆。于两点,试问：是否存在满足条件的直线I，使得

△MBN是以B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线，的方程，若不存在,请说明理由.

21.(2023春•淅江•商三开学考武)已知椭圆C："+，=l(a>b>0)的离心率为击，且经过点M

(一2,0),或片为椭圆。的左右焦点，Q(与，例)为平面内一个动点，其中网>0,记直线QR与椭圆C

在7轴上方的交点为直线与椭圆。在⑦轴上方的交点为B(g,佻).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)①若AF->//BF\，证明：--"I■--=」-；

Vi仇V。

②若|QE|+IQ凡|=3,探究物,外优之间关系.

22.(2023卷•浙江温州•高三稣考开学考试)如图，椭圆孚+/=1的左右焦点分别为E，B，点

P5,防)是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，E，8的圆与沙轴正半轴交于点力((),汕)，经过点

5(3,0)且与g轴垂直的直线I,与直线4P交于点Q.

(1)求证:物幼=1.

(2)试问：上轴上是否存在不同于点B的定点满足当直线MP,MQ的斜率存在时，两斜率之积为

定值？若存在定点”,求出点M的坐标及该定值;若不存在,请说明理由.

-2/

23.(2023卷•广东•商三校屐耆阶盘练习)已知双曲线E：章■一方=l(a>0,b>0)的右顶点为

4(2,0)，直线I过点P(4,0),当直线I与双曲线E有且仅有一个公共点时，点A到直线I的距离为

2V5

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若直线Z与双曲线E交于两点，且立轴上存在一点。(。0),使得AMQP=4VQP恒成立，

求t.

24.（2023•广东梅州•钝寺一模）已知动圆Af经过定点耳（一，^,0）,且与圆K：（立一3）2+/=16内切.

（1）求动圆圆心M的轨迹。的方程；

（2）设轨迹。与工;轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹。上异于的动点，设交直线x=

4于点T,连结4r交轨迹。于点Q.直线AP、AQ的斜率分别为卜”、kAQ.

⑴求证：用心心。为定值；

（次）证明直线PQ经过2轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2

25.（2023春•湖北武汉•高三华中苒大一府中校才阶段练习）已知双曲线E：1--靖=1与直线心"=

k力—3相交于46两点，A7为线段AK的中点.

（1）当看变化时，求点A/的轨迹方程；

（2）若，与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数卜,使得4、B是线段CD

的两个三等分点？若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

26.(2023•山东•日展一中校考模板演测)已知双曲线C：与一《=l(a>O,b>0)的左、右焦点分别为

ab

口,生,斜率为一3的直线，与双曲线。交于两点，点河(4,—2g)在双曲线。上，且|町|・|叱］

=24.

⑴求△ME凡的面积；

⑵若加+而=0(0为坐标原点)，点N(3,1)，记直线的斜率分别为品，后，问：岛•上是否

为定值？若是,求出该定值;若不是，请说明理由.

27.(2023秋.山东泰安.商三统考期末)已知椭圆&.+〈=1(&>6>0)过41,三)，同伍冬)

两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知Q(4,0),过P(l,0)的直线/与E交于N两点，求证

22

28.(2023•浙江•模拟fl测)已知双曲线E：。-《=l(a>0,b>0)的焦距为10,且经过点”(8,3同).

a-b

A,B为双曲线E的左、右顶点，P为直线工=2上的动点，连接P力，P3交双曲线E于点C,D(不同

于4B).

(1)求双曲线E的标准方程.

(2)直线⑺是否过定点？若过定点，求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

29.(2023•湖南•模拟理测)已知椭圆C：套■+，=l(a>b>0)的上顶点为B,O为坐标原点,

P(—与0)为椭圆C的长轴上的一点，若"PO=45°,且△OP6的面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C与,轴负半轴交于点4过点4的直线AM,AN分别与椭圆。交于两点，直线

AM,4V的斜率分别为人如N，且—•如N=T)，求证:直线MN过定点，并求出该定点坐标，求

出△AM7V面积的最大值.

30.(20234k-湖北•龙三钝才阶段练习)已知椭圆C：^+^=][a>b>0)的离心率为二.且经过点

arb~N

(“)，P,Q是椭圆C上的两点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线OP与OQ的斜率之积为一](。为坐标原点)，点。为射线OP上一点，且和=而，若

线段DQ与椭圆。交于点E,设强=♦就(，>0).

⑴求/I值；

(w)求四边形OPEQ的面积.

【2023届新高考必刷】■■■■大■■台

1.（2023春•江苏扬州-高三统考开学考试）已知AB为抛物线G：y2=2px（p>0）的弦，点。在抛物线

的准线，上.当AB过抛物线焦点R且长度为8时，中点M到夕轴的距离为3.

（1）求抛物线G的方程；

（2）若乙4cB为直角,求证:直线AB过定点.

【答案】⑴靖=40（2）证明见解析

【分析】（1）利用抛物线弦长公式，以及中点到g轴的距离公式，计算出P即可；

（2）先设C（-l,c）,?l（中,劭）,6（生,例），直线的方程：/=如+%联立方程组，由韦达定理可得功+幼

=43仍佻=一471,

又因为N4CB为直角可得手•丽=0,化简求解可得n=1,所以得出直线过定点（1,0）.

\AB\=xA-\-xB+p=8

【详解】（1）设力（%,幼1）出38,珈），则由题意得｛孙+翊_,

、--2---1

解得P=2,

所以抛物线的方程为才二47

（2）直线43过定点（1,0）,证明如下：

设C（—4■，物）,3（号,仇），直线48的方程：x=ty+nf

将力=切+九代入靖=4%得y2—4ty—4n=0,

则△>（）,得严+打>0,

由韦达定理可得"+例=4。幼仇=一4九，

所以CA=（/+L%—c）,CB=（净+1,劭-c）,

因为Z.ACB=90°,所以CA,CB=0,即+1+伊仪-c（劭+劭）+「2=0，

即M+4产+2九+1—4n—4tc4-c2=0,

即（n-1）2+（2±-c）2=0,所以九=1,

所以直线AR过定点（1,0）.

2.（2023•江苏泰州•统考一模）已知双曲线C:套•一（=l（a>0,6>0）的左顶点为4过左焦点F的

直线与C交于P,Q两点.当PQ_L立轴时,\PA\^VW,^PAQ的面积为3.

（1）求C的方程；

（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点.

【答案】⑴/一（=1（2）证明见解析

(•^-)2+(c-a)2=(Vl0)2

I分析】⑴根据题意,可得|PF|=（.

手等.(c_a)=3，进而求解;

c2=a24-62

⑵设PQ方程为土=/电/-2,P（如幼）,。但,伊），联立直线和双曲线方程组，可得⑶川一1）姬-12my+9

=0,以PQ为直径的圆的方程为（力—为）（力—x-2）+3—劭）（y一例）=0,由对称性知以PQ为直径的圆必

过力轴上的定点，进而得到X2—⑶+g）3++初优=0,进而求解.

【详解】（1）当PQ®轴时，P,Q两点的横坐标均为一c,

代入双曲线方程，可得所。初=一与,即|PF|=。

aaa、yA/

（0+（c-a）2=（VW\pT/

由题意，可得手等.（c-a）=3，K/

c2^a2+b2

解得a=l,b=瓜、c=2,

/.双曲线。的方程为："一g-=l;

⑵方法一:设PQ方程为①=zny-2,P⑶,功）,Q（g,仇），

《‘n3（m2g2—4mg+4）-峭=3=（3加—1）必—12?71夕+9=0,

[3x—y—3

以PQ为直径的圆的方程为（力一皿）（/一力2）+（y-yNy—y。=0,

2

x-Qi+x2）x+x1x2+靖一（仇+他为+y曲=o,

由对称性知以PQ为直径的圆必过N轴上的定点，令y=（）,可得

X2—（X1+/2）1+工何2+幼仇=0,

而电+工2=优®+与）-4=J羿[-4=Q?[,

3m—13m—1

电力2=（小幼一2）（m1/2-2）=m2g例-27n（幼+m）+4=二空二4，

—37H?—4

0=>(3m2—l)x2—4c+5—3m2=0

3m2—13m2—13m2—1

n[(3m2-1)T+3m2—5](cc-1)=0对VmER恒成立，.・.N=1,

・•・以PQ为直径的圆经过定点(1,0);

方法二：设PQ方程为0=7ng—2,P(i],gi),Q(g,g2),

fx=my-2,、0

k,,=>(3mo2-l)y-12my+9=0,

[3}x--y~2=35

由对称性知以PQ为直径的圆必过i轴上的定点.

设以PQ为直径的圆过E(£,0),

/.EP-EQ=0=>(第一£)(g—£)+%例=0=>的啊一力(丁+g)+#+。曲=0,

而=(m%-2)(馆劭-2)=m2yiy-2-27n(劭+幼)+4

912m=~3m2~4

=m2,-2m•+4

3m2—13m之一13m2—1

Xi+x-2m(^/i+j/2)-4=-12^--4=^---

3m—13m—1

.—3m2—4_41,219_口

••3m2—13m2—13m2—1'

(3m2—l)^2—4t+5—3m2=0,即[(3m?-1)亡+3——5](±-i)=0对VmWR恒成立,

・,・1=1,即以PQ为直径的圆经过定点（1,0）.

3.（2023秋•浙江制兴•高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点力（-2,0）,5（2,0）,直线PA与直

线的斜率之积为一,记动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线。的方程；

（2）若直线l:y-kx+m与曲线。交于A1,N两点，直线AM,NB与y轴分别交于E,F两点、，若EO

=30仇求证:直线，过定点.

【答案】（1）芋+"=1（必#±2）（2）证明见解析

4

【分析】⑴设P点坐标为（x,y）,由•©3=-T可得结果;

X-t-XZi4

y=kx+m_

⑵设M（ii,仇）,N（g,仇），联立《小得电+g和弋烟，再求出E,F的坐标，根据房=3两得k

1丁+沙=1

=771,从而可得结果.

【详解】（1）设P点坐标为（。,沙）,则即与"+y2=lQw±2）,

juI"4Ju/qq

所以曲线。的方程为号+婿=1（工*土2）.

y=kx-\-m

X2.21，消去g并整理得（4k2+l）"+8kmc+4m2-4=0,

）才+旷=1

由A=64k27n2—4(4fc2+1)(4m2—4)>0,得4fc2+1>m2,

2

所以％]+g=8km4m—4

4fc"+14k+1

MA"普3+2)nE(。，黑),NB5-Q-2)nF(0,言),

因为原5=3前,所以一二驾=3•衿等，即点出-2）=3仇⑶+2）,

XI~v£-乙

(kxi+m)(a?2—2)=3(fcx2+m)+2),

2fcr何2+(2k+3m)(Xi+x2)+4(fc—m)x2+8m=0,

4m2—4+侬+加・黄詈

所以2k•3+4(fc—m)x+8m=0,

4k2+12

所以(fc—m)[4km—2+(4妒+l)x2]=0对任意也都成立,

k=m,故直线Z过定点（—1,0）.

4.（2023秋・淅江・商三期末）已知点/（小£,挈）是双曲线/—，=1（<2>0,6>0）上一点，B与

4关于原点对称，b是右焦点，^AFB=j.

（1）求双曲线的方程；

（2）己知圆心在,轴上的圆C经过点P（—4,0）,与双曲线的右支交于点且直线经过F,求

圆。的方程.

【答案】⑴导一邛=1（2）x2+（y±2V6）2=40

o4

【分析】（1）由已知条件列方程求出a,b,c,即可求出双曲线的方程;

（2）讨论直线A/N的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN的方程为y=kz+?n,联立双曲

线的方程，由韦达定理求出的中点Q的坐标以及。的坐标，根据勾股定理有CN2=CP=GQ2+

（京亚）：代入解方程即可得出答案.

［（呼+。挈）•（呼-挈）=。

4a2=8

【详解】（1）由已知条件得：•323,<b2=4

3一万一c=2V3

02

a2+62=c2

双曲线方程为：笈一刍-=1.

04

（2）若直线MN的斜率不存在，则圆。的圆心不在g轴上，因此不成立.

设直线7VW的方程为g=fcr+7n,

y=fc（x—2A/3）

由，x2y2_消元得：（2炉―1）/—（24炉+8）=。=

,"8T=1

2fc2-1^0

△=32(fc2+l)>0

xl+x2=^^-,yi+y2=k(xl+x.2)-4^k=-^^-4V3k=^^

•••MN的中羔Q的坐标为(白吟，怒号).

\2k~—12fc—17

设C((),m),直线CQ：y=-^x+m,得0(0,盥咚),

&\2K-17

8V2-V-8A:2+4+12fc24V2(fc2+l)

又|MZV|=Sfe2+l・

|8fc2-4||2送一1|'

根据勾股定理有CN2=CP=CQ'1+(yMV)2

2222

.(6V3A:\,A2-{(4V3A:A,f2V3fc6V3A：\1J2/(卷+1)\2

+4=IA^T)-•

化简得2火一5M2+2=0

解得取=2或卜2=专(舍)

<7(0,±276)，二圆C的方程为"+⑨土2V6)2=40.

5.（2023春・广东桥相・高三校考阶我练习）已知抛物线£：2/2=222（「＞0）的焦点为F,点F关于直线

y=+；的对称点恰好在y轴上.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）直线Z：,=k（x-2）（fc^V6）与抛物线E交于4,5两点，线段AB的垂直平分线与工轴交于点

C,若。（6,0）,求第的最大值.

【答案】（1）娟=4立（2）邛［

【分析】⑴由题意得尸（参0）,设9关于直线y=枭+今的对称点为F'（o,m）,根据题意列出方程组，解

之即可求解；

（2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段的垂直平分线方程为u—

2_1/2^+2）耕石尸刎队B|_

fc—一一丁）,进而付到两.22+——塞----，利用函数的单调性即可求解.

t+平-12

【详解】⑴由题意得F（卷0）,设尸关于直线y=4/+等的对称点为斤'（0,恒），则

m=p=2y

:,抛物线E的标准方程为y2=4x.

⑵由2）可得卜2c2—（4奴+4）2+4妒=0,设力（11,仇），仇），则Zi+g=或¥，,4烟=

y=4/k~

4,

2

\AB\=V1+fc2•限1—x-i\=V1+fc2・J(型+三)？一4%网=V1+fc2I—16=

4/2淡」+3奴+1

2fc2

功+y=k（x+x）-4k=^,：.线段AB的中点坐标为（，v），则线段AB的垂直平分线方程为V

2}2凡'KAvlt

_菅=_关("一"髻)，令y=。，得工=4+卷故0(4+誉,0),

又。(6,0),得|CD|=4+-r—6=2-.

，曙==—T叱私

则人舁+1),94-图=2产不存与^=2尸石，

易知函数/(t)=t+平在［41,+8)上单调递增，.-.当t=41时，/⑴取得最小值，

此时用=述，故卷台的最大值为2,2+36■-玲，=绰L.

22

6.(2023•湖南邳用・统考二模)已知双曲线C:和-=l(0<a<10,6)0)的右顶点为力，左焦点

F(-c,0)到其渐近线bx+ay=()的距离为2,斜率为；,的直线。交双曲线。于46两点，且\AB\

_8V10

-3,

(1)求双曲线。的方程；

(2)过点7(6,0)的直线2?与双曲线C交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线x=6相交于河，N

两点，试问：以线段4W为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标:若不过定点，请说明理

由.

【答案】(1)〈一4=1(2)以线段MN为直径的圆过定点(6—2一,0)和(6+2g,0).

y4

【分析】⑴根据点到直线的距离公式即可求解b=2,进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解

a=3>

(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在力轴上，进而根据垂直关系

得向量的坐标运算，即可求解.

【详解】⑴:双曲线C的左焦点F(—c,0)到双曲线。的一条渐近线历:+ag=0的距离为d=—7==-=

var+b

b,而d=2,:.b=2.

双曲线C的方程为名■一彳~=1(0VQV10).

QT

依题意直线。的方程为g=—a).

区-止=1,

由|/1I消去"整理得：(36—a^a^+Za%—a“a2+36)=0,

依题意：36—。2#0,A>0,点A8的横坐标分别为xA,xB,

Q2(Q,+36)

则孙磔=

cr—36

a(a2+36)

,**x=a,：.x=-2-方―.

ABa—36

・•・IAB|=J]+吗)2M一*二书九4一调=8A,・•・I孙一g|=8.

即a---〈—"=8,解得a=3或a=12(舍去)，且a=3时，△>0,

//一3h

/.双曲线c的方程为4—=1.

y4

(2)依题意直线，2的斜率不等于0,设直线。的方程为。=my+6.

x=my+6,

由，x2y2_消去”整理得：(4mr‘-9)靖+48mg+108=0,

,"9T=L

4m2—9W0,A|>0.

48,7

设PQi,0)，Q(g,纳)，则yi+y>=.-,Q,必佻=[吁0.

4m—94m—9

直线AP的方程为？=心方3—3),令c=6得：片以l，

X[oX\o\X\o/

同理可得N(6,1%).由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在z轴上，

设该定点为A(t,0),则询=(6—t,普至)，丽=(6—力普可)，

故时前=(6—t)±一鬻

31-3)(62-3)

=(6*+:耨

(my1+3)(zny2+3)

=俗一疗+_______也®_______

/独仇++功)+9

9x108

二(6-八2+4--9

fm2y108_3mX48m,0

4m2—94m2—9

=(6-t)2-12=0.

解得t=6—2V3或t=6+2V3.

故以线段MM为直径的圆过定点(6—2V3,0)和(6+2V3,0).

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算

化简求解就可，对计算能力要求较高.

2

7.(2023春•湖前长沙•高三雅札中学校考阶及练习)定义:一般地，当0且1¥1时,我们把方程写

a

222

+2=，(£1>/>>0)表示的椭圆。称为椭圆耳+去=13>6>0)的相似椭圆.

ba~b-

⑴如图，已知E(--,O),E(V^O),封为G)O：/+必=4上的动点，延长E"至点N,使得|MV|=

|MFJ，EN的垂直平分线与尺N交于点P,记点P的轨迹为曲线C,求。的方程；

⑵在条件⑴下，已知椭圆G是椭圆C的相似椭圆，M3是椭圆C-的左右顶点.点Q是G上异

于四个顶点的任意一点，当一=e?(e为曲线。的离心率)时，设直线QM与椭圆C交于点直线

QN、与椭圆C交于点求|45|+\DE\的值.

2

【答案】(l)*+d=l(2)5

【分析】(1)由图可知是的中位线，由此可得EN长为定值，因为点P在RN的垂直平分线上,

所以庐园+|P£|=|P园+|PN|,根据椭圆定义求解析式即可；

(2)假设出点Q坐标，表示直线QM与直线QN的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分

别与椭圆C联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出\AB\+\DE\的值.

【详解】(1)连接OM,易知OMII打加且\OM\=^-\F2N\,

.♦.|£凹=4,又点。在用乂的垂直平分线上，

：.\PF.\=\PN\,

：.|P/^|+\PF2\=|P同+|PN|=I版I=4>2向,满足椭圆定义，

a=2,c=V3,6=1,

2

曲线。的方程为-r+y2=1.

4

(2)由(1)知椭圆。方程为亨+娟=1,

则离心率e=乎=>/1=4>

*'•槁圆G的标准方程为巧-+

O3=1,

设Q(g,%)为椭圆G异于四个顶点的任意一点，直线。焰,QN斜率初如儿网,

n。

贝”kQM,kQN\=

的+V3x（）—V3—3

又学+粤■=1今%=](3_就),

，=-1(如必片)'

设直线QM的斜率为k,则直线的斜率为一圭.

直线QM、为y=k（c+V3）,

y=k（x+V3）,

由《7得（1+4k2）/+8/奴0+12妒­4二0,

［丁+4=1,

,几"\D/\nt।—8,\/3fc~12fc~—4

校431,小），8（12,例），则伤+力2=］+4依，］逆2=］+4炉>

2

\AB\=Vl+k\xx-X2\=+12=（力1+%2）2-48］力2=>

同理可得四|=好器,

4（1+A:2）1+16A;2

\AB\+\DE\1+4奴+1+4A?

8.（2023-湖北式汉•统考•模拟圾测）过坐标原点O作圆C：（c+2）2+y2=3的两条切线,设切点为P

,Q,直线尸Q恰为抛物£：才=2眸⑺>0）的准线.

（1）求抛物线E的标准方程；

⑵设点T是圆。上的动点,抛物线E上四点4B,M,N满足：元彳=2亍必,屈=2曲,设46中点为

D.

⑴求直线TD的斜率；

（沅）设△T4B面积为S,求S的最大值.

【答案】⑴娟=2工⑵⑴0;（劫48

【分析】⑴设直线PQ与工轴交于冗（苫,0）,由几何性质易得：|CP『=|次•|8|,即可解决；⑵设

7（小物）,力（为须）,5（%㈤，⑴中，由于7M中点M在抛物线E上，得（%⑨y=2•%型,将小如幼）

,B（g,纳），代入联立得D点纵坐标为驾改=涣，即可解决；（ii）由⑴得点0（3.彳4费,%）,s=

*|TD|•版一纳|=挈•J（*—2g）3，又点T在圆。上，得%=一就一4比一1,可得：S=挈♦

/［一（©）+31+8『即可解决.

【详解】（1）设直线PQ与x轴交于R（一另0）.

由几何性质易得：△CPR与△OCP相似,

_|8|

所以两T-阿'

\CP\2=\CP„\-\CO\,

即：3=（-与+2）•2,解得:p=1.

所以抛物线E的标准方程为：y2=2x.

⑵设7（曲,他）,431，%）出3，筑）

⑴由题意，TA中点M在抛物线E上，即（%也丫=2•日色,

又Vi=2cl，将代入,

得：忧-2级财+4%一婿=0,

同理：谖-2?他2+4割一%=0,

+他=2切yi+y-i

有此时。点纵坐标为=y,

I防阴=4%-*2tt

所以直线TD的斜率为0.

/-、山*电+电研+吠⑻+优产一2%优3蜻一4”。

所以点D（%也.），

此时s=[im4%fi,

\TD\=二仇2均-x0=y|yo-2xa\,

\yi-y-2\=4(%+m)2—4仇仇=J8(端一2/0),

所以S=3好-2力0厂,

又因为点T在圆。上，有(见)+2)2+*=3,即需=一就一4窃一1,代入上式可得:

3

S—•V(―Xo—6T0—I)=3f•J[-(的+3>+8『，

由—2—V3&g&-2+V3,

所以3=—3时，S取到最大价岑2•而=48.

所以S的最大值为48.

9.（2023-山东•潭坊一中校才模拟覆测）已知尸为抛物线C-.y2=2px（p>0）的焦点，O为坐标原点,

A/为C的准线/上的一点,直线的斜率为-的面积为1.

（1）求C的方程；

（2）过点R作一条直线1，交C于两点,试问在I上是否存在定点N,使得直线NA与NB的斜率

之和等于直线