2023高考数学知识方法回顾篇

【考前叮咛】备战2023高考数学

第一篇知识方法回顾篇

回顾1集合、常用逻辑用语不等式

1.集合

（1）集合的运算性质

①交换律：AUB=^BUA；AQB^BQA；

②结合律：（/u8）uc=/iu（8uc）；（jnfi）r）c=jn（5nq；

③分配律：（xri8）uc=（/uc）n（8uc）；（/u8）nc=（/cc）u（8nc）：

④（［:Mn（（M）；Ci<jns）=（C^）u（CuB）；

⑤ACB=B0B=A.

（2）子集、真子集个数计算公式

对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2“2」12」12

-2.

（3）集合运算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是

抽象集合，用Venn图求解.

2.充分条件与必要条件的三种判定方法

（1）定义法：正、反方向推理，若pOq,则p是q的充分条件（或4是p的必要条件）；若p=>q,且4#/，，

则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）.

（2）集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：xC/,命题办xWB,若力18,则p是q的充分条件

（q是p的必要条件）；若"MB,则p是《的充分不必要条件（q是p的必要不充分条件）；若p=q,则p是q

的充要条件.

（3）等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.

回顾2不等式

1.不等式的性质

（1）性质1：如果那么b<a；

如果b<a,那么a>h.

即a>b=b<a.

（2）性质2：如果a>6,b>c,那么a>c.

即a>h,h>c=>a>c.

（3）性质3：如果a>6,那么a+c>6+c.

（4）性质4：①如果a>h,c>0那么ac>bc.②如果a>h,c<0,那么ac<bc.

（5）性质5：如果a>6,c>d,那么a+c>b+d.

⑹性质6：如果a>6>0,c>d>0,那么ac>6d.

（7）性质7：如果。>6>0,那么a">b",（nGN,»>2）.

1

(8)性质8：如果〃>b>0,那么切>够，(〃£N,n>2).

2.常用结论

(1)倒数性质的几个必备结论

①a>b,ab>0^~<~.

ab

②a〈Ov6nL:2.

ab

®a>b>O,O<c<d^-^.

cd

®Q<a<x<b或a<x<b<0=^^-<^<-.

bxa

(2)两个重要不等式

若a>b>0,m>0,则

h+mbb-m..八、

aa+maa—m

泌上组4a(i>o).

bb+mbb-m

3.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程/的符号)；三解(解对应的一

元二次方程)：四写(大于取两边，小于取中间).

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次

函数的开口方向；②判别式4它决定根的情形，一般分/>0,/=0,/<0三种情况；③在有根的条件下，

要比较两根的大小.

4.不等式恒成立问题

(1)一元二次不等式恒成立问题

①ax2+6x+c>0(aW0)恒成立(或解集为R)时，满足卜>°:

U<o

②"2+bx+c20(“W0)恒成立(或解集为R)时，满足匕、。；

③办2+6x+c<0(a#0)恒成立(或解集为R)时，满足卜<°:

U<0

④&+法+cW0(“#0)恒成立(或解集为R)时，满足-

(2)含参数的一元二次不等式恒成立.若能够分离参数成长/(x)或份/(x)形式.则可以转化为函数值域求

解.

设Xx)的最大值为M,最小值为m.

①左勺(x)恒成立上(/(X)恒成立台〃WM

②心公)恒成立0女>”,女友/a)恒成立

2

5.分式不等式

^>0(<0)0/(x)g(x)>0(<0)；

g(x)

©》。0)0卜淤声°伐°)'

g(x)lg(x)WO.

6.基本不等式

(1)基本不等式：审》痂(0,bG(O,+8)),当且仅当a=b时取等号.

基本不等式的变形：

22

®a+b^2ab(a9b£R),当且仅当a=b时取等号；

②图2

2ab(a,*GR),当且仅当a=b时取等号.

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、

“等”的条件.

***7.线性规划

(1)可行域的确定，“线定界，点定域”.

(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.

8.绝对值不等式的解法

(1)形如|ax+b|2|cx+d1的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|Wc(c>0)和Iax+b|2c(c>0)型不等式

①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集

不等式a>0a=0a<0

|“<Za{j'-00

|11〉Q{•z|l>Q或/〈一。}{N[%W0}R

②|ax+bWc(c>0)和lax+blec(c>0)型不等式的解法lax+blWco—cWax+bWc(c>0),|ax+

b|》c=ax+b，c或ax+bW-c(c>0).

(3)形如|x-a]+|x-b2c(或Wc)型的不等式主要有三种解法：

①分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(一8,a],(a,b],(b,+8)(此处设

a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集.

②几何法：利用除一a|十|x—b1>c(c>0)的几何意义：数轴上到点X1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,

X—a|+|x—b|2|x—a—(x—b)|=|a—b.

③图象法：作出函数％=|x—a|+|x—b]和丫2=。的图象，结合图象求解.

9.绝对值不等式的应用

如果a,b是实数，那么|a+b|W|a|+|b|,当且仅当abeO时，等号成立.

3

10.两类含绝对值不等式的证明问题

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利

用绝对值三角不等式性质定理：Ua|一|b||W|a±b|W|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明；另一类是综

合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用

一元二次方程的根的分布等方法来证明.

11.含绝对值不等式的应用中的数学思想

(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想.

12.求/3)=|x+a|+|x+3和/(x)=|x+a|—|x+b|的最值的三种方法

(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.

(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.

(3)利用绝对值的几何意义.

回顾3复数

1.复数的有关概念

(D复数的概念：

形如a+历(a,6CR)的数叫复数，其中a,6分别是它的实部和虚部.若6=0,则a+沅为实数；若

则a+玩为虚数；若a=0且。W0,则a+历为纯虚数.

步不宜蕤为羸鹿T一不反囊菽-前为五一速獭录虚割示石3；

(2)复数相等：2+历=。+式0@=。且6=d(a,b,c,<76R).

(3)共辗复数：a+历与c+di共辗oa=c,b——d(a,b,c,dGR).

(4)复数的模：

向量OZ的模r叫做复数z=a+历(a,6GR)的模，记作Iz|或|a+6i|,EP|z|=Ia+bi\—\ja~+b\

2.复数的几何意义

一一^对应

(1)复数z=a+bi"(----------**复平面内的点Z(a,6)(a,，£R).

复数z=a+历a,b£R的对应点的坐标为a,b,而不是a,历,

一一对应—>

(2)复数z=a+bi(a,Z?£R)-<---------呼面向量0Z.

3.复数的运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

设4=&+厉，z2—c+di(a,b,c,d£R),则

①加法：Z]+z2=Q+历)+(c+di)=Q+c)+(b+d)i；

②减法：Zj—z2=(a+Z?i)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i；

③乘法：Z]・Z2=(a+bi)•(c+di)=(ac—6中+(ad+bc)i；

④除法：包=型=(“+bi)(c-叽生坟+组网(c+di¥o).

22c+di(c+di)(c-di)c2-\-cPc2-\~cP

4

(2)复数加法的运算定律

设4,Z,%ec,则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z,+z,=z,+z,；

②结合律：(4+22)+4=4+3+23).

4.常用结论

(l)(l±i)2=±2i,=i，二^=一i.

1—11+1

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=­i(n£N')；

i4"+i4,t+'+i4n+2+i4"+3=o(〃wN*).

(4)共输与模是复数的重要性质，运算性质有：

22

(1)Z]+z2=z]±z2；(2)Z]XZ2=Z]XZ2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)HzJ-lz，[]<|Z]+z2|<|zl|+|z2|；

⑸1附同讣㈤；⑹五书.

***5.复数的三角形式、运算及其几何意义

(1)复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成《cos6+isin。)的形式，其中，r是复数z的模；6是以x轴

—>

的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+所的辐角，我们规定在0W6

<2兀范围内的辐角6的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos6+isin。)叫做复数z=a+历的三角表示式，

简称三角形式.。+齿叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

(2)复数三角形式的乘、除运算

若复数zi=n(cos仇+isin仇),Z2=「2(cos仇+isin。2)，且zRz2,则

©ziZ2—ri(cosd+isin")72(cosft+isin灰尸

八以cos(0+&)+isin(仇+仇)]

②zincos6i+isin&

Z2ncosft+isinO2

——[cos(0i—02)+isin(0i—仇)].

ri

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐

角所得的差.

回顾4平面向量

—,向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的.

5

3.单位向量：长度等于1个单位的向量.（1）非零向量a与岛的关系：?是与a同方向的单位向量，-

\a\\a\

岛是与a反方向的单位向量.

|a|

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：。与任一向量共线.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二.平面向量的线性运算

（一）向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

巴(1)交换律：

a

cr\-b^lr\-a；

加法求两个向量和的运算三角形法则

(2)结合律：

a(a+b)+ka+(什c)

平行四边形法则

求a与6的相反向量

减法一〃的和的运算叫做a

a

与b的差三角形法则

（二）向量的数乘运算及其几何意义

1.定义：实数义与向量。的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作脑，它的长度与方向规定如下：

①网=囚同；

②当时，幼的方向与。的方向相同；当kO时.，筋的方向与a的方向相反；当4=0时，2a=0.

2.运算律：设九〃是两个实数，则：

①；②（4+〃）片4a；©2（a+Z＞）=2a+2t.

三.共线向量

共线向量定理：向量”（存0）与共线，当且仅当有唯一一个实数人使得6=觞.

四.平面向量基本定理

如果的，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量”，有且只有一对实数九，22,

使⑻+小02.我们把不共线的向量约，02叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

五.向量a与b的夹角

已知两个非零向量。和A作晶=a，OB=b,则//。8=伏0。・。忘180。）叫做向量。与6的夹角.当。=0。

时，。与6同向:当。=180。时，a与b反向.如果。与Z＞的夹角是90。,我们说a与6垂直，记作U4

6

六.平面向量的数量积

⑴若0,6为非零向量，夹角为一则〃力=13网cos。

(2)设a=(x],y\)y8=(x2,歹2),贝U。•方=迎迂红匕.

(3)年”的几何意义：数量积ab等于a的长度同与b在a的方向上的投影网cos。的乘积.

七.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若。=(xi,yi)fb=g,闻，则

(1)仅〃bQa=Zb(b/0)0制"2一检次=0.

(2)a±b0a'b=0<=>迎"h凶"三

A.利用数量积求长度

(1)若〃=a，刃，则同=江^="2+炉.

(2)若4(xi，y\),8(x2，%)，则

\AB\=为3-巾>+侬―yip.

九.利用数量积求夹角

设防分为非零向量，若”=(孙6)，6=(X2,/)，。为。与b的夹角,

a,b=XIR+JI”

则cos0=

十.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△Z8C所在平面上一点，角/,8,C所对的边长分别为a,b,c,则

(1)0为△A8C的外心01al=|为|=|历|=一^~.

2sin/

(2)0为AABC的重心㈡E1+为+沆1=().

(3)0为/\ABC的垂心㈡万1•加=为•成?=灰?•①.

(4)0为△/BC的内心0“为+分为+<7历=0.

回顾5三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.终边相同角的表示

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S="步=a+k360。，k《Z｝,即任一与角a终边

相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.几种特殊位置的角的集合

(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：｛a|a=h360。，k^Z｝.

(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：｛他=180。+h360。，AGZ｝.

(3)终边在x轴上的角的集合：｛a[a=AH80。，k&Z｝.

(4)终边在y轴上的角的集合：｛a|a=90o+A180°,JfcGZ｝.

(5)终边在坐标轴上的角的集合：｛a|a=》90。，k&Z｝.

(6)终边在夕=》上的角的集合：｛a|a=45°+A-180°,kb].

(7)终边在y=-x上的角的集合：｛研2=-45。+4・180。，k《Z].

7

(8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{a|a=A-45。，ACZ}.

3.1弧度的角

在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

4.正角、负角和零角的弧度数

一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

5.角度制与弧度制的换算

JT

(1)1°=—rad.

180

(2)1rad=K)°.

6.如果半径为，•的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么，角a的弧度数的绝对值是闷=L

r

相关公式：(1)/=鬻=汕.

1oO

7.利用单位圆定义任意角的三角函数

设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸a，咒，那么:

(1»叫做a的正弦，记作sina,即sina=y.

(2)x叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=x.

(3产叫做。的正切，记作tana,即tanQ=%W0).

xx

8.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：sin2a+cos2a=1=>sin1=±业一cos2a.

(2)商的关系:皿=/*唠51

cosa

9.三种三角函数的性质

正弦函数^=5沿工余弦函数^=85%正切函

图象

定义域RR{小刊+%兀，A-6Z}

值域[—1,1](有界性)[—1,1](有界性)R

零点{x\x=kn,%WZ}{x[x=]+E,kGZ}{小=E,kez}

最小正周期2n2兀71

奇偶性查函数假函数直函数

8

[一1+〃兀

---\-2kn

一2，[—兀+2%%,

增区间

2E]/£Z)—+^7r|

单调—2+2ATI」(2£Z)2J(A^ez)

性

g+2®,y+

减区间\2kn,n+2kn](k^Z)

2E](攵£Z)

对称轴x=：+E(%ez)x=E/£Z)

对称

对称中

性(~+laiol

电0)(%£Z)UfJ/£Z)(f°Lez)

心

10.函数y=Asin(3x+4>)(3>0,A>0)的图象

(1)“五点法”作图

设z=(or+0,令z=0,；,兀，段，2兀，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.

(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.

(3)图象变换

产sinx—粤翁冷黑於一产sin(x+p)—士弋?普设空一产sin(5+°)

7平移I柯个单位长度z纵坐标不变'

纵坐标变为原来的44>0)倍

fy=4sin(s+@).

11.准确记忆六组诱导公式

对于，，骨扇皿”的三角函数值与a角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限.

12.三角函数恒等变换

(1)cos(a+g)=cosacos夕一sinasin6,

cos(a-。)=cosacos6+sinasin6,

sin(a+4)=sinacos夕+cosasisfi,

sin(a—jfi)=sinacos6-cosasin6,

/,c、tana+tanB

tan(a+为=----------

1—tanatanp

gwE+彳,kGZ,夕WE+言keZ,ct+夕WE十多kGZ

/门、tana—tan5

tan(a一夕)=---------

1+tan«tan0

12®+：,kez,4#E+：,左ez,q一6/女兀+j,左ez

sin2a=2sinacosa,

cos2。=cos2a—sin2a=2cos2c-1=1—2sin2g,

9

2tana

tan2a=

1-tan26t

支，kCZ,2a#E+匹，kRZ,a#A7iF,kGZ

I224

(2)辅助角公式

/-------1iacosx+=^=sinx\

acosx+/?sinx=yja2+b?[^a2+b2+b2J,

令sin0=-j==cos0=-j=^=

\la2+b29\la2+b29

QCOSx+bsinx=\a2+Z?2sin(x+6),

其中。为辅助角，tan

b

13.正弦定理及其变形

-2—=-=-^=2R(2R为LABC外接圆的直径).

sinAsinBsinC

变形：〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=27?sinC.

sinA,sinB=—,sinC=—.

2R2R2R

a：b：c=sin4：sin5：sinC.

14.余弦定理及其推论、变形

4=尻+”—2bccos4,b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2-\-b2—2abcosC.

推论：cos力=〃+…吟cos8声j

2bclac

cosC=

lab

变形：b2+c2—a2=2bccosA,a2+c2—Z>2=2accosB,

a2+b2-c2=2abcosC.

15.面积公式

^csinA=^acsinB=^absinC.

回顾6数列与数学归纳法

一、数列的概念与通项公式

1.数列的定义

按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则

在数列中是第几项.一般记为数列{an}.

对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序

有关，这有别于集合中元素的无序性.因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不

10

同的两个数列.

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别.

2.数列的分类

分类原则类型满足条件

有穷数列项数有限

按项数分类

无穷数列项数无限

递增数列%+1>%

按项与项间的

递减数列<a„其中n£N+

大小关系分类

常数列=%

有界数列存在正数使

按其他标准分

数列是一种特殊的函数

(ln的符号正负相间，如1,—1,1,3.

类摆动数列

数列是一种特殊的函数，其定义域是正

-1,...

整数集N*和正整数集N*的有限子集.

所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

4.数列的通项公式：

如果数列｛*｝的第〃项与序号”之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公

式.即可=/(〃),不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.

S、(〃=1)

5.数冽｛%｝的前〃项和S“和通项/的关系：an=

6.S“与a”关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用a,,=S—Si(〃22)转化为只含S,，的关系式，再求解.

(2)利用5"一£_产当522)转化为只含a.,a.1的关系式，再求解.

7.已知£求a,的三个步骤

(1)先利用求出a,.

(2)用〃一1替换£中的〃得到一个新的关系，利用2=£一£一(力22)便可求出当时当的表达式.

(3)对〃=1时的结果进行检验，看是否符合〃22时a”的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合

写；如果不符合，则应该分”=1与〃》2两段来写.

8.常见递推公式推导通项公式方法：

(1)累加法：%+「%=/(〃)

(2)累乘法：&包=/(〃)

4

11

（3）待定系数法：an+｛=pan+q（其中均为常数，（pq（p-l）wO））

解法：把原递推公式转化为：an+l-t=p（an-t）,其中/=/二，再利用换元法转化为等比数列求解.

二.数列的性质

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取

值时所对应的一列函数值，就是数列.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此,

在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.

数列的性质主要指：

1.数列的单调性--递增数列、递减数列或是常数列；

2.数列的周期性.

三、牢记概念与公式

等差数列、等比数列（其中〃CN*）

等差数列等比数列

通项公式ati=a\-\-(n-\}d

S尸必土必必+

⑴产1,s产妇团=g组

2

前n项和1—q1—q

〃（〃一1）

(2)q=l,Sn=na\

2

四、活用定理与结论

（1）等差、等比数列｛.“｝的常用性质

等差数列等比数列

①若加，n,p,夕£N”,①若p,q£N*,且加

且〃?+〃=p+夕，则%〃+4〃=；+〃=p+q,贝lj即q；

性质®an=助+（n-m）d；

③S”，S[n—Sm，邑小一S2,”，…仍成等差@Sm,S2,n—Sm,S3,"—S2,",…

数列仍成等比数列⑸,W0)

（2）判断等差数列的常用方法

①定义法

（常数）（〃CN*）仁＞｛%｝是等差数列；

②通项公式法

a〃=pn+q（p,q为常数，〃£N*）＜=＞｛〃〃｝是等差数歹U；

③中项公式法

2an+\=an+an+2（n2N*）＜=＞｛a〃｝是等差数列；

④前〃项和公式法

12

S„=An2+Bn(A,8为常数，”CN*)㈡｛%｝是等差数列.

(3)判断等比数列的常用方法

①定义法

—是不为0的常数，〃eN*)O｛a.｝是等比数列；

②通项公式法

an=cq"(c,4均是不为。的常数，〃WN*)O｛a”｝是等比数列;

③中项公式法

4+1=。".。”+2(。"为+「。”+2片0,"WN")0｛°"｝是等比数列.

五.数列求和的常用方法

(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.

(2)通项公式形如｛斯力“｝(其中｛斯｝为等差数列，也〃｝为等比数歹U)的数列，利用错位相减法求和.

(3)通项公式形如飙=,一:，、(其中a,b\,b2,c为常数)用裂项相消法求和.

(an+b\)(an-rb2)

(4)通项公式形如期=(-1)"•〃或%=0(一1)"(其中。为常数，”CN*)等正负项交叉的数列求和一般用并项

法.并项时应注意分〃为奇数、偶数两种情况讨论.

⑸分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成。“=斯+d形式的数列求和问题的方法，其中｛%｝与｛5｝

是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.

(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S,.

六.数学归纳法

用数学归纳法证明分以下两个步骤：

(1)证明当”=1时，命题成立；

(2)假设”=机时，命题成立，那么可以推导出在〃=加+1时命题也成立.("?代表任意自然数)

回顾7立体几何与空间向量

一、空间几何体的结构特征

(-)多面体的结构特征

多面体结构特征

棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

(二)旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形一条直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

13

球半圆直径所在的直线

(三)简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部

分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.

二、空间几何体的直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的X轴、y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的X,轴、，轴,

两轴相交于点。'，且使Nx'O'y'=45。或135。，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平

行于x'轴、V轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为

原来的一半.

(2)画几何体的高

在已知图形中过。点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z'轴，也垂直于『O'y'平面，己知

图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z'轴且长度不变.

***三、三视图

(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画

三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正

视图一样，宽度与俯视图一样.

四、柱、锥、台、球体的表面积和体积

侧面展开图表面积体积

直棱柱长方形S=2S底+S例V=S^-h

圆柱长方形$=2标+2仃/V=nt2'l

棱锥由若干个三角形构成s=s底+S恻/=紧〃

圆锥扇形S=Tir1+7trl/=:/•/?

3

棱台由若干个梯形构成s=s上底+S卜底+S倒+S')-h

2

圆台扇环S=itrr2+兀(尸+厂‘)/+兀户%=$(a+/7*'+r')h

3

球S=4nr2V=\it

3

五、平行、垂直关系的转化示意图

14

面面平行的判定

(1)面面平行的性质

面而垂直的判定

国］线面垂直的判定」线面L面面垂直的判定一阿方

垂直’线面垂直的性质’|垂直『面面垂直的性虎二垂直

nc____________________Z____________________r

面面垂直的性质

(2)两个结论

-a-Lal/a//b

①=>a〃6；②，=>b_La.

6_LcJa_La

六、用空间向量证明平行、垂直

设直线/的方向向量为a=(ai，b\,ci),平面a,”的法向量分别为"=(。2,bi,ci),v=(a3,bi,ci).则有:

(1)线面平行

/〃a㈡a-L〃㈡a7/=00aia2+〃ib2+ciC2=0.

(2)线面垂直

/J_a㈡台a=A//0al=左〃2，b\=kbi,ci=kc2-

(3)面面平行

a〃4台"〃,02=263，。2=2。3.

(4)面面垂直

a_L世*卜±•v=0-a2a3+b2b3+c2c3=0.

七、用向量求空间角

(1)直线/1,/2的夹角6满足COS9=|COS</|,/2)1(其中/1,/2分别是直线/|，，2的方向向量).

(2)直线/与平面a的夹角9满足sind=|cos〈/,〃〉|(其中/是直线/的方向向量，”是平面a的法向量).

(3)平面a,夕的夹角。满足cosO=|cos<m，n2>|，则二面角a—/一£的平面角为6或兀一0(其中m，”2分别是

平面a,4的法向量).

回顾8平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

①定义.当直线/与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线/向上的方向之间所成的角a

叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角a的范围为0«a<».

2.直线的斜率

①定义.一条直线的倾斜角90°)的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母上表示，即

k=tana,倾斜角是90。的直线没有斜率.当直线/与x轴平行或重合时，a=0°,k=tan00=0.

15

②过两点的直线的斜率公式.经过两点[区，乂)，P2(x2,8)(玉力4)的直线的斜率公式为％=三二与

X2—%

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在.

4.直线的倾斜角a、斜率”之间的大小变化关系：

TT

(1)当ae[0,5)时，A＞0,a越大，斜率越大；

JI

(2)当(/6(彳,乃)时，左＜0,a越大，斜率越大.

二、直线方程的五种形式

(1)点斜式：1一0=%G—xi)(直线过点治仿,力)，且斜率为A,不包括y轴和平行于y轴的直线).

(2)斜截式：》=去+6(6为直线/在夕轴上的截距，且斜率为上不包括夕轴和平行于夕轴的直线).

(3)两点式：匚江=2二(直线过点Pg,力)，Pi(X2,y2),且为WX2,力不包括坐标轴和平行于坐

y2-y\X2-x\

标轴的直线).

(4)截距式：王+'=15，6分别为直线的横、纵截距，且aWO,6W0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过

ab

原点的直线).

(5)一般式：Ar+W+C=O(其中/,8不同时为0).

三、直线的两种位置关系

当不重合的两条直线/＞和Z2的斜率都存在时：

⑴两直线平行：l\〃I吊k\=h.

(2)两直线垂直：/山2台&;&三二1.

提醒当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.

四、三种距离公式

⑴已知4(xi,yi),8(x2，及),两点间的距离

\AB\—\l(X2—X])2+(y2—yt)2.

(2)点到直线的距离学均(其中点尸(xo,次)，直线方程为/x+8y+C=0(Z2+4¥0)).

\IA2+B2

2

(3)两平行线间的距离d=毕二0(其中两平行线方程分别为/i：Ax+By+C^O,/2：Ax+By+Ci^O(A+

yjA2+B2

/HO)).

提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.

五、圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x-a)2+(-2

(2)圆的一般方程：苫2+?2+瓜+£丫+尸=0(。2+£2—440).

六、直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.

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判断方法：代数判断法与几何判断法.

(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.

判断方法：代数判断法与几何判断法.

七、圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

点尸不在

\PFI\+\PF\=\\PFI\-\PF\\=

定义22直线/上，PMJJ交1

2a2cQv历Bl)

于点M

5+1=1(心6>0)三一二=1(。>0，b>0)

标准方程y2=2px(p>0)

azbz

卜

图形

范围|x|W4,例|x|/

顶点(ia,0),(0,±b)仕dO)皿

对称性关于x轴，y轴和原点对称关于X轴对称

焦点(土c,0)

轴长轴长区,短轴长2b实轴长%,虚轴长2b

几何

C

性质e=-=

a

离心率e=l

准线T

y=^-x

渐近线

a

八、直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.

弦长公式：\AB\=^/T+P|xi—%2|»

或网=Y1+p[yi-yi\.

九、解决范围、最值问题的常用方法

(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解.

(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.

(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.

十、定点问题的思路

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（1）动直线/过