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文档简介
2023届高考数学专项练习导数构造函数解决问题
类型总结
一、重点题型目录
【题型一】构造函数力/3)型
【题型二】构造函数e"7(⑼型
【题型三】构造函数绊型
xn
【题型四】构造函数与型
e
【题型五】构造函数simr与函数/(⑼型
【题型六】构造函数cose与函数/Q)型
【题型七】构造e"与af(x)+bf(x)型
【题型八】构造(kx+6)与/(x)型
【题型九】构造ln(fcr+b)型
【题型十】构造综合型
二、题型讲解总结
【题型】一、构造函数小/(⑹型
例1.(2022-四川•盐亭中学模拟预测(文))已知定义在(0,+8)上的函数/Q)满足2口(乃+吐尸Q)V
0,/(2)=乎,则关于z的不等式/⑸>4的解集为()
4X
A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)
例2.(2022・河北•高三阶段练习)已知奇函数的定义域为R,导函数为广(0,若对任意zC
[0,+8),都有3/(乃+>0恒成立,/(2)=2,则不等式(x-1)7(/-1)<16的解集是
【题型】二、构造函数型
例3.(2022.河南•襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数/(⑼的定义域为R,其函数图象连续不断,
当re>0时,(①+2)/3)+幻乂4)>0,则()
A•噜>八2)B./(2)<0C./(—3)仔⑴>°D.^^>47(-2)
例4.(2022.江苏•南师大二附中高二期末)已知/(c)为R上的可导函数,其导函数为7'Q),且对于任意
的;rCH,均有/(7)+广(乃>0,则()
A.e-2021/(-2021)>/(0),e2021/(2021)</(0)
B.e-2021y(-2021)</(0),e2021y(2021)</(0)
C.e-2021/(-2021)>/(0),e2021/(2021)>/(())
D.e-202l/(-2021)</(0),e2021/(2021)>/(0)
例5.(2022・辽宁•大连二十四中模板fl测)已知函数9=Q),若/O)>0且f'Q)+时Q)>0,则有
()
A.f⑸可能是奇函数,也可能是偶函数B./(-I)>/(1)
C.j<c<专时,/(sine)Ve-「/(cos:r)D./(0)<Ve/(1)
例6.(2022・黑龙江•哈尔滨三中方三阶段练习)/3)是定义在R上的函数,满足2/Q)+(Q)=xeS
/(-1)=—/,则下列说法错误的是()
A./O)在R上有极大值B./(①)在R上有极小值
C./(c)在R上既有极大值又有极小值D./(c)在R上没有极值
【题型】三、构造函数型型
例7.(2022・山东•潭坊一中高三期中)设函数/(立)是奇函数/3)Q€R)的导函数,/(-1)=0,当田〉
0时,/(c)>0,则使得/(。)>0成立的土取值范围是()
A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)
C.(-oo,-l)U(0,l)D.(-1,0)U(l,+oo)
例8.(2022・安徽・马山中学高三阶段练习)已知&=上¥2,6==,。=4匹则&,6,。的大小关系为
4e2兀
()
A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b
【题型】四、构造函数孥型
e",
例9.(2022陕西•西安中学商二期中)已知定义在R上的函数/(为的导函数r(2),且/0)<f'(x)<0,
则()
A.ef(2)>f(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>f(l),f(2)<ef(l)
C.ef(2)<f(l),f⑵<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef⑴
例10.(2022•江苏•遂水县第一中学高三阶段练习)f(x)是定义在R上的函数,;Q)是/(乃的导函数,
已知F3)>/3),且AD=e,则不等式/(22-5)-e2"T>0的解集为()
A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+oo)D.(3,+°°)
例11.(2023・江西•筱州市段县第三中学高三期中(理))设尸(乃是函数/Q)的导函数,且:(乃>
3/3)QeR),/(+)=e(e为自然对数的底数),则不等式/(Int)</的解集为()
A.(。号)B.)C.(0,</e)D.
例12.(2022-河北廊坊.南三开学考试)已知定义域为H的函数/(为的导函数为/3),且/3)-/(x)=
2跣,,/(0)=0,则以下错误的有()
A.f⑸有唯一的极值点
B.f⑸在(-3,0)上单调递增
C.当关于2的方程/Q)=m有三个实数根时,实数m的取值范围为(0,4e-')
D./(x)的最小值为0
【题型】五、构造函数8kls与函数f3)型
例13.(2022•云南牌大席中高三阶段练习)已知a=sin*,b=4,c=lnl.l,则()
XXQJ.
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c
例14.(2022•全国•高三阶段练习)已知函数/(⑼及其导函数/'(⑼的定义域均为H,且/Q)为偶函数,
/瞪)=—2,3/(x)cosx+r(z)sinz>0,则不等式/(c+如cosSa;—/>0的解集为()
A.(―y,+00)B.(一专,+8)C.(―y-,y)D,(y,+00)
【题型】六、构造函数8o与函数f(力型
例15.已知函数/Q)的定义域为(一专昼),其导函数是r3).有rQ)cos;r+/3)sinzV0,则关于x的
不等式商(0V27信)COSX的解集为()
A.(f,f)B,(f,f)C-("f)D-(-f-f)
例16.(2021•重庆•赤二期末)已知/Q)的定义域为(0,+8)且满足0,/(')为/®的导函数,
/(X)-f(x)=6%/+85/),则下列结论正确的是()
A./(X)有极大值无极小值B./(X)无极值
C..f(x)既有极大值也有极小值D./(x)有极小值无极大值
【题型】七、构造寸与寸(力+?(初型
例17.(2022-陕西•西安中学高二期中)已知定义在R上的函数/Q)的导函数/⑺,且/Q)<f(x)<
0,则()
A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)
C.ef(2)</(l),/(2)<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef(l)
例18.(2022•河南•高三阶段练习(文))已知函数=az—e。—札其中e为自然对数的底数,若kE
[-l,e2]时,函数/⑸有2个零点,则实数a的可能取值为()
A.eB.2eC.e2D.3e
例19.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的偶函数9=/(/)的导函数为g=/'Q),当力>0时,
73)+¥•v0,且*2)=-3,则不等式/(2工-1X玄匕的解集为()
A.UB.(告,+8)
例20.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数/(/)="一±+2+^—6-0,其中6是自然对数的底
数,若/(a—2)+/02)>4,则实数a的取值范围是()
A.(-2,1)B.(-00,-2)C.(l,+oo)D.(-oo,-2)U(1,+<»)
M型】八、构造(far+&)与fQ)型
例21.(2022•河南•高三阶段练习(文))已知定义在(0,+8)上的函数/Q)的导函数为(3),若尸Q)V
2,且/(4)=5,则不等式〃2工)>2I+1-3的解集是()
A.(0,2)B.(0,4)C.(-oo,2)D.(-oo,4)
例22.(2022•河南•臬城方中高二阶段练习(理))已知奇函数/Q)的定义域为H,其函数图象连续不断,
当0时,(x+2)/3)+xf(x)>0,则()
A.噜>八2)B./(2)<0C./(-3)-/(1)>0D.^^>4/(-2)
【题型】九、构造ln(feE+b)型
例23.(2023•全国•高三专题练习)定义在(0,+8)上的函数/㈤满足时«)+1>0,/(2)=1岐,则不
等式/(^)+久>0的解集为()
A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,1)D.(In2,+oo)
例24.(2022河南•需三阶段练习(理))设a=cosy,b=々,c=In(普),则a,b,c之间的大小关系为
()
A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b
例25.(2022•贵州•高三阶段练习(理))己知命题p:在中,若/>?则sinA>手,命题q:Vc
>—Lx>ln(x+1).下列复合命题正确的是()
A.pf\qB.(np)A(-iQ)C.(np)AgD.pA(~IQ)
【题型】十、构造综合型
例26.(202%全国•高三阶段练习(■))下列命题为真命题的个数是()
①log32>;②eln兀〈兀;③sinj>务;④3eln2<4V2.
o24o
A.1B.2C.3D.4
例27.(2022・江苏•南京师大附中方三期中)已知函数/Q)=Inx-ad,则下列结论正确的有()
A.当aV*时,y=/(/)有2个零点
B.当a>《时,/(工)40恒成立
C.当a='■时,a?=1是y=/(刀)的极值点
D.若孙22是关于力的方程/(%)=0的2个不等实数根,则XiX2>e
例28.(2022・黑龙江・齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习)已知函数/Q)的定义域是(0,+8),/(乃是
/(/)的导数,若/(%)=时'(z)—o,r(i)=1,则下列结论正确的是()
A.f(x)在(0,卷)上单调递减B./(x)的最大值为e
C.f⑸的最小值为一9D.存在正数g,使得/(g)Vlng
例29.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=N(e"+l),g(力)=(力+l)ln①,若/(为)=g(x2)>0,
则生可取()
A.1B.2C.eD.e2
导数构造函数解决问题类型总结
一、重点题型目录
【题型一】构造函数式"/(M型
【题型二】构造函数e"7(⑼型
【题型三】构造函数绰型
M型四】构造函数黎型
【题型五】构造函数sinx与函数/(⑼型
M型六】构造函数cosx与函数/Q)型
【题型七】构造e"与af(x)+bf(x)型
【题型八】构造(%/+6)与/3)型
【题型九】构造ln(fex+b)型
【题型十】构造综合型
二、题型讲解总结
【题型】一、构造函数犷/(⑼型
例1.(2022四川•起亭中学模拟演浏(文))已知定义在(0,+8)上的函数/(工)满足2时(re)+x2f'(x)<
0,/(2)=乎,则关于z的不等式/⑸>4的解集为()
4X
A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)
【答案】D
【分析】构造函数八(工)="/(c),得到函数以0的单调性,根据单调性解不等式即可.
【详解】令九(1)=x2f(x),则"(z)=2xf[x}+x2f'(x')V0,所以五(①)在(0,+°0)单调递减,
不等式/(c)>3可以转化为>4x-y=22/(2),即h⑸>h(2),所以0VcV2.
故选:D.
例2.(2022•河北•高三阶段练习)已知奇函数”⑼的定义域为R,导函数为了'(/),若对任意力€
[0,+8),都有3/Q)+时'(0>0恒成立,/(2)=2,则不等式(x—-1)<16的解集是
【答案】(-1,3)
【分析】构造新函数g(z)=//(£),根据/Q)的性质推出gQ)的性质,最后利用g(x)单调性解不等
式.
【详解】设9(0=d'/(2),cCR,〃£)为奇函数,;.g(—;r)=(一力十一工)=巾㈤=g(z),即g(rc)是
偶函数,有g(x)=g(—x)=g(\x\),vVxE[0,+℃>),3/(x)+xf(x')>0恒成立,故kG[0,+«>)时,
g'(x)=3s2f(x)4-x3f'(x)=x2(3/(s)+xf'(x))>0,:.函数g(c)在[0,+<»)上为增函数,(2)=
2,g⑵=g(-2)=16,(x-1)-3-1)<16等价于gQ-1)<16=g⑵,g(x-1)=g(|c-1|)<g
(2),且函数gQ)在[0,+8)上为增函数,比一1|V2,解得一1VhV3.
故答案为:(一1,3)
【题型】二、构造函数门3)型
例3.(2022•河南•泉城高中高二阶段练习(理))已知奇函数/(切的定义域为R,其函数图象连续不断,
当0时,(c+2)/(c)+时,(土)>0,则()
A•噜>八2)B./(2)<0。/(一3)力1)>°D.^^>4/(-2)
【答案】D
【解析】
令gQ)=/e7(a;),根据导数可知其在[(),+oo)上单调递增,由g(2)>,g(l)>g(0)=()可知AB错
误,同时得到<4/(2),/(1)>0,/(3)>0,结合奇偶性知C错误,D正确.
【详解】
对于AB,令g(rr)=7%,/(0:),则g(0)=0,
g'(x)=x(x+2)e叭a;)+x^f'(x),
当%>0时,g'(c)=xex[(x+2),/(re)+时'(£)]>0,・・.g(/)在[0,+o0)上单调递增,
・・・g(0)Vg⑴Vg(2),即0Vef(l)<4/⑵,
f(r)
.・J(2)>0,发</(2),AB错误;
对于。,由71的推理过程知:当a;>0时,g(x)=x2exf(x')>0,
则当0时JQ)>0,.-./(1)>0,/(3)>0,
又八工)为奇函数,.-.f(-3)=-f(3)<0,-/(I)<0,C错误.
对于D,由力的推理过程知:噜<4/(2),又/(-1)=-/(I),/(-2)=-/(2),,一生父<
f(T)、
-4/(-2),则>4/(-2),D正确.
故选:D.
例4.(2022•江苏•南新大二附中商二期末)已知了(⑼为A上的可导函数,其导函数为/'(/),且对于任意
的;rCR,均有/3)+广(乃>0,则()
A.e-20217(-2021)>/(0),e2027(2021)</(0)
B.e-2021/(-2021)</(0),e2021/(2021)</(0)
C.e-2021f(-2021)>y(0),e2021/(2021)>/(0)
2022
D.e-11f(—2021)</(0),e021f(2021)>/(0)
【答案】D
【解析】
通过构造函数法,结合导数确定正确答案.
【详解】
构造函数F(z)=ex-f(x),F'(x)—[fix')+f,(a?)]•eI>0,
所以F(x)在R上递增,
所以F(—2021)<F(0),F(0)<F(2021),
即e-20217(-2021)</(()),/(())<e2,,21-/(2021).
故选:D
例5.(2022-辽宁•大连二十四中模拟fl测)已知函数?/=/(工),若fQ)>0且/⑵+#(x)>0,则有
()
A./(T)可能是奇函数,也可能是偶函数B./(-I)>/(1)
C.亍Va?V夕时,/(sine)Ver/(cosx)D./(0)<Ve/(1)
【答案】D
【解析】
根据奇函数的定义结合/(工)>0即可判断A;令g(rc)=e7/(^),利用导数结合已知判断函数g(工)的
单调性,再根据函数9(工)的单调性逐一判断BCD即可得解.
【详解】
解:若/3)是奇函数,则f(一工)=TQ),
又因为/(工)>0,与/(一式)=-f(rr)矛盾,
所有函数y=/(rr)不可能时奇函数,故4错误;
令g(a?)=eV(®)»
则g'(jc)=趾量/(工)+e句'(z)=e1(女T)+1f⑸),
因为e'2>0,f'(x)+xf[x}>0,
所以g'(a;)>0,所以函数gQ)为增函数,
所以g(一l)Vg⑴,即eV(-l)<eV(l),
所以/(-1)V/(l),故8错误;
因为与<亨,所以0<COST<<sine<1,
所以sin力>COST,
故g(sini)>g(cosi),R]7e2/(sina?)>e2/(cosrc),
ro67T-sin'rcoe<2x
所以/(sino;)>e2/(COST)=e2/(COSN),故。错误;
有g(0)Vg(l),即/(0)V何(1),故。正确.
故选:D.
例6.(2022•黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习)/(x)是定义在7?上的函数,满足2/Q)+f\x)=xex,
f(—l)=—a,则下列说法错误的是()
A.“乃在R上有极大值B./Q)在R上有极小值
C./(⑼在R上既有极大值又有极小值D./(x)在R上没有极值
【答案】
【分析】先由题意得/'(-1)=0,再构造g(c)=e2#Q),得到g'Q)=加3,,进而再构造从c)=e2/⑸
=既3工—2g(2),判断出h^X)>0,即/'(6)>0,由此得到选项.
【详解】根据题意,2/(⑼+f\x)=xe\故2/(—I)+r(T)=_据\
又汽T)=一蚩,得2(一*)+/'(-1)=-卷,故1(-1)=0,
令g®=e2V(a:),则g'(x')=2e2l/(®)+e2xf'(x)-e2l[2/(x)+/'Q)]=e21-xeT=xe3x,
又2e&/(a:;)+G2xf'(x)=记h(x')=e巧'(/)=xe^—2eixf(x)=xeiT—2g(x),
所以h'(x)=e31+'3xeix-2g'(x)=e3x+3;re址—2xei:C=eto(x+1),
当①V—1时,片(工)<0,h(H)单调递减;当①>—1时,h'(x')>0,h(x)单调递增,
所以八(⑼>MT)=©呷'(-1)=0,即e2»'Q)>0,即/3)>0,
所以/(⑼在E上单调递增,故/(乃在R上没有极值.
故选项ABC说法错误,选项。说法正确.
故选:ABC
【题型】三、构造函数型型
例7.(2022•山东•潭坊一中高三期中)设函数八⑼是奇函数/㈤QeR)的导函数,/(一1)=0,当c>
O0't,xfz(x)-/(x)>O,则使得/(6)>0成立的土取值范围是()
A.(-oo.-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)
C.(―8,—l)U(0,l)D.(―l,0)U(l,+8)
【答案】D
【分析】根据题意构造函数g(0=A?,由求导公式和法则求出g'Q),结合条件判断出g'3)的符号,
即可得到函数s(x)的单调区间,根据制奇函数判断出s(x)是偶函数,由/(-I)=()求出。-1)=(),
结合函数gM)的单调性、奇偶性,再转化/(x)>0,由单调性求出不等式成立时工的取值范围.
【详解】由题意设=与,则g'(c)=.'⑺-⑺
XX"
当⑦>0时,有xf\x)—f(x)>0,当1>0时,g\x)>0,
函数g(£)=工?在(0,+oo)上为增函数,
・・•函数/(c)是奇函数,
・・・g(-%)=g(N),
函数gQ)为定义域上的偶函数,
g(i)在(-8,0)上递减,
由/(一1)=0得,g(—1)=0,
,/不等式/(%)>0<=>x,g(x)>0,
frr>0弋(x<0
AAJ
b(x)>5(l)b(x)<g(-l)
即有x>1或一lVrcVO,
,使得>0成立的乙的取值范围是:(T,0)u3+8),
故选:D
例8.(2022•安徽•马山中学高三阶段练习)已知&=吗2,匕==,。=岁则叫6,。的大小关系为
4e/冗
()
A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b
【答案】C
【分析】构造函数,根据函数的单调性比较大小.
【详解】令"为=峥,则1⑸=x-2fnx,
X
令/'(%)V(),解得
因此/(z)=上学在(Ve,+oo)上单调递减,
m%lnV2ln4八,1Ine、In兀IIIA/TF厂、
又因为a=^—=而=/(4),b=/=亨=/£(6i),c=%=—^―=/(,元),
因为4>e>VTT>Ve,所以aVbVc.
故选:C.
【题型】四、构造函数要型
e
例9.(2022陕西•西安中学高二期中)已知定义在凡上的函数/Q)的导函数#Q),且/(⑼<f(x)<0,
则()
A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)
C.e/(2)</(l),/(2)<叭1)D.v/(l),/⑵>ef⑴
【答案】D
【分析】据已知不等式构造函数,结合导数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数9(r)=幺?=>9'(工)=’(⑸,因为/(z)<f'(x),
ee
所以g'Q)>(),因此函数g(x)是增函数,
于是有g(2)>g(l)=华>粤■=/(2)>ef(l),
ee
构造函数九3)=/(4)-e,="Q)=e,[/(a?)+f'(x)],因为/(工)</\®)<0,
所以"(1)<0,因此h(x)是单调递减函数,
于是有/1(2)<h(l)ne2/(2)<ef(l)=>ef(2)</(l),
故选:D
例10.(2022・江苏•注水县第一中学高三阶段练习);(x)是定义在R上的函数,f(x)是/(乃的导函数,
已知r(±)>/(c),且/(D=e,则不等式/(2c—5)—e2,f>o的解集为()
A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+co)D.(3,+°°)
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数,利用导数法求函数的单调性,结合函数的单调性即可求解.
【详解】由r(c)>/3),得3)一/3)>0,
*(X_f(x)而“、一广⑸一/侬)rn
设g[x)=——,则g(立)=----------->0,
ee;
f⑴
所以函数g(z)在(-8,+8)上单调递增,因为/(I)=3所以g(l)=—r-=1,
e
所以不等式/(2工-5)—e*5>o等价于以综“>i
e
即g(2x-5)>g(l),所以2工一5>1,解得c>3,
所以不等式/(2/一5)-e2T-->>0的解集为(3,+8).
故选:D
例11.(2023・江西•♦州市哀县第三中学方三期中(理))设(Q)是函数/(土)的导函数,且(Q)>
3/(乃QeR),/传)=e(e为自然对数的底数),则不等式工㈤<炉的解集为()
A.(。号)B.(十号)C.(0,^6)D.
【答案】C
【分析】构造函数g(®)=---■,由已知可得函数g(i)在R上为增函数,不等式/(Inc)<x}即为
e
9(1同〈9田,根据函数的单调性即可得解.
/(①)rf'Q)—3/Q)
【详解】解:令9(/),则9’(工)_3x
因为/3)>3/(*)QeR),
.(xJ\x)-3/(s)
所以gQ)=-----丽----->0,
所以函数g(w)在R上为增函数,
f/(Inx)
不等式即不等式{镇41,
[x>0
V\"同/(Inc)/1\_,借)_1
-1
又g(lnx)-e31nM=①3,g(3)--v-,
所以不等式/(Inc)V/即为g(lnrc)Vg(专),
1QL
即Ina;<—,解得0V1V建、
o
所以不等式/(hm)V/的解集为(0,加).
故选:C.
例12.(2022-河北廊坊•方三开学考试)已知定义域为凡的函数/0)的导函数为/3),且/'Q)-/(x)=
2碇,,/(0)=0,则以下错误的有()
A.7(X)有唯一的极值点
B./(⑼在(-3,0)上单调递增
C.当关于/的方程/Q)=m有三个实数根时,实数m的取值范围为(0,4e-i)
D./(x)的最小值为0
【答案】48。
【分析】构造g®=/学,结合已知求g[x}的解析式,进而可得/(①)=立纭,再利用导数研究/(/)的
极值点、单调性,并判断其值域范围,即可判断各选项的正误.
【详解】令。⑸=空)则或⑼=/叫‘㈤=2x,故g(0=x2+C,(C为常数),
ee
所以/(力)—er(x2+C),而/(0)=e°(0+(7)=0,故(7=0,
所以f(力=x2ex,则f,(x)=(①2+2x)ex,
令/'(N)=0,可得/=-2或%=0,
在(-oo,-2).(0,+co)上/3)>0J3)递增;在(-2,0)上广⑸<0,f(x)递减;
所以/(“)有2个极值点,在(一3,0)上不单调,46错误;
由久趋于负无穷时/3)趋向于(),/(—2)=3,/(0)=0,工趋于正无穷时/(力趋向于正无穷,
e
所以,f(a)=皿有三个实数根时a的范围为(0,4€-2),/(±)的最小值为0,C错误,。正确;
故选:ABC
【题型】五、构造函数sinx与函数,(力型
例13.(2022•云南舜大附中商三阶段练习)已知a=sin[j-,b=寻,c=lnl.l,则()
1.XOX
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c
【答案】B
【分析】根据结构构造函数/3)=%—sin6,c£[0停],利用导数判断单调性,即可得到aVb;根据结
构构造函数g(c)=lnc+1—宏,利用导数判断单调性,即可得到aVc;根据结构构造函数拉3)=In
3+1)一方誓,利用导数判断单调性,即可得到cvb.
6x
【详解】构造函数/3)=i—sinz,a€[0,y],则/'(n)=1—cosz—0,故函数g=/(①)在今]上单
调递增,故H《)>/(0)=0^A>sin・以^~>^^aVb.
构造函数g(c)=lnx+1一%,则g'Q)=十一1,易知函数g=g(z)在i=1处取得最大值g⑴=0,故
(7()V0,即Inf,+1—jy-V0,即-j-j-V-In^j-=ln-^-=lnl.1,由前面知sinypV三-,故aVc.
构造函数九(%)=ln(x+1)—,则h!{x)=—-丁,-/=
3+x6+1(3+④)-(/+1)(3+6)-
x(a:—3),故知函数y=八3)在(0,3)上单调递减,故从0.1)〈40)=0,即lnl.1〈贤=余,
(力+1)(3+X)2o•JLJJL
故cVb.综上,a<c<b.
故选:B.
例14.(2022全国•高三阶段练习)已知函数/(⑼及其导函数广e)的定义域均为H,且/Q)为偶函数,
/倩)=-2.3/(①)854+(3)5m0:>0,则不等式/(0:+1>0的解集为()
A.(-?+8)B.(-号+8)C.(-多奇)D.信,+8)
【答案】B
【分析】令g(c)=/(2:)sin3x-结合题设条件可得g(c)为R上的增函数,而原不等式即为
9(工+£)>0,从而可求原不等式的解集.
(详解】/(2+与)cos%—[•>0可化为/(re+专)sin3(x+£)—}>。,
令g(c)=/(±)sin%一十,
则g'(%)=/'(i)sin%+3/(x)sin2a;cosx=siirx(ff(T)sinx+3/(T)COSX),
因为3f(x)cosx+ff(x)sinx>0,故g'Q)>0(不恒为零),
故g(z)为R上的增函数,
故f(x+y)COS3T->0即为g(x+-y)>0,
而9(-*)=/(一专即『(一专)-}=_/■(强)sin1得)_/=0,
故g(i+-^)>0的解为①+$>一■嬴,
故i>一与即/(a7+^)cos%一}>0的解为(一华,+8).
故选:B.
【题型】六、构造函数CO8X与函数,3)型
例15.已知函数/⑺的定义域为(一•爰),其导函数是/‘(力有/'(力)857+/(小也2〈0,则关于力的
不等式V3/(x)<2/倩)cos力的解集为()
兀__7TD(2L一三)
B.(c.(中一32'6/
【答案】B
【分析】
令砥,)=鉴7,根据题设条件,求得R'3)V0,得到函数尸(宏)=鉴7在(一半£)内的单调递减
)f(—]
函数,再把不等式化为旦旦<—结合单调性和定义域,即可求解.
cosxcos专
【详解】由题意,函数/(力)满足/'(力)cosc+/(N)sin4V0,
/(x)r(N)cosi+/(i)sini
令F(x)=-----,则F(X)=-----------3---------<0
cosxcos2x
函数尸(工)=驾;是定义域(一号,需)内的单调递减函数,由于COST〉。,关于C的不等式何1㈤
COS^Z^2乙
V2/信)cosrr可化为f'(,J,即F(x)〈下信),所以一^VwV■且:r>■,解得£〉土
一COSt
>X
6,
不等式《/㈤V2/(匀cost的解集为传,夺).故选:B
UU
例16.(2021•直庆•商二期末)已知“为的定义域为(0,+8)且满足”为>0,/3)为/Q)的导函数,
/\x)—f(x)=e"3+cos/),则下列结论正确的是()
A./Q)有极大值无极小值B./(x)无极值
C.f(x)既有极大值也有极小值D.f(x)有极小值无极大值
【答案】B
【解析】
令F(s)=――,根据题意得到F'(x)=x+COSH,设gQ)=x+cosa:,a:>0,利用导数求得g(a:)在
e
区间(0,+8)单调递增,得到尸(乃>0,由/(⑼=—9Q),得到/'(乃>0,即函数/3)为单调递增
函数,得到函数无极值.
【详解】
人j、一/(«)、,、-reL,/、一/'(立)一,⑸
令白(X)=一可付F(①)=----------,
ee
因为f,(x)—/(x)=1(工+COST),可得斤'(c)=x+cosx,
设。(/)=工+cosrr,o;>0,可得9'(6)=1-sino;>0,
所以g(i)在区间(0,+8)单调递增,
又由g(0)=1,所以g(a;)>g(0)=1,所以F'Q)>0,所以F(:r)单调递增,
因为/(乃>0且e,>0,可得尸(力)>0,
因为F(x)=,可得f(x)=ex-F(x),x>0,
e
则f(x)=e-FQ)+F'Q)]>0,所以函数fQ)为单调递增函数,
所以函数/(乃无极值.
故选:B.
M型】七、构造M与4Q)+bf(x)型
例17.(2022-陕西•西安中学高二期中)已知定义在R上的函数/Q)的导函数,且/(乃<f(x)<
0,则()
A.e/(2)>/(1),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)
C.e/(2)</(l),/(2)<ef(l)D.叭2)Vf⑴,f(2)>叭1)
【答案】D
【分析】据已知不等式构造函数,结合导数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数9(£)=幺?=>g'3)=因为/(工)<f(x),
ee
所以g'(x)>0,因此函数g(x)是增函数,
于是有g(2)>g(l)=整〉上乎=/(2)>e/(l),
构造函数九3)=f(x)-ex=>h!(x)=er[f(x)+f'(x)],因为/(z)<f'(x)<0,
所以<0,因此4a;)是单调递减函数,
于是有M2)<九⑴0e2/(2)<ef(l)=>/⑵Vf⑴,
故选:D
例18.(2022河南•高三阶段练习(文))已知函数/Q)=3—e,—配其中e为自然对数的底数,若ke
[-l.e2]时,函数/Q)有2个零点,则实数a的可能取值为()
A.eB.2eC.e2D.3e
【答案】D
【分析】由题意可知方程a“一W[-l,e2]有两个实数根,令g(c)=ar—e],则g(①)的图象与直
线?/=",卜6[-有两个交点,结合导数分析函数gQ)的单调性与极值情况即可解决问题.
【详解】由题意可知方程Q%-ei=A;,kW[-l,e2]有两个实数根,
令g(c)=ax—ex,则g(%)的图象与直线y=E[―l,e2]有两个交点,g\x)=a-eT.
(1)若Q&O,g'(c)VO在R上恒成立,所以g(i)在R上单调递减,
g(i)的图象与直线沙=阮k6至多只有一个交点,不合题意;
(2)若Q>0,当eVIna时,g'(rr)>0,当i>Ina时,g'3)<0,
所以g(x)的单调递增区间是(-8,lna),单调递减区间是(hm,+8),
所以当出二Ina时,。3)取得极大值,也是最大值,为alna-a.
当_8时,g(z)T_8,当NT+8时,gQ)T-8,
所以要使g(z)的图象与直线y=[―l,e2]有两个交点,只需alna-Q>e,.
alna—a—a(lna-1),当OVaWe时,alna—0,当Q>e时,alna-Q>0,
所以alna—a>e2,a>e,
设九(a)=alna—a,a>e,则拉'(a)=Ina>0,
所以/I(Q)在(e,+8)上单调递增,而/i(e2)=e2,
所以alna—a>e?的解为a>e?,而3e>e?,
故选:D.
例19.(2023•全国・方三寿题练习)已知定义在R上的偶函数g=/(0的导函数为g=/'(力),当c>0时,
/'(c)+3V0,且/(2)=-3,则不等式/(2c-1)<与*的解集为()
X/NJL
A.(-8弓)U传,+8)B.(~|~,+8)
c-(i'f)D-
【答案】A
【分析】根据题干中的不等式,构造函数F(c)=01(2),结合y=/3)在在R上为偶函数,得到F(x)=
叭c)在R上单调递减,其中9(2)=2/(2)=-6,分工>/与工〈4,对/(2工一1)〈就37变形,利
用函数单调性解不等式,求出解集.
【详解】当」>()时,*,)+与=时<。,
所以当1>0时,xf\x)+/(N)<0,
令尸(土)=时(力),则当c>0时,F⑺=xfr(x)+f(x)<0,
故尸(①)=xf(x)在①>0时,单调递减,
又因为n=于㈤在在A上为偶函数,
所以尸(c)=时(,)在A上为奇函数,
故F*(N)=xf(x)在7?上单调递减,
因为/(2)=-3,所以F⑵=2/(2)=-6,
当c>)时,八2工-1)<可言可变形为(2x-1)/(2c-l)<-6,
即F(2x-1)<F(2),
因为F(x)=xf(x)在H上单调递减,
所以2①一1>2,解得:X>y,
1Q
与化>5■取交集,结果为1〉可;
当eV*时J(2z—l)V后:可变形为(2①一l)f(2a;-l)>—6,
即R(2z-1)>F(2),
因为F(x)=xf(x)在A上单调递减,
所以2x—1V2,解得:rrVj",
与7■取交集,结果为rc<y;
综上:不等式/(2/一1)v/j的解集为(-82)U(1,+«)).
故选:A
例20.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数/3)
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