2023届高考数学练习导数构造函数解决问题类型总结含解析

2023届高考数学专项练习导数构造函数解决问题

类型总结

一、重点题型目录

【题型一】构造函数力/3)型

【题型二】构造函数e"7(⑼型

【题型三】构造函数绊型

xn

【题型四】构造函数与型

e

【题型五】构造函数simr与函数/(⑼型

【题型六】构造函数cose与函数/Q)型

【题型七】构造e"与af(x)+bf(x)型

【题型八】构造(kx+6)与/(x)型

【题型九】构造ln(fcr+b)型

【题型十】构造综合型

二、题型讲解总结

【题型】一、构造函数小/(⑹型

例1.(2022-四川•盐亭中学模拟预测(文))已知定义在(0,+8)上的函数/Q)满足2口(乃+吐尸Q)V

0,/(2)=乎,则关于z的不等式/⑸>4的解集为()

4X

A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)

例2.(2022・河北•高三阶段练习)已知奇函数的定义域为R,导函数为广(0,若对任意zC

[0,+8),都有3/(乃+>0恒成立,/(2)=2,则不等式(x-1)7(/-1)<16的解集是

【题型】二、构造函数型

例3.(2022.河南•襄城高中高二阶段练习(理))已知奇函数/(⑼的定义域为R,其函数图象连续不断，

当re>0时，(①+2)/3)+幻乂4)>0,则()

A•噜>八2)B./(2)<0C./(—3)仔⑴>°D.^^>47(-2)

例4.(2022.江苏•南师大二附中高二期末)已知/(c)为R上的可导函数，其导函数为7'Q),且对于任意

的;rCH,均有/(7)+广(乃>0,则()

A.e-2021/(-2021)>/(0)，e2021/(2021)</(0)

B.e-2021y(-2021)</(0),e2021y(2021)</(0)

C.e-2021/(-2021)>/(0),e2021/(2021)>/(())

D.e-202l/(-2021)</(0),e2021/(2021)>/(0)

例5.(2022・辽宁•大连二十四中模板fl测)已知函数9=Q),若/O)>0且f'Q)+时Q)>0,则有

()

A.f⑸可能是奇函数，也可能是偶函数B./(-I)>/(1)

C.j<c<专时,/(sine)Ve-「/(cos:r)D./(0)<Ve/(1)

例6.(2022・黑龙江•哈尔滨三中方三阶段练习)/3)是定义在R上的函数，满足2/Q)+(Q)=xeS

/(-1)=—/,则下列说法错误的是()

A./O)在R上有极大值B./(①)在R上有极小值

C./(c)在R上既有极大值又有极小值D./(c)在R上没有极值

【题型】三、构造函数型型

例7.(2022・山东•潭坊一中高三期中)设函数/(立)是奇函数/3)Q€R)的导函数，/(-1)=0,当田〉

0时，/(c)>0，则使得/(。)>0成立的土取值范围是()

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-oo,-l)U(0,l)D.(-1,0)U(l,+oo)

例8.(2022・安徽・马山中学高三阶段练习)已知&=上¥2,6==,。=4匹则&,6,。的大小关系为

4e2兀

()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【题型】四、构造函数孥型

e",

例9.(2022陕西•西安中学商二期中)已知定义在R上的函数/(为的导函数r(2)，且/0)<f'(x)<0,

则()

A.ef(2)>f(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>f(l),f(2)<ef(l)

C.ef(2)<f(l),f⑵<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef⑴

例10.(2022•江苏•遂水县第一中学高三阶段练习)f(x)是定义在R上的函数，;Q)是/(乃的导函数,

已知F3)>/3),且AD=e，则不等式/(22-5)-e2"T>0的解集为()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+oo)D.(3,+°°)

例11.（2023・江西•筱州市段县第三中学高三期中（理））设尸（乃是函数/Q）的导函数，且:（乃>

3/3）QeR）,/（+）=e（e为自然对数的底数）,则不等式/（Int）</的解集为（）

A.（。号）B.）C.（0,</e）D.

例12.（2022-河北廊坊.南三开学考试）已知定义域为H的函数/（为的导函数为/3）,且/3）-/（x）=

2跣，,/（0）=0,则以下错误的有（）

A.f⑸有唯一的极值点

B.f⑸在（-3,0）上单调递增

C.当关于2的方程/Q）=m有三个实数根时,实数m的取值范围为（0,4e-'）

D./（x）的最小值为0

【题型】五、构造函数8kls与函数f3）型

例13.（2022•云南牌大席中高三阶段练习）已知a=sin*,b=4,c=lnl.l,则（）

XXQJ.

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

例14.（2022•全国•高三阶段练习）已知函数/（⑼及其导函数/'（⑼的定义域均为H,且/Q）为偶函数，

/瞪）=—2,3/（x）cosx+r（z）sinz>0,则不等式/（c+如cosSa;—/>0的解集为（）

A.（―y,+00）B.（一专，+8）C.（―y-,y）D,（y,+00）

【题型】六、构造函数8o与函数f（力型

例15.已知函数/Q）的定义域为（一专昼），其导函数是r3）.有rQ）cos;r+/3）sinzV0,则关于x的

不等式商（0V27信）COSX的解集为（）

A.（f,f）B,（f,f）C-（"f）D-（-f-f）

例16.（2021•重庆•赤二期末）已知/Q）的定义域为（0,+8）且满足0,/（'）为/®的导函数,

/（X）-f（x）=6%/+85/）,则下列结论正确的是（）

A./（X）有极大值无极小值B./（X）无极值

C..f（x）既有极大值也有极小值D./（x）有极小值无极大值

【题型】七、构造寸与寸（力+?（初型

例17.（2022-陕西•西安中学高二期中）已知定义在R上的函数/Q）的导函数/⑺，且/Q）<f（x）<

0,则（）

A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)

C.ef(2)</(l),/(2)<ef(l)D.ef(2)</(l),/(2)>ef(l)

例18.(2022•河南•高三阶段练习(文))已知函数=az—e。—札其中e为自然对数的底数，若kE

[-l,e2]时，函数/⑸有2个零点,则实数a的可能取值为()

A.eB.2eC.e2D.3e

例19.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的偶函数9=/(/)的导函数为g=/'Q),当力>0时,

73)+¥•v0，且*2)=-3,则不等式/(2工-1X玄匕的解集为()

A.UB.(告,+8)

例20.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数/(/)="一±+2+^—6-0,其中6是自然对数的底

数，若/(a—2)+/02)>4,则实数a的取值范围是()

A.(-2,1)B.(-00,-2)C.(l,+oo)D.(-oo,-2)U(1,+<»)

M型】八、构造(far+&)与fQ)型

例21.(2022•河南•高三阶段练习(文))已知定义在(0,+8)上的函数/Q)的导函数为(3),若尸Q)V

2,且/(4)=5,则不等式〃2工)>2I+1-3的解集是()

A.(0,2)B.(0,4)C.(-oo,2)D.(-oo,4)

例22.(2022•河南•臬城方中高二阶段练习(理))已知奇函数/Q)的定义域为H,其函数图象连续不断,

当0时,(x+2)/3)+xf(x)>0,则()

A.噜>八2)B./(2)<0C./(-3)-/(1)>0D.^^>4/(-2)

【题型】九、构造ln(feE+b)型

例23.(2023•全国•高三专题练习)定义在(0,+8)上的函数/㈤满足时«)+1>0,/(2)=1岐,则不

等式/(^)+久>0的解集为()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,1)D.(In2,+oo)

例24.(2022河南•需三阶段练习(理))设a=cosy,b=々，c=In(普)，则a,b,c之间的大小关系为

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

例25.(2022•贵州•高三阶段练习(理))己知命题p：在中，若/>?则sinA>手，命题q：Vc

>—Lx>ln(x+1).下列复合命题正确的是()

A.pf\qB.(np)A(-iQ)C.(np)AgD.pA(~IQ)

【题型】十、构造综合型

例26.（202%全国•高三阶段练习（■））下列命题为真命题的个数是（）

①log32>；②eln兀〈兀；③sinj>务；④3eln2<4V2.

o24o

A.1B.2C.3D.4

例27.（2022・江苏•南京师大附中方三期中）已知函数/Q）=Inx-ad,则下列结论正确的有（）

A.当aV*时，y=/（/）有2个零点

B.当a>《时，/（工）40恒成立

C.当a='■时，a?=1是y=/（刀）的极值点

D.若孙22是关于力的方程/（%）=0的2个不等实数根，则XiX2>e

例28.（2022・黑龙江・齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数/Q）的定义域是（0,+8）,/（乃是

/（/）的导数，若/（%）=时'（z）—o，r（i）=1,则下列结论正确的是（）

A.f（x）在（0,卷）上单调递减B./（x）的最大值为e

C.f⑸的最小值为一9D.存在正数g,使得/（g）Vlng

例29.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=N（e"+l）,g（力）=（力+l）ln①，若/（为）=g（x2）>0,

则生可取（）

A.1B.2C.eD.e2

导数构造函数解决问题类型总结

一、重点题型目录

【题型一】构造函数式"/(M型

【题型二】构造函数e"7(⑼型

【题型三】构造函数绰型

M型四】构造函数黎型

【题型五】构造函数sinx与函数/(⑼型

M型六】构造函数cosx与函数/Q)型

【题型七】构造e"与af(x)+bf(x)型

【题型八】构造(%/+6)与/3)型

【题型九】构造ln(fex+b)型

【题型十】构造综合型

二、题型讲解总结

【题型】一、构造函数犷/(⑼型

例1.(2022四川•起亭中学模拟演浏(文))已知定义在(0,+8)上的函数/(工)满足2时(re)+x2f'(x)<

0,/(2)=乎,则关于z的不等式/⑸>4的解集为()

4X

A.(0,4)B.(2,4-05)C.(4,+8)D.(0,2)

【答案】D

【分析】构造函数八(工)="/(c),得到函数以0的单调性，根据单调性解不等式即可.

【详解】令九(1)=x2f(x),则"(z)=2xf[x}+x2f'(x')V0,所以五(①)在(0,+°0)单调递减，

不等式/(c)>3可以转化为>4x-y=22/(2),即h⑸>h(2)，所以0VcV2.

故选：D.

例2.(2022•河北•高三阶段练习)已知奇函数”⑼的定义域为R,导函数为了'(/),若对任意力€

[0,+8),都有3/Q)+时'(0>0恒成立，/(2)=2,则不等式(x—-1)<16的解集是

【答案】(-1,3)

【分析】构造新函数g(z)=//(£),根据/Q)的性质推出gQ)的性质，最后利用g(x)单调性解不等

式.

【详解】设9(0=d'/(2)，cCR,〃£)为奇函数，；.g(—；r)=(一力十一工)=巾㈤=g(z),即g(rc)是

偶函数,有g(x)=g(—x)=g(\x\),vVxE[0,+℃>),3/(x)+xf(x')>0恒成立，故kG[0,+«>)时，

g'(x)=3s2f(x)4-x3f'(x)=x2(3/(s)+xf'(x))>0,：.函数g(c)在[0,+<»)上为增函数，(2)=

2,g⑵=g(-2)=16,(x-1)-3-1)<16等价于gQ-1)<16=g⑵,g(x-1)=g(|c-1|)<g

(2),且函数gQ)在[0,+8)上为增函数，比一1|V2,解得一1VhV3.

故答案为：(一1,3)

【题型】二、构造函数门3)型

例3.(2022•河南•泉城高中高二阶段练习(理))已知奇函数/(切的定义域为R,其函数图象连续不断,

当0时，(c+2)/(c)+时，(土)>0,则()

A•噜>八2)B./(2)<0。/(一3)力1)>°D.^^>4/(-2)

【答案】D

【解析】

令gQ)=/e7(a；),根据导数可知其在[(),+oo)上单调递增，由g(2)>,g(l)>g(0)=()可知AB错

误，同时得到<4/(2),/(1)>0,/(3)>0,结合奇偶性知C错误，D正确.

【详解】

对于AB,令g(rr)=7%,/(0：),则g(0)=0,

g'(x)=x(x+2)e叭a;)+x^f'(x),

当%>0时，g'(c)=xex[(x+2),/(re)+时'(£)]>0,・・.g(/)在[0,+o0)上单调递增，

・・・g(0)Vg⑴Vg(2)，即0Vef(l)<4/⑵,

f(r)

.・J(2)>0,发</(2),AB错误；

对于。，由71的推理过程知：当a;>0时，g(x)=x2exf(x')>0,

则当0时JQ)>0,.-./(1)>0,/(3)>0,

又八工)为奇函数，.-.f(-3)=-f(3)<0,-/(I)<0,C错误.

对于D,由力的推理过程知：噜<4/(2),又/(-1)=-/(I),/(-2)=-/(2)，，一生父<

f(T)、

-4/(-2),则>4/(-2),D正确.

故选：D.

例4.(2022•江苏•南新大二附中商二期末)已知了(⑼为A上的可导函数，其导函数为/'(/),且对于任意

的;rCR,均有/3)+广(乃>0,则()

A.e-20217(-2021)>/(0),e2027(2021)</(0)

B.e-2021/(-2021)</(0),e2021/(2021)</(0)

C.e-2021f(-2021)>y(0),e2021/(2021)>/(0)

2022

D.e-11f(—2021)</(0),e021f(2021)>/(0)

【答案】D

【解析】

通过构造函数法，结合导数确定正确答案.

【详解】

构造函数F(z)=ex-f(x),F'(x)—[fix')+f,(a?)]•eI>0,

所以F(x)在R上递增，

所以F(—2021)<F(0),F(0)<F(2021),

即e-20217(-2021)</(()),/(())<e2,,21-/(2021).

故选：D

例5.(2022-辽宁•大连二十四中模拟fl测)已知函数?/=/(工)，若fQ)>0且/⑵+#(x)>0,则有

()

A./(T)可能是奇函数，也可能是偶函数B./(-I)>/(1)

C.亍Va?V夕时,/(sine)Ver/(cosx)D./(0)<Ve/(1)

【答案】D

【解析】

根据奇函数的定义结合/(工)>0即可判断A;令g(rc)=e7/(^)，利用导数结合已知判断函数g(工)的

单调性，再根据函数9(工)的单调性逐一判断BCD即可得解.

【详解】

解：若/3)是奇函数，则f(一工)=TQ),

又因为/(工)>0,与/(一式)=-f(rr)矛盾，

所有函数y=/(rr)不可能时奇函数，故4错误；

令g(a?)=eV(®)»

则g'(jc)=趾量/(工)+e句'(z)=e1(女T)+1f⑸),

因为e'2>0,f'(x)+xf[x}>0,

所以g'(a;)>0,所以函数gQ)为增函数，

所以g(一l)Vg⑴，即eV(-l)<eV(l),

所以/(-1)V/(l),故8错误；

因为与<亨，所以0<COST<<sine<1,

所以sin力＞COST,

故g(sini)>g(cosi),R]7e2/(sina?)>e2/(cosrc),

ro67T-sin'rcoe<2x

所以/(sino;)>e2/(COST)=e2/(COSN)，故。错误；

有g(0)Vg(l),即/(0)V何(1),故。正确.

故选：D.

例6.(2022•黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习)/(x)是定义在7?上的函数，满足2/Q)+f\x)=xex,

f(—l)=—a,则下列说法错误的是()

A.“乃在R上有极大值B./Q)在R上有极小值

C./(⑼在R上既有极大值又有极小值D./(x)在R上没有极值

【答案】

【分析】先由题意得/'(-1)=0,再构造g(c)=e2#Q),得到g'Q)=加3,,进而再构造从c)=e2/⑸

=既3工—2g(2),判断出h^X)>0,即/'(6)>0,由此得到选项.

【详解】根据题意，2/(⑼+f\x)=xe\故2/(—I)+r(T)=_据\

又汽T)=一蚩，得2(一*)+/'(-1)=-卷，故1(-1)=0,

令g®=e2V(a:),则g'(x')=2e2l/(®)+e2xf'(x)-e2l[2/(x)+/'Q)]=e21-xeT=xe3x,

又2e&/(a：;)+G2xf'(x)=记h(x')=e巧'(/)=xe^—2eixf(x)=xeiT—2g(x),

所以h'(x)=e31+'3xeix-2g'(x)=e3x+3;re址—2xei:C=eto(x+1),

当①V—1时，片(工)<0,h(H)单调递减;当①>—1时，h'(x')>0,h(x)单调递增,

所以八(⑼>MT)=©呷'(-1)=0,即e2»'Q)>0,即/3)>0,

所以/(⑼在E上单调递增，故/(乃在R上没有极值.

故选项ABC说法错误，选项。说法正确.

故选：ABC

【题型】三、构造函数型型

例7.(2022•山东•潭坊一中高三期中)设函数八⑼是奇函数/㈤QeR)的导函数，/(一1)=0，当c>

O0't，xfz(x)-/(x)>O，则使得/(6)>0成立的土取值范围是()

A.(-oo.-l)U(l,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

C.(―8,—l)U(0,l)D.(―l,0)U(l,+8)

【答案】D

【分析】根据题意构造函数g(0=A?,由求导公式和法则求出g'Q),结合条件判断出g'3)的符号，

即可得到函数s(x)的单调区间，根据制奇函数判断出s(x)是偶函数，由/(-I)=()求出。-1)=(),

结合函数gM)的单调性、奇偶性，再转化/(x)>0,由单调性求出不等式成立时工的取值范围.

【详解】由题意设=与，则g'(c)=.'⑺-⑺

XX"

当⑦>0时，有xf\x)—f(x)>0,当1>0时，g\x)>0,

函数g(£)=工?在(0,+oo)上为增函数，

・・•函数/(c)是奇函数，

・・・g(-%)=g(N),

函数gQ)为定义域上的偶函数，

g(i)在(-8,0)上递减，

由/(一1)=0得，g(—1)=0,

,/不等式/(%)>0<=>x,g(x)>0,

frr>0弋(x<0

AAJ

b(x)>5(l)b(x)<g(-l)

即有x>1或一lVrcVO,

，使得>0成立的乙的取值范围是：(T,0)u3+8),

故选:D

例8.(2022•安徽•马山中学高三阶段练习)已知&=吗2,匕==，。=岁则叫6,。的大小关系为

4e/冗

()

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】构造函数，根据函数的单调性比较大小.

【详解】令"为=峥，则1⑸=x-2fnx,

X

令/'(%)V(),解得

因此/(z)=上学在(Ve,+oo)上单调递减，

m%lnV2ln4八,1Ine、In兀IIIA/TF厂、

又因为a=^—=而=/(4),b=/=亨=/£(6i),c=%=—^―=/(，元)，

因为4>e>VTT>Ve,所以aVbVc.

故选：C.

【题型】四、构造函数要型

e

例9.(2022陕西•西安中学高二期中)已知定义在凡上的函数/Q)的导函数#Q),且/(⑼<f(x)<0,

则()

A.e/(2)>/(l),/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)

C.e/(2)</(l)，/(2)<叭1)D.v/(l)，/⑵>ef⑴

【答案】D

【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】构造函数9(r)=幺?=>9'(工)=’(⑸,因为/(z)<f'(x),

ee

所以g'Q)>(),因此函数g(x)是增函数，

于是有g(2)>g(l)=华>粤■=/(2)>ef(l),

ee

构造函数九3)=/(4)-e，="Q)=e，［/(a?)+f'(x)］，因为/(工)</\®)<0,

所以"(1)<0,因此h(x)是单调递减函数，

于是有/1(2)<h(l)ne2/(2)<ef(l)=>ef(2)</(l),

故选：D

例10.(2022・江苏•注水县第一中学高三阶段练习);(x)是定义在R上的函数，f(x)是/(乃的导函数,

已知r(±)>/(c)，且/(D=e,则不等式/(2c—5)—e2，f>o的解集为()

A.(—8,—3)B.(—8,—2)C.(2,+co)D.(3,+°°)

【答案】D

【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合函数的单调性即可求解.

【详解】由r(c)>/3),得3)一/3)>0,

*(X_f(x)而“、一广⑸一/侬)rn

设g［x)=——，则g(立)=----------->0,

ee;

f⑴

所以函数g(z)在(-8,+8)上单调递增，因为/(I)=3所以g(l)=—r-=1,

e

所以不等式/(2工-5)—e*5>o等价于以综“>i

e

即g(2x-5)>g(l),所以2工一5>1,解得c>3,

所以不等式/(2/一5)-e2T-->>0的解集为(3,+8).

故选：D

例11.(2023・江西•♦州市哀县第三中学方三期中(理))设(Q)是函数/(土)的导函数，且(Q)>

3/(乃QeR),/传)=e(e为自然对数的底数),则不等式工㈤<炉的解集为()

A.(。号)B.(十号)C.(0,^6)D.

【答案】C

【分析】构造函数g(®)=---■,由已知可得函数g(i)在R上为增函数，不等式/(Inc)<x｝即为

e

9(1同〈9田，根据函数的单调性即可得解.

/(①)rf'Q)—3/Q)

【详解】解：令9(/),则9’(工)_3x

因为/3)>3/(*)QeR),

.(xJ\x)-3/(s)

所以gQ)=-----丽----->0,

所以函数g(w)在R上为增函数，

f/(Inx)

不等式即不等式｛镇41,

[x>0

V\"同/(Inc)/1\_，借)_1

-1

又g(lnx)-e31nM=①3，g(3)--v-，

所以不等式/(Inc)V/即为g(lnrc)Vg(专)，

1QL

即Ina;<—,解得0V1V建、

o

所以不等式/(hm)V/的解集为(0,加).

故选：C.

例12.(2022-河北廊坊•方三开学考试)已知定义域为凡的函数/0)的导函数为/3)，且/'Q)-/(x)=

2碇，,/(0)=0,则以下错误的有()

A.7(X)有唯一的极值点

B./(⑼在(-3,0)上单调递增

C.当关于/的方程/Q)=m有三个实数根时，实数m的取值范围为(0,4e-i)

D./(x)的最小值为0

【答案】48。

【分析】构造g®=/学，结合已知求g[x｝的解析式，进而可得/(①)=立纭,再利用导数研究/(/)的

极值点、单调性，并判断其值域范围，即可判断各选项的正误.

【详解】令。⑸=空)则或⑼=/叫‘㈤=2x,故g(0=x2+C,(C为常数)，

ee

所以/(力)—er(x2+C),而/(0)=e°(0+(7)=0,故(7=0,

所以f(力=x2ex,则f，(x)=(①2+2x)ex,

令/'(N)=0,可得/=-2或%=0,

在(-oo,-2).(0,+co)上/3)>0J3)递增;在(-2,0)上广⑸<0,f(x)递减;

所以/(“)有2个极值点，在(一3,0)上不单调，46错误；

由久趋于负无穷时/3)趋向于()，/(—2)=3,/(0)=0,工趋于正无穷时/(力趋向于正无穷，

e

所以,f(a)=皿有三个实数根时a的范围为(0,4€-2),/(±)的最小值为0,C错误，。正确；

故选：ABC

【题型】五、构造函数sinx与函数，(力型

例13.(2022•云南舜大附中商三阶段练习)已知a=sin[j-,b=寻,c=lnl.l,则()

1.XOX

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【分析】根据结构构造函数/3)=%—sin6,c£[0停],利用导数判断单调性，即可得到aVb;根据结

构构造函数g(c)=lnc+1—宏，利用导数判断单调性，即可得到aVc;根据结构构造函数拉3)=In

3+1)一方誓，利用导数判断单调性，即可得到cvb.

6x

【详解】构造函数/3)=i—sinz,a€[0,y],则/'(n)=1—cosz—0,故函数g=/(①)在今]上单

调递增，故H《)>/(0)=0^A>sin・以^~>^^aVb.

构造函数g(c)=lnx+1一％,则g'Q)=十一1,易知函数g=g(z)在i=1处取得最大值g⑴=0,故

(7()V0,即Inf，+1—jy-V0,即-j-j-V-In^j-=ln-^-=lnl.1,由前面知sinypV三-，故aVc.

构造函数九(％)=ln(x+1)—,则h!{x)=—-丁，-/=

3+x6+1(3+④)-(/+1)(3+6)-

x(a:—3),故知函数y=八3)在(0,3)上单调递减，故从0.1)〈40)=0,即lnl.1〈贤=余,

(力+1)(3+X)2o•JLJJL

故cVb.综上，a<c<b.

故选:B.

例14.(2022全国•高三阶段练习)已知函数/(⑼及其导函数广e)的定义域均为H,且/Q)为偶函数,

/倩)=-2.3/(①)854+(3)5m0：>0,则不等式/(0：+1>0的解集为()

A.(-?+8)B.(-号+8)C.(-多奇)D.信,+8)

【答案】B

【分析】令g(c)=/(2：)sin3x-结合题设条件可得g(c)为R上的增函数，而原不等式即为

9(工+£)>0,从而可求原不等式的解集.

(详解】/(2+与)cos%—[•>0可化为/(re+专)sin3(x+£)—}>。，

令g(c)=/(±)sin%一十，

则g'(%)=/'(i)sin%+3/(x)sin2a;cosx=siirx(ff(T)sinx+3/(T)COSX),

因为3f(x)cosx+ff(x)sinx>0,故g'Q)>0(不恒为零)，

故g(z)为R上的增函数，

故f（x+y）COS3T->0即为g（x+-y）>0,

而9（-*）=/（一专即『（一专）-}=_/■（强）sin1得）_/=0,

故g（i+-^）>0的解为①+$>一■嬴，

故i>一与即/（a7+^）cos%一}>0的解为（一华,+8）.

故选：B.

【题型】六、构造函数CO8X与函数，3）型

例15.已知函数/⑺的定义域为（一•爰），其导函数是/‘（力有/'（力）857+/（小也2〈0,则关于力的

不等式V3/（x）<2/倩）cos力的解集为（）

兀__7TD（2L一三）

B.（c.（中一32'6/

【答案】B

【分析】

令砥,）=鉴7,根据题设条件，求得R'3）V0,得到函数尸（宏）=鉴7在（一半£）内的单调递减

）f（—]

函数，再把不等式化为旦旦<—结合单调性和定义域，即可求解.

cosxcos专

【详解】由题意，函数/（力）满足/'（力）cosc+/（N）sin4V0,

/（x）r（N）cosi+/（i）sini

令F（x）=-----,则F（X）=-----------3---------<0

cosxcos2x

函数尸（工）=驾；是定义域（一号,需）内的单调递减函数，由于COST〉。，关于C的不等式何1㈤

COS^Z^2乙

V2/信）cosrr可化为f'（，J,即F（x）〈下信），所以一^VwV■且:r>■，解得£〉土

一COSt

>X

6，

不等式《/㈤V2/（匀cost的解集为传,夺）.故选:B

UU

例16.（2021•直庆•商二期末）已知“为的定义域为（0,+8）且满足”为>0,/3）为/Q）的导函数,

/\x）—f（x）=e"3+cos/）,则下列结论正确的是（）

A./Q）有极大值无极小值B./（x）无极值

C.f（x）既有极大值也有极小值D.f（x）有极小值无极大值

【答案】B

【解析】

令F(s)=――,根据题意得到F'(x)=x+COSH,设gQ)=x+cosa：,a：>0,利用导数求得g(a：)在

e

区间(0,+8)单调递增，得到尸(乃>0,由/(⑼=—9Q),得到/'(乃>0,即函数/3)为单调递增

函数，得到函数无极值.

【详解】

人j、一/(«)、，、-reL，/、一/'(立)一，⑸

令白(X)=一可付F(①)=----------,

ee

因为f，(x)—/(x)=1(工+COST),可得斤'(c)=x+cosx,

设。(/)=工+cosrr,o;>0,可得9'(6)=1-sino;>0,

所以g(i)在区间(0,+8)单调递增，

又由g(0)=1,所以g(a;)>g(0)=1,所以F'Q)>0,所以F(:r)单调递增，

因为/(乃>0且e，>0，可得尸(力)>0,

因为F(x)=,可得f(x)=ex-F(x),x>0,

e

则f(x)=e-FQ)+F'Q)]>0,所以函数fQ)为单调递增函数,

所以函数/(乃无极值.

故选：B.

M型】七、构造M与4Q)+bf(x)型

例17.(2022-陕西•西安中学高二期中)已知定义在R上的函数/Q)的导函数,且/(乃<f(x)<

0,则()

A.e/(2)>/(1)，/(2)>ef(l)B.ef(2)>/(l)，/(2)<ef(l)

C.e/(2)</(l)，/(2)<ef(l)D.叭2)Vf⑴，f(2)>叭1)

【答案】D

【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】构造函数9(£)=幺?=>g'3)=因为/(工)<f(x),

ee

所以g'(x)>0,因此函数g(x)是增函数，

于是有g(2)>g(l)=整〉上乎=/(2)>e/(l),

构造函数九3)=f(x)-ex=>h!(x)=er[f(x)+f'(x)],因为/(z)<f'(x)<0,

所以<0,因此4a;)是单调递减函数，

于是有M2)<九⑴0e2/(2)<ef(l)=>/⑵Vf⑴,

故选：D

例18.(2022河南•高三阶段练习(文))已知函数/Q)=3—e，—配其中e为自然对数的底数，若ke

[-l.e2]时，函数/Q)有2个零点，则实数a的可能取值为()

A.eB.2eC.e2D.3e

【答案】D

【分析】由题意可知方程a“一W[-l,e2]有两个实数根，令g(c)=ar—e]，则g(①)的图象与直

线?/=",卜6[-有两个交点，结合导数分析函数gQ)的单调性与极值情况即可解决问题.

【详解】由题意可知方程Q%-ei=A;,kW[-l,e2]有两个实数根，

令g(c)=ax—ex,则g(%)的图象与直线y=E[―l,e2]有两个交点,g\x)=a-eT.

(1)若Q&O,g'(c)VO在R上恒成立，所以g(i)在R上单调递减，

g(i)的图象与直线沙=阮k6至多只有一个交点，不合题意；

(2)若Q>0,当eVIna时，g'(rr)>0,当i>Ina时，g'3)<0,

所以g(x)的单调递增区间是(-8,lna)，单调递减区间是(hm,+8),

所以当出二Ina时，。3)取得极大值，也是最大值，为alna-a.

当_8时，g(z)T_8,当NT+8时，gQ)T-8,

所以要使g(z)的图象与直线y=[―l,e2]有两个交点，只需alna-Q>e,.

alna—a—a(lna-1),当OVaWe时，alna—0,当Q>e时，alna-Q>0,

所以alna—a>e2,a>e,

设九(a)=alna—a,a>e,则拉'(a)=Ina>0,

所以/I(Q)在(e,+8)上单调递增，而/i(e2)=e2,

所以alna—a>e?的解为a>e?,而3e>e?,

故选：D.

例19.(2023•全国・方三寿题练习)已知定义在R上的偶函数g=/(0的导函数为g=/'(力)，当c>0时,

/'(c)+3V0，且/(2)=-3,则不等式/(2c-1)<与*的解集为()

X/NJL

A.(-8弓)U传,+8)B.(~|~,+8)

c-(i'f)D-

【答案】A

【分析】根据题干中的不等式，构造函数F(c)=01(2),结合y=/3)在在R上为偶函数，得到F(x)=

叭c)在R上单调递减，其中9(2)=2/(2)=-6,分工>/与工〈4，对/(2工一1)〈就37变形，利

用函数单调性解不等式，求出解集.

【详解】当」>()时,*，)+与=时<。,

所以当1>0时，xf\x)+/(N)<0,

令尸(土)=时(力)，则当c>0时,F⑺=xfr(x)+f(x)<0,

故尸(①)=xf(x)在①>0时，单调递减，

又因为n=于㈤在在A上为偶函数，

所以尸(c)=时(，)在A上为奇函数，

故F*(N)=xf(x)在7?上单调递减，

因为/(2)=-3,所以F⑵=2/(2)=-6,

当c>)时，八2工-1)<可言可变形为(2x-1)/(2c-l)<-6,

即F(2x-1)<F(2),

因为F(x)=xf(x)在H上单调递减，

所以2①一1>2,解得：X>y,

1Q

与化>5■取交集，结果为1〉可；

当eV*时J(2z—l)V后:可变形为(2①一l)f(2a;-l)>—6,

即R(2z-1)>F(2),

因为F(x)=xf(x)在A上单调递减，

所以2x—1V2,解得：rrVj",

与7■取交集,结果为rc<y;

综上:不等式/(2/一1)v/j的解集为(-82)U(1,+«)).

故选:A

例20.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数/3)