2023高考复习专题-三角函数与解三角形难点突破含解析

三角函数与解三角形（答案在最后）

I题型一利用正、余弦定理解三角形

27r

例1（12分）（2021•北京卷）已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求3的大小；

（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求边上的

中线的长度.

①c=也匕；②周长为4+2小；③面积为SAABC=邛三

答题模板

第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化

第二步由三角方程或条件式求角

第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长

第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论

训练1（2021•株洲一模）在QX/5sin8=cos3+1,（2）2/?sinA=atanB,③（a—c）sinA

+csinC=bsin8这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.

已知△A3C的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,a=y{2,b=yf3,若,

求角8的值与△ABC的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计

分）

题型二三角形中角或边的最值、范围问题

例2(2022•广州一模)在①cosC+(cos4一小sinA)cosB=0,②cos2B~3cos(A+

Q=l,③bcosC+坐csin8=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：在△ABC中，角A,B,。对的边分别为a,b,c,若a+c=l,,

求角B的大小和b的最小值.

感悟提升涉及求边的最值或取值范围，一般思路是

(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.

(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出范围或最值.

训练2在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=l且满足

条件.

⑴求C；

(2)求c的取值范围.

请从下列两个条件：①5=坐(。2+"2—,2)；②A/§tanAtan8—tanA—tan8=仍中

选一个条件补充到横线上并解决问题.

题型三三角形面积(周长)的最值或范围问题

例3(2021・昆明质检)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c

一acos

⑴求角A；

(2)若a=2,求△ABC的面积的取值范围.

感悟提升三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法

(1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角

形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的

单调性和值域求解.

(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立a+b,ab,c^+b2

之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.

训练3已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.2a+b=2ccosB,c=

小.

⑴求角C；

(2)延长线段AC到点。，使C£>=C8,求△ABO周长的取值范围.

巩固练习

1.（2020・新高考山东卷）在①ac=5，②csin4=3,③，=小人这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角

形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=，§

兀

，

sinB,C=oz?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2.(2020•全国II卷)△43C中，sin2A—sin2fi—sin2C=sinBsinC.

⑴求A;

(2)若8C=3,求△ABC周长的最大值.

3.（2022・泰安一模）已知函数段）=sinxcos（x-|-^j+cos2x.

⑴求应r）在［O,j上的最值；

（2）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,1,a=2小，AABC

的面积为小，求sinB+sinC的值.

4.(2022・武汉质检)在△ABC中，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B

=争，b=y[6.

2.

⑴若cosAcosC=g，求△ABC的面积；

⑵试问｝+：=1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不成立，请说明

理由.

5.(2020.济宁模拟)现给出两个条件：①2c—，§b=2acosB,②(2A—/c)cos

“cosC.从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：

在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，.

⑴求A；

(2)若。=小一1,求△ABC面积的最大值.

cos8+1,、、一

6.在~②2戾inA=cztanB；③(a—c)sinA+csin(A+B)=Z?sinB这二

个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若.

⑴求角3;

(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时AABC的面积.

三角函数与解三角形（解析版）

I题型一利用正、余弦定理解三角开^

27r

例1（12分）（2021•北京卷）已知在△ABC中,c=2bcosB,C=y.

（1）求8的大小；

（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求边上的

中线的长度.

①。=也8；②周长为4+2小；③面积为

［规范答题］

解（1）由正弦正理而西二而^，仔sinC=1厂，

又c=2〃cosB,所以sinC=2sinBcosB=sin2B,

又A,B,。为△A5C的内角，C=y,

jr

故C=2B（舍）或C+2B=n,即B=%,

JT

又所以分

A+B+C=TI,A=Zo................................5

(2)由(1)知，c=^b,故不能选①................7分

选②，设BC=AC=2x,则AB=2，ic,

故周长为(4+24)x=4+2小，解得x=l.

从而BC=AC=2,AB=2小..............................9分

设BC中点为。，则在△A3。中，由余弦定理，得

一出+必一心12+1—AD?小

cosB=­2ABBD=4^3=2，

解得4。=巾.故3c边上的中线长为由................12分

选③，设BC=AC=2x,则AB=25x,故

S&ABc=^-2x-2x-sin120。=小『=邛^,

巧

解得x=2，从而BC~AC—y［3fAB-3................................9分

设8C中点为。，则在△A3。中，由余弦定理，得

一4+必一A》

C0SB=2-ABBD

9+图一心4

=^=2，

解得4。=亨.故BC边上的中线长为早................12分

答题模板

第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化

第二步由三角方程或条件式求角

第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长

第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论

训练1(2021•株洲一模)在①A^sinB=cos3+1,②2加inA=atan8,③(a-c)sinA

+csinC=bsin8这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,a=巾，b=事,若,

求角8的值与△ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计

分)

解若选①：由小sinB=cosB+l,

可得sin@*H，

因为86(0,71),所以8一所以8=母,

、历

由正弦定理得sinA=竽，

7T

又因为a<b,所以A=].

所以sinC=sing57=1sin售+石~

12

.71兀।71.71V6+V2

=sin4cos%十cos^sin5=----------

匕1,13+小

所以S^ABC=^ahsmC=-.

若选②：由2bsinA=otanB

得2/7sinAcos3=asinB,

结合正弦定理得cos3=；,因为5£(0,71),

所以8/，以下解法与选①相同.

若选③：由正弦定理，(a—c)sinA+csinC=bsin8可化简为层―ac+c2=〃，

〃1

而cos3=----荻---=2,因为3£(0,兀)，

所以8=全以下解法与选①相同.

|题型二三角形中角或边的最值、范围问题

例2(2022-A州一模)在①cosC+(cosA—小sinA)cosB=0,②cos2B—3cos(A+

0=1,③bcosC+^csin8=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：在△ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,若a+c=l,,

求角B的大小和b的最小值.

解选择条件①：

由cosC+(cosA—4§sinA)cosB=0,

可得一cos(A+B)+cosACOSB—小sinAcosB=0,

即一cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB一小sinAcosB=0,

即sinAsin8—小sinAcos8=0,

因为sinAWO,所以sinB一小cosB=0,所以tanB=，5,

TT

因为B£(0,7i),所以8=?

由余弦定理得b2=a2+c2^2accosB=a2+c2—ac=(a+c)2-3ac=1—3ac,

2

因为acWp"，=",当且仅当a=c=g时等号成立，所以〃=1—3ac21W，

所以b丛即人的最小值为今

选择条件②：cos2B—3cos(A+C)=1,

可得2COS2B—1+3cosB=1,即2COS2B+3COSB—2=0,

解得cos8=；或cosB=-2(舍)，

jr

因为8£(0,7i),所以

下同①.

选择条件③：bcosC+^csinB=a,

,、、仍

由正弦定理可得sinBcosC+s^nCsin3=sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

即手sinCsin3=cosBsinC,

因为sinCWO,

所以为"sinB=cosB,即tanB=小,

TV

因为86(0,7i),所以B=§.

下同①.

感悟提升涉及求边的最值或取值范围，一般思路是

(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.

(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出范围或最值.

训练2在△A3C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=l且满足

条件.

⑴求C；

⑵求c的取值范围.

请从下列两个条件：①5=乎(层+扶一c2)；Atan3—tanA—tan8=小中

选一个条件补充到横线上并解决问题.

解(1)补充①5=当(层+"一/).

由余弦定理可知2Q/?COSC=a2+Z?2—c2,

则S=W・2o/7cosC=^-abcosC,

又S=^absinC,故可得tanC=事,

IT

所以C=y

补充@V^tanAtanB—tanA—tan8=小.

由小tanAtanB-tanA-tanB=事,

可得tan(A+B)=—y[3,故tanC=小，

所以c=?TT

(2)由余弦定理可知c2=a1+b2-2abcosC,

又cosC=y,a+b=1,/.c2=a2+b2-2abcosC=cr+b1—ab=(a-\-by—3ab=1

-3ab.

又a+b^2y[ab,。>0,b>0,

.•[w1—3cib<1,.*.^^c2<1,

.•.；WcVl,工。的取值范围为

题型三三角形面积(周长)的最值或范围问题

例3(2021・昆明质检)448。的内角八，B,。所对的边分别为。，b,c,已知2(c

—tzcosB)=y[3b.

⑴求角A；

(2)若q=2,求△ABC的面积的取值范围.

解(1)由2(c—Qcos3)=小〃及正弦定理得2(sinC—sinAcosB)=^/3sin3,所以

2sin(/4+B)—2sinAcosB=#sinB,即2cosAsinB=y/^sinB,

因为sin5W0,所以cosA=2^

TT

又OVAV兀，所以

(2)因为。=2,所以由正弦定理得

Z?=4sinB,c=4sinC,

所以Sz\ABC=，csinA=TZ?C=4sinBsinC,

因为C=n-(A+B)=^—B,所以sinC=sin借一8).

所以SAABC=4sinBsin管一8)

=4sinB^cos3+坐sinB)

=2sinBcosB+2小sir^B

=sin28—小cos2B+小

=2sin(28一野+4

5冗7TJr47r

因为0VB<-^-,所以一1V28—1<丁.

所以一坐Vsin(2B—§W1,

所以0VSAABCW2+小，

即△A3C的面积的取值范围是(0,2+小].

感悟提升三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法

(1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角

形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的

单调性和值域求解.

(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立a+h,ab,cfi+b2

之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.

训练3已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.2a+b=2ccosB,c=

小.

⑴求角C;

(2)延长线段AC到点。，使CD=CB,求△A3。周长的取值范围.

解(l):26[+b=2ccosB,

・••根据余弦定理得

/+于一/

2m

整理得a2+b2—c2=—ab,

/+〃一/1

C=---------

c2oash2,

VCG(O,71),C=—.

（2）由题意得△3C。为等边三角形,

.•.△480的周长为2。+力+小.

sinA-sinBsinC近

2

.*.tz=2sinA,〃=2sinB,

2a+b=4sinA+2sinB

=4sinA+2sin《一AsiV+6)

：.2a+bG他,2®

...△ABO周长的取值范围是（2小，3小）.

巩固练习

1.（2020・新高考山东卷）在①双=小，②csinA=3,③。=小。这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角

形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=45

兀

sinB,Cq,---------------?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解由I和余弦定理得02蓝丁=零

选条件①.

由sinA=，§sin8及正弦定理得

TU3」+廿一C2

才无2小。2=2'

由此可得b=c.

由①ac=小，解得a=#,b=c=l.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

选条件②.

由sinA=/sinB及正弦定理得

2

Tu3」+廿一c

于无2小。2=2，

7E27r

由此可得〃=c,B=C=7,A=W.

由②csinA=3,所以c=〃=2小，a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2小.

选条件③.

由sinA=，5sinB及正弦定理得a=yl3b.

于是23f当由此可得”=0

由③c=y/ib,与b=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

2.（2020•全国II卷）△ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周长的最大值.

解（1）由正弦定理和已知条件得

BC2-AC2-AB2=AC-AB.®

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA.®

由①②得cosA=—1.

27r

因为0<A<TI,所以4=于

（2）由正弦定理及⑴得籥=黑=第=2S，

从而AC=2，§sinB,

AB—2^/3sin（7i—A—B）=3cos8一小sinB.

故BC+AC+AB=3+y[3sinB+3cosB

=3+2V3sin^+1

又0＜庆余所以当“聿时，△ABC周长取得最大值3+2小.

3.(2022・泰安一模)已知函数段)=sinxcos(x+*)+cos2x.

(1)求心)在［o,不7T上的最值;

(2)在△W中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,.图=1,a=2小,

△ABC

的面积为小，求sinB+sinC的值.

22S.

1.2xcosx—^sinx+cosx

解(lVU)=sinH2cosx-2sinX+cosx==4sin

1—COS2xl+cos2x近.cI3..1V5,L,,1

LX--------十----2----SIN2X'4C0S2x+1=-^-sin(2x十

♦・八兀.兀^I兀5兀

.0,a，••产2x+产不,

2sin^2x+^j1,

・••当X£[。，Z_|时，-,

2^3+1

«T)max—4

⑵玛)=察G+目+H，

则sin(A+*坐

VAE(0,兀)，.•.A+等仔，号)，.M=.

I-/2

•S/\ABC=/bcsinA=4bc="\[3,•.be—A.

r.b2+c2~a2

=r=

又G2y3,••cosA2b(、

/72+c2—12(Z?+c)2—201

88~T

・・・(〃+C)2=24,：.b+c=2y[69

a

又。AA=「7=4,/.sin5+sinC=Js+c)=芈.

smAsinBsinC4、,2

4.(2022・武汉质检)在aABC中，它的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且B

=专，b=\[6.

2,

⑴若cosAcosC=§,求△ABC的面积；

(2)试问〉+：=l能否成立？若能成立，求此时AABC的周长；若不成立，请说明

理由.

解⑴由“冬，得4+。=5，

则cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,

SP^=cosAcosC-sinAsinC.

21

又cosAcosC=Q，**•sinAsinC=^,

•=-^=迅=2、仿

,sinAsinC迫“'

2

.\Q=2啦sinA,c=2啦sinC,

.*.5AABc=^csin3=；・2啦sinA-

2吸sinCsinB=4sinAsinBsinC

=4X：X坐邛

o2J

⑵假设：+：=l成立，・・・〃+c=ac

由余弦定理得6=a2+c2—2accos^=a2+c1+ac=(a+cy—ac,

代入可得3c)2—ac—6=0,ac=3或〃c=—2(舍)，

此时a+c=ac=3,不满足a+c^2y[ac,

・•二+!=1不成立.

5.(2020.济宁模拟)现给出两个条件：①2c—=2acos3,②(2〃一小c)cos

67COSC从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：

在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,

⑴求A;

(2)若。=小—1,求5c面积的最大值.

解选择条件①：2c—y[3b=2acosB,

(1)・••由余弦定理可得

厂a2+c2—/72

2c—y]3b=2acosB=2a・--------,

整理可得c2+b2—a2=yl3bc,

店+c2—也机.坐

可得cosA=—Ibc—=2bc=2

71

・A£(0,兀)，・・4=不

(2)*：a=y[3—l,

/.由余弦定理a2=b2+c1—2bccosA,

可得(5—1)2=〃+/—2/?C.乎，

/.4—2^/3=b2+c2—y[3bc^Ibc—y/3bc,可得