2023届青海省西宁市大通回族土族自治县高三二模文科数学理试题（附答案）

青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试

数学(文科)

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后*用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作

管小琴。'..............................'''''

4.采老"题范围：高考范围。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.若集合乂=集|2，＜8},集合N=q合＞一1},则Mf]N=

A.(—8,3)B.(-1,3)C.(-1,8)D.(0,3)

2.已知(2—i)z=i,则|z|=

A—B—C—D—

,5,3,5,3

3.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食

指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训

练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划.小张根据Keep记录

的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面

的折线图.根据该折线图,下列说法错误的是

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【高三第二次模拟考试•数学文科第1页(共4页)】233501Z

4,已知/Cr）=「一若/'（/'（l））=/（—D，则实数。的值为

A.一■B.-4或一■3C.—4D.不存在

0O

5.在等比数列｛a„｝中，Q1+al+劭=8,a3+劭+々9=32,贝lja?+（“0+a13=

A.512B.1024

C.512或一512D.1024或一1024

6.已知函数/'（E）=2cos（公r+夕）（s>0,I（p\）的部分图象如图所\

示,则/（1）图象的一个对称中心是

人传,。）B.—，。）4^

C.悔，。）D.（一半,0）

7.从2〜8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和恰为质数的概率为

A.--B•4C.D・$

8.已知图1对应的函数为》=/（］）,则图2对应的函数是

9.若0<a<-y,—^<0<O,cos（£+a）=[,cos（手斗）=母，贝Usin（a+与）=

乙乙\T：/O''上乙'乙/

A――

ri73

A・9,94

10.如图所示,长方体ABCD-A,4C.D,中,AA尸AH=2,AD=1,0是BQ1的中点，直线

AC交平面ABA于点M,则下列结论错误的是

A.A,M,O三点共线

B.AiM的长度为1

C.直线AO与平面BCC,B1所成角的正切值为与

D.ZXAiMO的面积为普

11.已知函数/（2）=工3—az+2（aCR），则下列说法错误的是

A.当a<0时，函数/（外不存在极值点B.当”=1时，函数/Q）有三个零点

C.点（0,2）是曲线》=/⑺的对称中心D.若y=2丈是函数/⑺的一条切线，则。=1

【高三第二次模拟考试•数学文科第2页（共4页）】233501Z

12.已知点P是抛物线C：?2=8R上的一点，点Q是圆E：（N—2）2+丁2=1上的一点,0为坐标

原点'则噌［的最大值为

A.挈B.呼C.272D.二

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共2（）分。

22

13.若双曲线［一出=1的一条渐近线方程为1+2y=0,贝IJk=.

14.已知向量a.i>满足|a|=2,|6=73,\a+b\=1,则a在6上的投影为.

15.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于普，则该圆锥的体积为.

16.已知S„为等差数列为,｝的前”项和.若$2<0,丽+@7>0,则当S,取最大值时,〃的值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题:共60分。

17.（本小题满分12分）

造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重

要意义.某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差了（单位:cm）与树干最大直径偏差y

（单位:mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗,得到它们的偏差数据（偏

差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号12345678

高度偏差了20151332—5-10-18

直径偏差y6.53.53.51.50.5-0.5-2.5—3.5

（D若了与》之间具有线性相关关系，求〉关于了的线性回归方程；

（2）若这种树苗的平均高度为120cm,树干最大直径平均为31.5mm,试由（1）的结论预测高度

为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米.

参考数据：5科,=324,t/=1256.

i=1i=1

n

77'xy

参考公式:回归直线方程+=£+%中斜率和截距的最小二乘估计，=巳--------£=5一B五

i=\

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为Q，仇c,且向。sinC=ccosB+c.

（1）求角B的大小；

（2）若6=3,D是边AC上的一点，且CD=2AD,求线段BD的最大值.

【高三第二次模拟考试•数学文科第3页（共4页）】233501Z

19.（本小题满分12分）

如图，在直角梯形ABCD中,AD〃BC,AD，CD,四边形CDEF为平行四边形，平面CDEF±

平面ABCD,BC=2AD

（1）证明:DF〃平面ABE；Eq--------

（2）若AD=1,CD=DE=2，NFCD=^，求三棱锥B-ADE的体积.\

20.（本小题满分12分）

已知椭圆c，+AiQK>°）过点（厚），直线与。交于M,N两点，且线

段MN的中点为H,0为坐标原点，直线OH的斜率为一十.

（1）求C的标准方程；

（2）已知直线>=丘+2与C有两个不同的交点八，B,P为？轴上一点.是否存在实数3使

得APAB是以点P为直角顶点的等腰宜角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐

标;若不存在,请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知/（J,）=<2^—InT（U6R）.

⑴若/（i）在［1,+8）上单调递增，求a的取值范围;

（2）证明：当时,/S）>0.

（二）选考题:共1（）分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

f丁=5+鱼小

在直角坐标系zQy中，直线/的参数方程为<2”为参数）.以O为极点,了轴的正

|>=73+y/

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cos0.

（D求C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5,悟），直线/与C的交点为A,8,求［扁+日前的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（Z）=|2H+2|+|Z-1|.

（1）解不等式/Cr）>7；

（2）若/+62&/（/）+|r—11（a>0,6>0）对任意实数JT都成立，求a十〃的最大值.

【高三第二次模拟考试•数学文科第4页（共4页）】233501Z

青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试•数学(文科)

参考答案、提示及评分细则

l.BM={工|2*<8}={工|l<3},N={x|工>一1},则Mf]N=(-1,3).故选B.

2

2.C由(2-i)z=i得之=亡=适当怒不=一'1"+看「则|z|=AJ(j-)4(y)=y.故选C.

3.A由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正确；月跑步里程最大值出现在10月,故B正确；月

跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应

的里程数为中位数得故C正确；1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳,故D

正确.故选A.

4.B由题意,/(1)=。+3,/(—1)=:.当。+3>0.即a)-3时,/(/(l))=/(a+3)=a+3(a+3)=4a+9

=』■.解得&=一?•满足题意；当a+3<0,即&<一3时,/(/'(1))=八"+3)=？7=4，解得&=一4,满足

LO'乙

题意.所以a=一#或一4.故选B.

5.A设等比数列{a,,}的公比为q,所以成=好鬻第=等=4,所以斯+小。+小3=44+G/+〃7炉=8X

43=512.故选A.

6.D由题图可知/(工)图象的—b对称中心是(*,0),八才〉的最小正周期7=4(管+号)=2K,/(工)图

象的对称中心为(4元+*,0)MCZ.结合选项可知.当k=-2时,/(工)图象的一个对称中心是(一工凯,0).

故选D.

7.B从2〜8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若2个数的和恰为质数.不同的取法

有：(2,3),(2,5),(3,4),(3,8),(4,7),(5,6),(5,8),(6,7)共8种，故所求概率P=/.故选R

8.D当x<0时,y=/(一|川)=/包)，其图象在>轴左侧的部分与题图1相同；当x>0时,？=/(一|才|)=

/(一工),其图象在y轴右侧的部分与题图1'轴左侧的图象关于.y轴对称.故选D.

9.D因为0VaV-^",—所以于+aC(今，等)，今—与€(手)，因为cos(-?-+«)="T>

c0s(宁甘)=§'所以sin(第,力)=年,而(第一g)=号.则sin(a+1)=sin[(>+a)匚(m—[)]

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第1页(共6页)】233501Z

=sin(-j-+a)cos(-j---1-)—cos(-j-+a)sin('^'--f-一-|'乂百=隼故选D.

10.C连结AC,AC,则AC〃AC,...Al，G,A,C四点共面.；.A|CU平面ACGAi,

•.•MeAC，；.Me平面ACGA],又Me平面在平面ACGAi与平面c

AB,D,的交线上，同理A,O也在平面ACGA1与平面A5Q的交线上.二人的.。

三点共线.故A正确;设直线AC与平面BC,D的交点为N，易证平面A场。〃平

面GBD,从而QM/7GM因为。为AC中点，所以M为A3中点，同理可得NG

为CM的中点,所以A|M=《AC=1,故B正确;取AiB中点E,连接AE,（）E.因为平面ADRAi〃平面

BCC.B,.则NOAE即为直线AO与平面BCCB,所成角，tan/QAE=^="要.故C错误；因为AO=

=__=--

-yA|C）,AIM=TAIC,所以SAAl＜iw1SiASA1a-]1X-^-A|Ci,CG=令.故D正确.故选C.

11.B对于A,因为/（1r）=3/-a,当a＜0时,/（了）=3/一。＞0恒成立，所以此时不存在极值点，故A正

确;对于B,因为/'（工）=3/—1,令/（工）＞0得比＞§或了＜一条令/⑺＜0得一等＜了＜耳，所以

人工）在（-y，y）上单调递减，在（-8,T），停4-00）上单调递增,所以小■）极大值=/（一g）=2

+竽＞0,/.（工）极小值=/（空）=2—竽＞0,所以函数/⑺有且只有一个零点，故B错误；对于C,令

水"=＞?一（«•，该函数的定义域为14./“一工）=（一工）3—〃（一工）=一工3+心=一人（了），则/“"是奇函数，

（0,0）是“H）的对称中心，将八（7）的图象向上移动2个单位得到八工）的图象，所以点（0中）是曲线y=

/（•r）的对称中心.故C正确；对于D.设切点为（心，太一3。+2）"'（公）=3/一小故切线方程为J--

（京-ax。+2）=（3/一a）（x—工。），将（0,0）代入得即=1,所以3—a=2,解得a=1,故D正确.故选B.

12.A因为圆E：（才一2）2+寸=1,所以E（2,0），易得E（2,0）为C的焦点.设P（H）,皿）（工。〉0），因为点P

是抛物线C：V=8.r上的一点，点Q是圆E：（a—2）2+7=1上的一点，所以|PQ|）|PE\-1=^+2-

1=m+1,又|PO|=々T襦=，曷+8丸，所以W-，令，=%+1,所以

J=j_7（■1一,y+华，所以当十二,,即了“=等时，圈取得

最大值，最大值为苧.故选A.

13.4由题知双曲线的焦点在才轴上，因为一条渐近线方程为工+2广。,所以什母=/解得I.

14.—3因为团•〃2=。2+2。•b・加=4+2。•b+3=1,所以a•8=—3,则。在bI:的投影为IaIcos0=

【高一:第二次模拟考试•数学文科参考答案第2页（共6页）】233501Z

15.128”因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于等.所以侧面展开图的弧长为：10入与”=16K.

0D

设该圆锥的底面圆的半径为八所以2w=16n.解得r=8,所以该圆锥的高h=小^=6,所以该圆锥的

体积V=4//I=J”X82X6=l287r.

JJ

16.6因为Siz=I2"，"''=6(小+卬2)=6<诙+的)<0,所以ae+a?VO,又，+x=2ae>0,所以a>

0,所以劭<0,则(S,,)a=S6.

17.解：(1)由题意，彳=型土屿组曲土守土曰也土^=今，.......................2分

OL,

6.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(-0.5)+(-2.5)+(—3.5)_91八

k8F.............................4分

<

Lxty—n'x'y324-8X-|*X-1~.

b=T-----=-------_..................................................6分

S4-n?1256-8X(-|-)

所以2=亍-各1=等—：X专="1■，故线性回归方程为5=+工+...........................8分

(2)由题意，设高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为w则直径偏差为3—31.5,而高度偏差为128-

120=8...................................................................................10分

所以0—31.5=+*8+4,解得3=34,

所以可以预测这株树苗的树干最大直径为34mm.............................................12分

18.解：（1）因为Q〃sinC=ccosB+c,由正弦定理得点sinBsinC=sinCeosB+sinC,

乂C£（0,五），所以sinC#0,

所以点sinB=cosB+L即sin（B-子■）=4■，又B6（0,久）,

\b7L

所以B—联S（—平），所以B—=■，所以8=菅・...................................5分

6、66/663

⑵在△ABC中,由正弦定理得黑=诙枭=_土=2而，

s,n3

所以AB=2店sinC=2悟sin（A+发）....................................................7分

在△ABD中，由余弦定理得3D2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=[2禽sin（A+卷）]+1—2X

f\1—cos2（AH—.r-1

2倍sin（A+号）cosA=12X-------%-----:---Hl—4点（/sinA+与cosA）cosA=7—6（一~^cos2A

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第3页(共6页)】233501Z

-gsin2A）-4乃（-^-sin2A+尊X,l+cjr2A）=4+2悟sin2A,.....................................................10分

所以此时sin2A=1,...........................................................................................11分

所以BD而=1+偌,即线段BD的最大值为1+偌........................................12分

19.⑴证明:取BC的中点G,连接AG,DG,FG,

因为AD〃BC.BC=2AD.所以AD//CG,AD=CG,

所以四边形AGCD为平行四边形，所以AG//CD,AG=CD,

同理DG〃八区.......................................................................2分

因为ABU平面ABE.DGZ平面ABE,所以DG〃平面ABE.

又EF〃CD,EF=CD,所以AG〃EF,AG=EF.

所以四边形AGFE为平行四边形，所以AE//FG.

因为AEU平面A8E.FG2平面ABE,所以FG〃平面ABE.................................................................4分

乂DG,FGU平面DFG,且DGDFG=G，所以平面DFG〃平面ABE.

因为DFU平面DFG,故DF与平面ABE无公共点，所以DF〃平面ABE..........................................6分

（2）解：因为EF〃CD,EFU平面ABCDCDU平面ABCD,---------水

/

所以EF〃平面ABCD,即EF〃平面ABD,所以点E到平面ABD的距离等于VV//；lV\

点F到平面ABD的距离......................................7分

作FH_LCD,垂足为H,因为平面CDEF1,平面ABCD,平面CDEFf］平面

ABCD=CD,FHU平面CDEF,

所以FHJ_平面ABCD,所以FH的长为点F到平面ABD的距离............................9分

因为NFCD=号,CF=DE=2,所以尸日=布,.............................................10分

所以V〉ADE=VE-AB。=《X-1"X1X2义质=§............................................12分

20.解：（1）设），N（zz，＞2），则H（"'），直线OH的斜率①*,=；：］；；=—…1分

因为M.N在椭圆C上,所以*+£=/+亳=1，

两式相减得马上空上哈江叁2=0,即e+2生W二*=0,..........3分

atra：力（力十忿）（力一/2）

又履仅=*~~也"=1,所以J=0,即。2=2〃................................................................................4分

力—12a-2b"

又因为椭圆C过点（1,日），所以/+玄=1,解得。2=4,护=2,

所以椭圆C的标准方程为4+^=1....................................................................................................5分

4乙

t高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第4页（共6页”233501Z

3，=心+2,

（2）联立］消y整理得：（2公+1)/2+8々①+4=0.

1

因为直线与椭圆交于A，B两点，故4>0,解得我2>}......................................6分

设Al。，2），3（1|,加），则才3+4=2/7］'内为=2妒；r

设AB中点G5,”）*则我=丐2=凉备，y°="+2=Wp故G（水告，最力）.......7分

假设存在k和点PG〃,0）,使得△PAB是以P为宜角顶点的等腰宜角三角形，则PG_LAB,故而；•心B=-1,

2

所以2+1X仁T,解得，"=品骼，故P（另器,0）..................................8分

—与\k.Z^~-rl2斤十］

2F+1-ZW

乂因为NAPB=},所以涌•蔗=0,

所以（心一相，）3）•（4—）=0,即（死一〃7）（力—7〃）+y3M=0,

整理得（公+1）项工|+（24—相）（g+力）+/+4=0.

—

所以（/+1）•9,9^1,（,2k—rn'）<+>+4=0....................................10分

乙4IILRI1

代人'"=凉睾1'整理得小=】，即g=1,所以/=1或4=-1.

即存在/使得APAB是以P为顶点的等腰直角三角形......................................11分

当仁一1时,P点坐标为（等,0）；当Q1时,P点坐标为（一•0）.

此时,△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形...........................................12分

21.（1）解：/（_r）=a---因为了）在口，+8）上单调递增，.................................1分

所以对V［1.+8），/'（工〉》0,即ae，->0恒成立，

所以在口，+8）上恒成立............................................................2分

令g（z）=*,则g'o）=一菱*<0在［1.+8）上恒成立，所以g<W）在［1,+8）上单调递减.

.....................................................................................3分

所以g（H>M=g<l>=+，所以仑小，即a的取值范围为［十，+8）........................4分

⑵证明：当心2■时,“了）=叱一瓜=>^一1",所以只要证小一日11工>0..................5分

令/?（a）=er—e21nw,则//（=e「一?（i>0），显然h'（1）在（0,+8）上单调递增,

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第5页（共6页”233501Z

因为，（1）=6-62<0,人（2〉=€2—5=号>0,故存在了0€（1,2）,使得，5）=。

22

即,―1ro•所以由=>］叱尸2一死7分

由〃'（外的单调性知：当才6（0,©））时,，（1）vo,当①e（J;O，+8）时,，（彳）>0,

所以人（/）在（0皿）上单调递减，在（阳>,4-00）上单调递增,

22

所以h(/九面=/<。)=er«—e2lnJ-(>=—+e2(.r—2)=—~Fe2J-<)—2e2^2e2—2e2=