2023届金太阳山西高三联考数学试题含答案

2023届金太阳山西高三联考数学试题

6.已知0VaV2,则上+U-的最小值是

高三数学试题a4-a

A.4B.6C.8D.16

7.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100,，).若X在(85,115)内的概率是0.5,则

考生注意：从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是

1.本试卷分第I卷(选择题)和第D卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分许.A.符R9C-TD.^

■0404410

2.请将各题答案填写在答题卡上；

3.本试卷主要考试内容：集合与常用迂辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角8.圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇

形、平面向量与复数占70%,其他内容占30%.尚的图腾.如图.AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C.D是圆O上的任意两点，|CD|=2,

点P在线段CD上，则FA­轴的取值范围是

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={H|2-H>3},B={H|d-9V0},JMAnB=

A.{x|-3<r<l}R(x|-3<x<-l>C.{x|-l<r<3}D.(x|l<i<3)

2.已知复数z满足z(2+i)=l+3i,则z=

A.l+ia—|+iC.-|-+|iD.-y+j-iA.[6,2]R[-1,0]C.[3,4]D.E1,2]

9,《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖麻在鳖腐PABC中，PAJ_平面

3.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花

ABC,AB=BC=2PA=4,则鳖膈PABC外接球的表面积是

瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间工的函数图象大致是

A.36KB.72KC.144nD.2887r

10.已知函数f(z)=、)八若关于工的方程[/(外了-af(z)+2=0有4个不同的实

lln(—x)»x<0,

根,则a的取值范围是

A.[2,4]R(272,4]Q[2,3]D.(2虑',31

11.已知函数八外=如(3：+套)+6W1(此一看)(3>0)在区间[>>音]上单调,且当工1一工2

01<O0O

=今时，I/(X!)S)|,则3=

A2B.4Q6D.8

12.已知a=5—81n2,6=4—41n3,c=e+—4,则

h.b>c>aRc>b>aCb>a>cD.a>b>c

4.“m>0”是“方程q+£=1表示椭圆”的

第II卷•

A.充分不必要条件B.必要不充分条件二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.已知向量。=(m,2),b=(LD,若(a+b)_Lb,则m=▲.

5.巳知tan（a+子）=3.则・sin（a+7r）+8s（7c—a）_14.已知圆C的圆心C在直线y=]上，且与直线y=2z+l相切,则圆C的方程是▲.

4

(写出一个即可)

A_±15设.等差数列{%},仍力的前"项和分别是S“，设，且,=部，则守.

Z3Q-3,D.3

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16.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,&,c,且/tanA=aZtanB,点D是线段BC的20.（12分）

中点，若AD=5,则△回，面积的最大值是▲.据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期,空调成了很好的降温工具，

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为了。，那么经过t分钟后，温度T

17.（10分）

满足=）,其中T.为室温温为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，

在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,6,c,且asinBcosA+V36（cos2A_1）=0.

小明把一杯75t的茶水放在25t的房间，10分钟后茶水降温至50（参考数据:lgX

（D求角A的大小；

0.30,1g3ao.48）

（2）若a=2,求—c的最大值.

（1）若欲将这杯茶水继续降温至35七,大约还需要多少分钟？（保留整数）

（2）为适应市场需求,2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200

（4X2+6Qr»0<Cr<C40,

万元,每生产Z千台空调,需另投入成本/包〉万元，且人工）=130]/+逊—3700]240已

知每台空调售价3000元,且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的

18.（12分）总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形,PA=PC.

（1）证明:平面PBDJ_平面ABCD.

（2）若/ABC=60",PB=PD=AB,E是棱PD的中点，求平面PAB与平面ACE夹角的余

弦值.

2-

21.（12分）

已知双曲线C：£-£=l（a>0,b>0）的离心率是'后，点F是双曲线C的一个焦点，且点F王

到双曲线C的一条渐近线的距离是2.L相M

（1）求双曲线C的标准方程.

19.（12分）（2）设点M在直线工=/上，过点M作两条直线44,直线4与双曲线C交于A,B两点，直线端

已知函数/（GuAsinUr+pMAXhsXhOC/CK）的部分图象如图所示.

4与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明:皖

（1）求/Cr）的解析式；图

⑵若函数g（H）=f（H）-2f（工一点）,对任意的工6]一佥,}]，8（工）一a>0恒成立，求a的

取值范围.

22.（12分）

已知函数fCr）=aei-lnx.

（D若z=l是八外的极值点，求fCr）的单调区间；

（2）若关于x的方程八幻=l+lna恰有一个解，求a的取值范围.

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高三数学试题参考答案

1.B由题意可得A=},B={/-3＜工＜3},则Ap|B={工|一3＜了＜一1}.

2A由题意可得z=l+3i=（l+3i）（2—i）=5+5i=i+i

"出越息“寻z2+i（2+i）（2—i）5

3.C由图可知该青花瓷上、下细，中间粗.则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高,且开始时水的高度增

高的速度越来越慢.到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快,直到注满水，结合选项所给图象.C

选项符合.

=1表示椭圆，得心0且〃诸4,则是“方程＜+《=1表示椭圆”的必要不充分条件.

4.B

由方程＜+4

tan1贝1J5in(a+7T)+cos(7t-a)~~sina~~cosa_tanaH

5.V)因为tan（a+宁)=3,所以

1tanacos(a--^)+sin(竽-a)sina-cosa1-tana'

6.C因为04V2,所吗＞0,上＞0,所吟+/=+[&+(2-a)[~+/)=十(亍+旦』

10）**X（6+10）=8,当且仅当宁=生，即a=g•时，等号成立.

7.A由题意可知从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是等.则从参加这次

考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是C|（4）2X^=^.

44b4

8.B如图,O为圆心，连接OP,则席・瓦=（五）+3）•（而+次）=网＞一/2=网＞一4.因为点P在线

段CD上，所以内&|仍IW2,所以3W?5方《4,则一1W和一4&0,即席•林的取值范围是[-1,0].

9.A由题意可知AB±BC.如图.将鳖H需PA8C补全成长方体，则鳖臊PABC外接球的半径R

「量"'=3,故鳖（I需PABC外接球的表面积为4班并=367r.

10.D如图，画出y=/（外的图象.设/（»=，,结合函数/⑺的图象可知，当或，＞2时,八了）=/有且仅

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】•23-28C-

有1个实根；当时,/（外=，有2个实根.则关于上的方程［/（上）了一°/（乃+2=0有4个不同的实

解得24＜a《3.

11.A/(j-)=sin(aki-+-^-)—I/3COS(<OJ'+-^-)=2sin(o»j,-^-)(<o>0).因为I/(4)一)I>4,所以4—4

=甘+江甘（&ez）,则T=而uez）,从而k4&+2aez）.因为必惜,契所以皿若e

3支兀、人冗

{弘一！■沁“F

hi6Z,解得6瓦-

367r十2'

16瓦-2&3跖+2,A

3囱+2（瓦6Z）.因为《所以一母《南&上因为在Z,所以3=0或刈=1,所以-

【3①十2〉0,，J

2或4W卬45.因为0=4A+2（£GZ）,所以3=2.

12.A设函数/（外=亡-41+1,则/⑺=d一4.由/（7）＞0,得彳＞ln4;由/（才）V0,得2vIn4.则/（不）

在（一8,In4）上单调递减，在（In4,+8）上单调递增.设g（.r）=ln/—i+l.则g'（i）=­•—1=匕］由

/Gr）＞0,得0V/V1;由/（1）＜0,得］＞1.所以g（i）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，所以

g（力Qg（l）=O,即In1《①一1,则111~|^卷一1,故In3^-|-＜C-j-.因为In工&才一1,所以In十＜十一1,

所以lnxA—《（当且仅当x=l时,等号成立），所以历?＞1-5■，即In4＞2—方＞*因为a=

/（In4）,b=f（ln3）,c=f+，所以b＞c＞a.

4

13.-4由题意可得a+b=（〃2+l,3）,则〃?+1+3=0,解得〃?=一4.

14.j2+;/=，■（答案不唯一）设圆心C（a,a）,则半径r=上空U，故圆C的方程为（/—a）?十（y一0尸=

JJ5

154由等差数列的性质可知―2a一则*=贫=铃=爷芋/

【高三数学•参考答案第2页（共6页）】・23-28C・

2

16.-v因为〃tanA=atanB.所以sm-Bsi;A=sirrAs.B.所以BcosB=sinAcos八，所以sin2A=

3cosAcosD

sin2B,所以2A=2B或2A+2B=g即A=B或A+B=勺.当A+B=£■时,因为AD=5,所以C^+AC2

=25,所以CD•AC&苧.则△ABC的面积为十•2CD•AC&苧；当A=B时，则AC=BC.设CD=”,,则

AC=2m.在△ACD中，由余弦定理可得cosC=⑵*霁-'j;25,则$山C=Jl-(^*)2=

，_9,弋鬻病工,故△ABC的面积S=十"sinC=1X4*X4川谭川淳=

■1J一(34一号产+吟耍当且仅当苏=号时，等号成立.综上,△ABC面积的最大值是挈

17.解：(1)因为asinBcosA+-/3Z＞(cos?A—1)=0,所以加inAcosA+736(cos?A-1)=0,

所以sinAcosA+焉'(cosZA-lXO,所以乐沁2A+亨cos2A-y=0,

所以sin(2A+-^")=§....................................................................3分

因为0cAe"，所以青＜24++＜牛，所以2八+^=学.解得A=等..........................5分

(2)因为4=2*=管,所以《二1=4.........................................................6分

由正弦定理可得*5=^^=14=4,则〃=4sinB,c=4sinC................................7分

sinDsinCsinA

因为A+B+C=7t.所以B+C=¥，所以C=¥-B,

bb

所以伍6一0=4总$五B-4sin(誓一B)=2乃sinB—2cosB=4sin(B—5-).......................9分

oo

当8一寄=手，即8=用时,4sin(B—f)取得最大值4,

即向4一＜、的最大值为4....................................................................10分

18.(1)证明：记ACp|BD=O,则()为AC,BD的中点，连接()P.

因为四边形ABCD是菱形，所以AC±I3D.....................................................1分

因为PA=PC,O为AC的中点，所以OP±AC.................................................2分

因为BD,OPU平面PBD,且BDnOP=O,所以AC_L平面PBD................................3分

因为ACU平面ABCD,所以平面PBD_L平面ABCD...........................................4分

(2)解：因为PB=PD,O为BD的中点，所以OP_LBD

因为AC,BDU平面ABCD,所以OP_L平面ABCD,贝ij以O为原点,分别以求，曲./的方向为x,y,z轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O一

设AB=2.则A(-l,0,0),B(0,一宿,0),C(l,0,0),E(0,§，+),P(0,0,l),

【高三数学•参考答案第3页(共6页)】•23-28C-

故麓=（1,一煦,0）.普=（1,0.1）,充=（2,0,0）,处=（1,亨,得）..........................6分

设平面PAB的法向量〃=（力，v,0），

|n•AB=JTI一网"=0,

则〈令力=用,得〃=（乃，1,一百）...................................8分

I〃•AP=JCI+之】=0,

设平面ACE的法向量加=（个，北，也）,

nt,AC=2.z*2=°，

则y31令义=1，得加=（0，1，一店）..............................10分

m•渔=由+今2+三之2=°，

设平面PAB与平面ACE的夹角为心

19.解：（1）由图可知丁=2（普一手）=久,则3=2............................................................................................1分

06

因为/（工）的图象经过点吟,0）,所以Asin（2X凑+6=0,所以与+*=4n（Aez）,

所以中=左女一争（4eZ）.因为0＜然一.所以中=+..........................................3分

因为的图象经过点（0,点），所以Asin^=VJ，所以A=2................................................................4分

故/(i)=2sin(2i+号)................................................................5分

(2)由(1)可知f(x—^-)=2sin2xi

贝I]g(«r)=2sin(2.:r+号)-4sin2N=-3sin2^+/3cos2J?=­25/3sin(2x—...................................7分

因为一居，所以一~引《21—~所以一§Wsin(2z—&&1,...........................................9分

1ZZ3obZb

所以一2点&—26sin（2、r—即g（i）的值域为[―2伍,3]........................................................10分

因为对任意的我[一金，号_],g（%）一恒成立，所以a&—加氏.........................12分

【高三数学•参考答案第4页（共6页）】・23-28C・

20.解:⑴由题意可得50—25=，)¥x(75—25),解得仁10....................................................................2分

设经过，分钟，这杯茶水降温至35七,则35—25=(4■亦X(50—25),.......................................................3分

解得，=101ogz5-10=10Xaogzl0-2)=10X(表-2)*13(分钟)..........................5分

故欲将这杯茶水降温至35℃,大约还需要13分钟..........................................6分

(2)设2022年该企业该型号的变频空调的利润为W(.r),

当0<CrV40时,=300支-200——6(Xr=­4(1—30)2+3400,.......................................................7分

当1=30时,W(i)取得最大值3400万元；.................................................8分

当工》40时,W(£)=3OOH-2OO-3O1工一碧色4-3700=3500—(1+呼.....................9分

因为.r+—>2J丽=120,当且仅当了=60时，等号成立，

则当1=60时,WCr)取得最大值3380万元..............................................11分

因为3400>3380,所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

...............................................................................................................................................................................12分

工=卮

a(a=l,

21.(1)解：由题意可得、/_9解得4......................................................................................................3分

I、U=2.

故双曲线C的标准方程为才Z—1=1...............................................................................................................4分

⑵证明：由题意可知直线Zi的斜率存在，设,/),直线:尸鼠才一十)十/,A5小)，85.3-2).

卜=A(H—

联立1整理得(后一4)/+⑵L+二)了+强彦—^kt+t2+4=0,

MA，

2kt—~\a^2—，山+於+4

则力+彳2=~^2—4，力及=---------------........................................6分

故|MA|・|MB|=(/+1)|力--1|j-2--1|=(公+1)|412--力+4)十焉［=(■

4441b4|々--41

.................................................................