2023届高考数学练习-数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题（解析版）

2023届高考数学专项练习

微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项

问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题

【秒桑总结】

1.数列的周期性,此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.

2.函数与数列的综合问题,解决该问题应该注意的事项：

（1）数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点；

（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视

的问题；

（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的

转化.

3.证明数列｛册｝单调性的方法:根据叫与0的关系判断出数列的单调性（当｛4｝恒为正或者负

时，可以考虑利用况与1的大小关系判断数列单调性）.

4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样

的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正

确.比如求S,，，可以令2021=九，将选项中的所有数字用n来表示，然后通过S|、S来验证哪个选项

正确.如果题目问的是S2M、S20”之类的偶数年份，最好是通过S?、Si这样的偶数项来验证.

【典爨例题】

例1.（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022—2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列｛%｝满足

M+i=ea"-2+1伍eN*,e为自然对数的底数），且对任意的M>0都存在九WN*,使得|a“—2|<M成

立,则数列｛%｝的首项须满足（）

A.aiWlB.C.如W2D.aI>2

例2.（2023・新蔡县月考）数列｛%｝满足a??tl+（一1产以=2n,则数列｛4｝的前60项和等于（）

A.1830B.1820C.1810D.1800

例3.（2023-江苏模拟）若单调递增数列｛%｝满足a,,+anii+%+2=-6,且的=专电,则外的取值范围

是—.

例4.（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知S„为数歹U｛%｝的前几项和，3=电=1,

平面内三个不共线的向量。才，OB,正,满足五=（“_1+%+|）。4+（1—册）。夙71>2,"€1<*,

若4,B,C在同一直线上，则S.i=.

例5.（江苏省苏州市昊中区木建方级中学2022-2023学年三上学期期中数学试题）数列｛%｝中，a“=

-an-｛-y（n）2,nCN*）,且a=1,记数列｛a“｝的前7?,项和为S”,若3小（S.+n）W4对任意的九e

N*恒成立，则实数4的最大值为.

例6.（江西看桂川二中、柱川二中实险学校2023居高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列｛a,｝的

前沱项和为S”=2%—2"+】，若对一切正整数”,不等式2n2-n-3<U-2019）%恒成立,则满足条件

的最小整数4为.

一、单选题

1.（2023-全国•高三专题练习）设数歹!!｛斯｝的通项公式为a“=（―1）"（2九—1）・cos詈+1（九GN*）,其前

ri项和为S”则S,=（）

A.-60B.-120C.180D.240

2.（2023•山东潭坊•高三统考期末）已知定义在R上的函数满足/（（））=1,对Vc,yCR,有

20231

fQy+1）=,f（z）/（y）—/@）一比+2,则Xrz-wr-un=（）

入202302024厂2023n2023

A-4050B-2025C通布D.丽

3.（2023-全国•高三专题练习）设数列｛an｝的前n项和为S0,%=1,且2s“=%*】一1（"eN*）.若对任意

的正整数n,都有a1btl+a2fc»»-i+a：；b”_2+…+%仇=3"一九一1成立>则满足等式，+电+b3H—+b”=

a”的所有正整数"为（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

4.（2023-河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测）已知数列｛%｝、但｝,a”+产［詈卜bn+l=改「，

（n6N*）其中［①］为不大于x的最大整数.若a1=了=m,1000,m€N*,有且仅有4个不同的

3使得如金瓦,则m,一共有（）个不同的取值.

A.120B.126C.210D.252

5.（2023-北京朝阳•南三统考期末）在数列｛Q“｝中，a［=Is.=l（nGN,），若存在常数c,对任意

的mGN"都有MVc成立,则正数k的最大值为（）

A—

5

6.（2023-湖南长沙•统考一模）裴波那契数列｛FJ,因数学家莱昂纳多・裴波那契以兔子繁殖为例子而

引入，故又称为“兔子数列”，该数歹U｛居｝满足口=凡=1,且用+2=兄+i+Fn（nGN*）.卢卡斯数列

｛〃｝是以数学家爱德华・卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即j=1,且"+|=凡+

%+256"*）,则凡必=（）

7.（2023-全国•南三专题练习）已知S„是数列｛an｝的前n项和，且3=a?=1，a”=2a„­]+3a„-2（n＞

3）,则下列结论正确的是（）

A.数列｛%—%+J为等比数列B.数列｛期一+2册｝为等比数列

C.s产1⑶。-1)

8.（2023-山西太原•商三统考期末）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等

差数歹U，设〃山,九）表示该数阵中第小行、第八列的数，则下列说法正确的是（）

234567

35791112

4710131619

5913172125

6111212631

71319253137…

.•・.•・

A./（3,18）＜49B./（6,8）＞49C./（7,7）=49D./（12,4）=49

9.（2023.黑龙江哈尔滨•方三哈弹大附中校考期末）已知等差数列｛a.｝的前几项和为S“，向量方=

（九,今），OPi=,OP,=€N*）,且则用加孙七表示九则A

=（）

二、多选题

10.（2023-湖北•校联考模板预测）数列｛a,J各项均为正数，其前n项和S”,且满足Sn=9（九eN*）,下

列四个结论中正确的是（）

A.｛%｝为等比数列B.｛a„｝为递减数列

C.｛%｝中存在大于3的项D.｛aj中存在小于福■的项

11.（2023-全国.商三寿题练习）若数列｛%｝满足a2-j-a｝<a3-j-a2<-<a„-乱一<…,则称数列

｛%｝为“差半递增”数列，则（）

A.正项递增数列均为“差半递增”数列

B.若数列｛%｝的通项公式为a“=q"（q>1）,则数列｛4｝为“差半递增”数列

C.若数列｛%｝为公差大于0的等差数列,则数列［a,,｝为“差半递增”数列

D.若数列｛时｝为“差半递增”数列，其前n项和为S“，且满足S0=2a,,-2n+'-t,则实数t的取值范围

为（一当,+8）

12.（2023.黑龙江哈尔滨•高三哈卿大府中校考期末）以下为自然数从小到大依次排成的数阵：

1

23

4567

89101112131415

.......

第n行有2"T个数，则（）A.该数阵第ri行第一个数为2"T

B.该数阵第八行最后一个数为2"-1

C.该数阵前n行共有2"—1个数

D.该数阵前九行所有数的和为22"-2”

13.（2023♦山东德州•方三统考期末）已知数列｛%｝的前几项和为S“，且的=1,a—+a„=2n则（）

R为奇数

A.&=18口"一1一1,九为偶数

D.n为奇数时，Sg=n+⑺°

C.数列｛a“｝为等差数列

14.（2023•湖南株洲•高三校联考期末）已知数列｛即｝满足缶=1,5=1,M+1W+aw=a„（n€N）,数列

｛aj前几项和为S“，则下列叙述正确的有（）

A.an+i-an<0B.<2%必〈而C.a„<_—=D.S,0n

15.（2023*•浙江•南三校联考开学考试）已知数列｛%｝满足a„-e*=e«—1,且⑸=1,｛&｝是数列

｛册｝的前n项和，则（）

A.。2023<。2侬B.S202：;<2

,2\：

C.&2021+&2023V2a2022

D.。2023V(9)

三、填空题

16.（2023•山西太原•高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名

的成果有11（）个.设XeR,用［①］表示不超过x的最大整数，则"=［句称为高斯函数，若用｛2｝=工-

]

［./­］表示力的非负纯小数，如｛、反｝=V2-1,已知数列｛a,J满足ai=，^,a„+i=［厮］+则®2021=

{a"}

17.（2023春♦江苏南通•高三校考开学考试）“0,1数列”是每一项均为。或1的数列，在通信技术中应用

广泛.设A是一个“0,1数列”，定义数列/（工）：数列A中每个0都变为“1,0,I”，4中每个1都变为

“0,1,（）”,所得到的新数列.例如数列41,（）,则数列/（4）：（）,1,0,1,0,1.已知数列4：1,（）,1,0,

1，记数列4+1=/（4），k=1,2,3,…，则数列4的所有项之和为.

18.（2023•高三专题练习）已知数列｛%｝满足a向=2%+2-3,其首项a产a,若数列｛4｝是单

Qn

调递增数列，则实数a的取值范围是.

19.（2023•全国三对口南考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴

把纸对折,规格为20dmx12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm,x12dm,20dmx6dm两种

规格的图形，它们的面积之和S|=240dm?,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,20dmX

2

3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm，以此类推，对折n次，那么St+S?+…+&=—

_______dm2.

20.（2023•上海•南三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学

习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题

的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2",接下来的两项是20,

2、再接下来的三项是2。，2122,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>1（）0且该数列的前N

项和为2的整数基.那么该款软件的激活码是.

21.（2023-全国•赤三专题练习）已知数列出｝满足b“=3"+（―1）"-认2-，且对于任意的九WN*,都有

&„.!>0恒成立,则实数一的取值范围.

22.（2023春•河南开封•高三统考开学考试）现取长度为2的线段MN的中点,以MM,为直径作半圆，

该半圆的面积为5（图1）,再取线段的中点M，以为直径作半圆.所有半圆的面积之和为

S2（图2）,再取线段MN的中点Al：,，以“2M3为直径作半圆，所有半圆的面积之和为S,,以此类推，则

>,湖=•

£=1

MMiNMM\MaN

图1图2

23.(2023.山东日展•南三校联考期末)设正项等比数列aha2,-,电的公比为g,首项助=1,关于工的方程

CL

akx-+2x+&,=()有两个不相等的实根，且存在唯一的aA.(fe=l,2,—,5)，使得山—①』V2V15.

则公比q的取值范围为.

24.(2023*全国•高三专题练习)已知数列｛a“｝满足%=1,&2=3,|an-an_J=n(n€N,n>3),｛a2n-i｝

是递增数列，｛a2„)是递减数列，则a20=.

微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项

问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题

w»tun

1.数列的周期性,此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.

2.函数与数列的综合问题,解决该问题应该注意的事项：

(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视

的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的

转化.

3.证明数列｛册｝单调性的方法:根据叫与0的关系判断出数列的单调性(当｛4｝恒为正或者负

时，可以考虑利用况与1的大小关系判断数列单调性).

4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样

的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正

确.比如求S,，，可以令2021=九，将选项中的所有数字用n来表示，然后通过S|、发来验证哪个选项

正确.如果题目问的是S2M、S20”之类的偶数年份，最好是通过S?、Si这样的偶数项来验证.

IMM1

例1.(淅江省杭州市第二中学潴江校区2022—2023学年高三上学期期中数学试题)已知数列｛%｝满足

e“T+1(、£N*,e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存在nEN*,使得|an-21VM成

立,则数列｛%｝的首项须满足()

A..(1]1B.1&Q|&2C.Q|&2D.QI>2

【答案】C

【解析】

设/(⑼—ex-x—1,令/'(z)=eT-1=0,得到x=0.

当出6(—8,0)时，/'(%)VOJ(z)单调递减;

当z6(0,+8)时J(c)>0,f㈤单调递增.

故/(①)>/(0)=0,即炉>2+1(当且仅当时力=。取等号).

故Qn+i=$二+1—2+1+1(当且仅当时%=2取等号).

即an+i>an.要使对任意的M>0都存在nGN\使得\an-2\VAl成

立，

显然%=2时，％=2,一定能满足题意；

当%>2时，a“>2,如图此时不满足题意;

当的<2时，a“V2,如图此时满足题意；

综上，5V2.

故选:C

例2.（2023•新蔡县月考）数列｛a“｝满足册+-（—1）e％=2几,则数列｛明｝的前60项和等于（）

A.1830B.1820C.1810D.1800

n+1

【解析】解:由a„+1+（―l）a„=2n,

可得数列｛为｝的前60项和为（a1+a2）+（如+a」）+（a,+afi）H-----F（a5fl+a0（i）

=2+6+10+…+118

=yx30x（2+118）=1800.

故选：D.

例3.（2023・江苏模拟）若单调递增数列｛a“｝满足a„+a,,+1+a,l+2=3n—6,且电=5ai，则at的取值范围

是.

【解析】解：:单调递增数列｛Q〃｝满足“+Q〃+I+Q”,+2=3九-6,且。2=/小

1Q

Qi+2al+Q?=~3，解得。3=-3—,

13

~2at—3—ya,+a4=0,解得a।=a1+3,

由条件可以得出册+3-an=3,也就是隔3项成等差数列，公差为3.

只要保证at<a2<a:i<a,就可以保证整个数列单调递增.

单调递增数列｛a“｝中，a3>a2,a.t>a3,

（o3、1

.123

••\o，解仔—z-<aj<-z-.

[ci]+3>-3—2~ai。

・•・Qi的取值范围是（一号,-y）.

故答案为：（一监•，一

例4.（广东盾实段中学2023居方三考前热身调练数学试题）已知S”为数歹也即｝的前n项和，a尸a?=1,

平面内三个不共线的向量早，而，花,满足加=（%1+4+1）工？+（1—册）话，门）2,71€1<*,

若A,B,。在同一直线上，则S2021=.

【答案】0

【解析】设左=/1荏，所以态+加=4前+4)，所以正=(1-X)OA+AOB,

1

所以“T+A"：’所以%一1+即+1+1-%=1,所以%_1+&+1=<111,

所以0n+a〃+2=Qn+l>所以QRT+Qn+1+a7H*2=Q"1，所以Q.I+Qn+2=0,

所以an+QN+3=0,所以an+3+Q〃+6=o,所以“+6=斯，所以｛a.,,｝是周期为6的周期数列,

因为Q]=Q2=1,所以。3=。2-=02=-1,。5=。4—。3=-1，。6=函一。1=0,

所以Q[+。2+。3+QI+。5+0-()—0,

所以$2021=SGX336+5=336XO+S5=1+1+0+(-1)+(-1)=0,

故答案为：0.

例5.（江苏省苏州市吴中区木建南级中学2022—2023学年方三上学期期中数学试题）数列｛Q〃｝中，“=

-5a.T—■!■⑺>2,nCN*）,且a=1,记数列｛a“｝的前71项和为Sn，若3九（S“+n）&4对任意的nE

N*恒成立，则实数1的最大值为.

【答案】等

【解析】

1Q1

由an――2~an-i—2~(n>2,nWN)为变形为+1=--+1),又Q1+1=2.

所以数列｛%+1｝是等比数列，首项为2,公比为一专，所以a„+l=2x1Xn-L

一■2)，可得an=2x

--1，

所以Sn=--------j-----n=~y[l—(—y)]一九，则34•(S?+九)&4,所以34,

1一("T)

|y[l—（―y）n]一九十九｝44,解得）《1

U)"'

11

当n为奇数时，/14了恒成立，等价于久&——恒成立，而=-Lj-,所

1+（十）

min1+万

9

以4&q,

0

111

当n为偶数时"&*恒成立，等价于44一爪；恒成立，而一片不>了%=1,所以

I1-（1）1-（1）1-0

/1&1,

99

综上得/I4母，所以实数4的最大值为告,

oo

故答案为：争

例6.（江西霍格川二中、桂川二中实跄学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列｛a“｝的

+!2

前几项和为Sn=2an—2"，若对一切正整数■，不等式2n—n—3<(^—2()19)a“恒成立，则满足条件

的最小整数4为.

【答案】202()

【解析】解：当n=1时，6=2%—22,得£11=4,

n+1

当n>2时，%=S”-S1=(2a„-2)-(2an_1-2"),

整理得%=2%_-2",等式两边同除2"得请=*+l,

则数列傍｝是以号=2为首项，1为公差的等差数列,

=2+(71-1)=71+1,

则an=5+1)2”,

所以不等式2"一n-3V(/!-2019)(n+1)2"对一切正整数n恒成立,

2/一n-3伽+1)(2n-3)_2n-3

〈1一2019对一切正整数九恒成立,

(71+1)2”(n+l)2n—-2"

令/(切=琮&，当n=卜时,/(后最大,

[2fc-3^2(fc+l)-3

2ky2A'+l

"2—3»2依—1)—3，

""2^—2^~

解得备〈去《孑，因为kCZ,.•.A=3,

此时/⑶=22罗&=_|_,

A—2019>弁，即4>+2019o

OO

所以满足条件的最小整数吠为2020.

故答案为：2020

[HMM1

一、单选题

1.(2023.全国•高三专题练习)设数列｛%｝的通项公式为an=(-l)"(2n-1)•cos詈+l(nGN")，其前

72项和为Sn，则§20=()

A.-60B.-120C.180D.240

【答案】D

(解析】当ri=4k—3,k€N,时，cos-^=0,au._3=1;

当?2=4fc—2,kWN时，cos-=—1,。从一2=[2x(4A;-2)—1]x(—1)+1=—8k+6;

当九=4k—1,k€N*时，cos-^-=0,Q狄7=1;

当九=4k,%EN”时，cos-^-=1,a.[k=2x4fc—1+1=8k.

19f)

。妹_3+a狄一2+。狄一1+。以：=1+(—8fc+6)+1+8k=8,・\S[2()=--x8=240.

故选:D

2.(2023•山东多坊•南三统考期末)已知定义在R上的函数/(力)满足〃0)=1,对Vm“CR,有

2023

f5y+1)=f@)f(y)-/(y)一%+2,则£=()

A2023p2024「2023n2023

4050202540482024

【答案】A

【解析】令《=5=0,由已知可得*1)=/2(0)-/(0)+2=2.

令y=1,由已知可得/(4+1)=/(x)/(l)-/(I)-x+2=2/(I)-x,

设册=/('n)，九则an+1=2an—n,整理可得%+i—(n+2)=2[an-(n+1)].

又a1=2,所以%,+]—(n+2)=2[an—(n+1)]=0,所以。,F九+1.

则—1一=_1_=_____I______

/(i)/(i+1)%。叶1(i+l)(i+2)£+1%+2

v1_11,11,11,,11_2023

所*Ai)/(i+l)_1_]+3_彳+彳-]+…+旃—耐_湎.

故选：A.

3.(2023-全国•高三专题练习)设数列｛an｝的前几项和为S“m=1,且2Sn=an+1-l(neN*).若对任意

的正整数n,都有afb„+出，1+a：口=-2+…+%&=3相一71—1成立，则满足等式仇+b?+%H—+b”=

%的所有正整数71为()

A.]或3B.2或3C.1或4D.2或4

【答案】A

【解析】2s“=a“+i-l，SeN*),

??,>2时，2S/T=册-1,

相减可得：2%=an+[-an,即M+I=3an(n>2)

又ri=1时，2S]=电-1,解得的=3,满足a?=3a।,

｛QJ

・,・数列是首项为1，公比为3的等比数歹”,所以%=3>],(n€N*).

对任意正整数九，都有albH++a3bn-2H■…。1b=3"一九一1成立，

得bn+3bn-i+32aL2+…+3"一’仇=3"一"一1①，

又bn+i+3b,t+3%.八_】+…+3"仇=3'/—(ri+1)-1②，

②一①X3得：>+i=2九+1,(九eN*),

又Q/I=3—1—1=1,所以仇=1,得b〃=2几一1,(n€N"),

2

进而仇+…+&n=n,

2

2n-1n

由/)1+b2+fe.iH---=an,得n=3,即3时11,

记/（九）则/(1)=l./(2)=4)/(3)=1J(4)=媒,

3n-OAt

以下证明九>4时，/（九）VI,

(n+1)?n2_—2n2+2nd-12n(l—n)+1

因为/(7l+l)-/(7l)=<0,

3"一^r3"37i

即？2>4时J（7l）单调递减,/（九）<1,

综上可得，满足等式瓦+庆+戾+…+b”=Q〃的所有正整数九的取值为1或3.

故选：A.

4.（2023-河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测）已知数列｛a"｝、｛”,｝,%,〃=［守卜bn+1=与

（nE7V+）其中［0为不大于a；的最大整数.若Qi=bi=m,Hi<100（）,m6AT,有且仅有4个不同的

£,使得QfW”,则—共有（）个不同的取值.

A.120B.126C.21()D.252

【答案】C

()123

【解析】设7九=cn2+cl2+c22+C32H--FQ)2:其中c(),c1,⑶G{0,1},且c(),c1,c。不全为0,7

1000,

l239

若Co=1,则m=1+Ci2+C22+C32H---Fc92,==

123u

a2=q1=1+c,,2+c:l2+C42+…+cg2，与=号，

1239

若c0=0,则m=C12+C22+c324--Fcy2,ax=bi=m,

m,m

。2=5，b?=工,

所以若c0=1则,Q2rb2,若c()=0,则a2=b2,

239

若5=0,Q=0,则m=c22+c324---(-cy2,ay=bi=my

7nlmTTIym

出=彳，o2=—,03=彳，卜3=:

2!>

若c()=0,5=1,则?n=2+C22+c32?4---FC92,a]=&1=m,

m(工mm-2,m

电=5，b2=—,a3=―—,仇=才，

239

若c0=1,a=0,则m=1+C22+C32H---Fcy2,a1=b1=m,

m—1,mm-11m—1

。2=-2,匕2~~2~，&—-bk一

239

若c0=1,5=1,则7n=1+2+C22+C324---Fc92,a】=b}=m,

m-1,mm-3»m—1

Q2=-2-,b2=—,a3=——,63=­j—,

所以q=0时，a3=b3,Ci=1时,a3^b3,

同理可以证明c*：=0时，ak+2=bk+2,Q=1,a*+2*b*+2,

因为有且仅有4个不同的t,使得火力瓦，即c(i,ci,c2,—,c()中有且仅有4个变量取值为1,其余变量取值

为0,又从55,6,…，5中任选4个变量有种取法，

故满足条件的m的个数为。器，即210个，

故选：C.

5.(2023-北京朝FB•商三统考期末)在数列｛4｝中，a产1,*=ka^+l(n6N*),若存在常数c,对任意

的九CN',都有a“Vc成立,则正数人的最大值为()

A1Bic.[JD1

【答案】B

【解析】因为Q,I+I=际*+l(n6N*),fc>0,

所以an+i-an=ka：—+1=fc(a;-/+病一击)+1="(%一表)一访+01-雅

所以an=5+Z(arn+1—am)>14-(n-1)(1--rr),n>2,

rr»=l48

由于a1=1满^1■式，故1+(n—1)(1—

当k>：时，有也趋近于+8时，⑺-1)(1---)趋近于4-00

此时“没有最大值，故不满足题意，舍去；

所以1，

当k=占时，可证对任意的九GN"都有an>l,

4

由题知，若存在常数。，对任意的rieN"都有“vc成立，则c>1,

以下进行证明：存在常数C=2,对任意的nGN、都有册<2成立.

当72=1时，a=1<2,结论成立

假设？7.=m,(7n>l)时结论成立，即1Wa,〃V2

2

则1&a,n+i=ka;n+1<1+^-X2=2,

则存在常数C=2,对任意的nCN*,都有a“V2成立

故正数k的最大值为!.

4

故选:B.

6.(2023-湖南长沙-统考一模)裴波那契数列｛冗｝，因数学家莱昂纳多・裴波那契以兔子繁殖为例子而

引入，故又称为“兔子数列”，该数列｛居｝满足口=凡=i，且E,+2=居+1+F„(neAT).卢卡斯数列

｛七｝是以数学家爱德华・卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即&=1,且"田=心+

兄+25€%*),则不侬=()

A.-y1^2(122+-g-/>2()_><B.-10<22+-^21)2IC.百〃心+1/也？|D.■乙2U22+〒/人人

【答案】C

【解析】因为Fn+2=Fn+i+Fn(rieAT*),

所以当时,E=Ei+凡-2,

所以3居=居T+居—2+2居=£-2+(&T+冗)+居=居-2+居+1+居=居-2+月,+2

故3&2：尸招021+玛)259

因为0+1=E7+居+2(九€N*),

所以2/2022=£。21+月023,乙2021=片023+^2025,

故Z/2022+32()24=(玛)21+6()23)+(a)23+&)23)=2玛侬+玛)21+&)25=5/)23,

所以7*2023=/七侬+亏心021.

故选：C.

7.(2023-全国•高三专题练习)已知S〃是数列｛%｝的前九，项和，且如=的=1,册=2an-+；3化—(〃)

3),则下列结论正确的是()

A.数列｛Q,「%+J为等比数列B.数列｛。向+2an)为等比数列

n

C.SV(3J)_3-】+(T严

~2

【答案】D

【解析】由题意得：a3=2a2+3ai=5,a4=2a3+3a2=104-3=13,

由于%—电=0,故数列｛Q“-M+i｝不是等比数列，力错误；

则。2+2。|=1+2=3,Q：3+2a2=5+2=7,Q.[+2a3=13+10=23,

由于#孕,故数列｛册+i+2an｝不为等比数列，B错误；

—>3时，册=2an_|+3an_2,即4+an_j=3(。,1+a„_2)>

又01+。2=1+1=2,

故｛Q”+i+a〃｝为等比数列，首项为2,公比为3,

n-1

故Qn+i+an=2x3,

故。2+Qi=2,Qj+a?=2x32,....,Q_K)+a39=2X3赛，

1_04()Q10_1

以上20个式子相加得：Sw=2x(1+3?+31+…+3：，=2x;[=-.，。错误；

1—U4

因为a„+1+a„=2x3"T,所以a„+2+4+i=2x3",两式相减得:

a—-%=2x3"-2x3"T=4x3"T,

2fe5

当九=2k时，%—a2*：-2=4x32b"3，a2k-2—012kt=4X3-,....,a4—a2=4x3,

oo2A:_1o2A:—I_Q

以上式子相加得：。2人-Q2=4x(3+3'H----F3"T)=4x'—=J--——,

i-yz

牙上一1_QQ2fc-1_1Q2fc-1_i

故a-ik=---2—+*=----2---，而a?=1也符和该式，故a2*=J~----，

令四=九得"=中=。^,

当九=2fc—1时，出人-一1一。2左一3=4x3，',a2k-3—出人：-5=4x3"",....,0-3—Q1=4X3。，

1一3'213212—1

以上式子相加得：。2人：-1-d)=4x(3"‘+3"-"+…+3°)=4x

1-92

_321-1

故+a产3"”，而的=1也符号该式，故a*-i=吟土1

3n-1+(-I)"-1

令2k—1=n得：a”=

2

综上：a„=正确.

2,D

故选:D

8.(2023-山西太原•商三统考期末)如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等

差数列，设/(小,%)表示该数阵中第小行、第n列的数，则下列说法正确的是()

234567,••

35791112

4710131619

5913172125

6111212631

71319253137

•・・.・・

A.7(3,18)<49B./(6,8)>49C./(7,7)=49D.”12,4)=49

【答案】D

【解析】对于4,/(3,18)表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差

数列，则第18个数字为4+(18—1)x3=55>49,故选项A错误;

对于B,/(G,8)表示第6行第8个数字，由数阵可知：第G行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则

第8个数字为7+(8-1)x6=49=49,故选项B错误；

对于。,/(7,7)表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则

第7个数字为8+(7-1)x7=50>49,故选项。错误；

对于。,/(12,4)表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数

列，则第4个数字为13+(4-1)x12=49,故选项D正确，

故选：D.

9.（2023-黑龙江哈尔滨・高三哈卿大带中校考期末）已知等差数列｛QJ的前几项和为S”,向量后=

n,m,c,GN*)，且OP=』OE+〃O%则用n,7n,k表示/l,则A

Am—k□n-k「m,—n口n-m

U.--------r-

•n—km-K・k-n・k-m

【答案】B

n=Am+juk

m

S”=4smi岛,即■

(nmA/风=连+噜’

nmK

.Sn_Smn-fjk."Sk_nS(kSS\

••—=-----------1-r-=—9—m〃•mk

nmmKnr

SnSrn

n9•)

n-77K

/.n\F

F

・・・S〃为等差数列｛4｝的前几项和，设其公差为d,

,n(n—1).m(m—1).n—1m,—1

na\H---------------dma\H-----------------da\+dQ|+d

22

••n9nr>n9rrr2