二次函数y=ax2的图象和性质3

5.4二次函数的图象和性质第4课时1.会画y=ax2+bx+c的图象；2.理解y=ax2+bx+c的性质；3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联系与区别.说出二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?用配方法化成顶点式:y=a(x-h)2+k的形式我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.

步骤1：提取二次项系数步骤2：（配方）加上再减去一次项系数绝对值一半的平方步骤3（整理）前三项化为完全平方式,后两项合并同类项步骤如下：x…-2-101234…

…29145251429…列表:根据对称性,选取适当值列表计算.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.x=1●(1，2)通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？0画出y＝x2－6x＋21的图象.配方得：y=

x2－6x＋21=(x－6)2＋3.由此可知，抛物线21的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6.y＝x2－6x＋

Oyx5105102015x

＝6y＝(x－6)2＋3y＝x2－6x＋21怎样平移抛物线y＝x2得到抛物线y＝(x－6)2＋3？当_____时y随x的增大而增大当_____时y随x的增大而减小x>6x<6·（8，5）·（4，5）·(6，3)·（12，21）·（0，21）一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？b

a(xx)+c=

+2acbxaxy++=2=++-+a[x

x()()]ca2a2a222b

b

b=a(x+)2

-+c2ab4ab2=a(x+)2+.2ab4a4ac-b2抛物线的顶点式二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.y=a(x+)2+.2ab4a4ac-b2它的顶点是（-，）.2ab4a4ac-b2对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）利用公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质.想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,

y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.1.相同点:

(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.

(3)都有最大(或小)值.(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随

x的增大而增大.

a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随

x的增大而减小.

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系

2.不同点:

(1)位置不同.

(2)顶点不同:分别是__________和(0,0).

(3)对称轴不同:分别是___________和y轴.

(4)最值不同:分别是_______和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位

(当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac<0B．a-b+c>0C．b=-4a

D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5-1yx5x=22OB2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0yxOD3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则函数y＝－ax+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2OXYA4.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（）yx11O（A）yx1-1O（B）y-1-1O（C）1-1yO（D）【解析】选D.由二次函数的图象可知一元二次方程（x-a)(x-b）=0的解为x1=a，x2=b，则a=1，b＜-1.所以可以得到函数的图象与y轴的交点在点（0，-1）的下方，与x轴的交点在点（1,0）的右边，故选D.xx5.已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（

）A．B．

C．D．【解析】选D.∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴b＞0，∵抛物线与y轴交与正半轴，∴c＞0，∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0.6．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.xy3－1O解析：⑴根据题意得：,解得所以抛物线的解析式为⑵令解得根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是1.根据抛物线的开口方向判断a的符号.答：抛物线开口向上，所以a＞0.2.图中顶点横坐标

符号怎样？再结合a的符号判断b的符号.答：＞0，其中a＞0，∴b＜0.3.顶点横坐标

＞0时，b与a的符号有何关系?

＜0时，b与a的符号有何关系？答：＞0时，b的符号与a的符号相异；＜0时，b的符号与a的符号相同.b2a-b2a-b2a-b2a-b2a-4.抛物线y=ax2+