05至06间-附录A 平面图形的几何性质N

附录A平面图形的几何性质§A.1

形心和静矩§A.2

惯性矩惯性积惯性半径§A.3

平行轴定理§A.4

转轴公式主惯性矩材料力学平面图形的几何性质

——反映平面图形的形状与尺寸的几何量附录A平面图形的几何性质如：本章介绍：

平面图形几何性质的定义、计算方法和性质1.在轴向拉〔压〕中：2.在扭转中：3.在弯曲中：§A.1

形心和静矩一、静矩二、形心三、组合图形的静矩和形心四、静矩的性质附录A平面图形的几何性质一、静矩§A.1形心和静矩整个图形A对x轴的静矩：整个图形A对y轴的静矩：ydA——微面积dA

对

x

轴的静矩xdA——微面积dA

对y轴的静矩定义：〔面积矩〕其值：+、-、0

单位：m3二、形心§A.1形心和静矩讨论：水平面的一块等厚薄板，在重力场均匀、薄板材质均匀连续的条件下，重心与形心重合，通过求重心的方法来求形心，设厚度为t，单位体积重为g，O-xy平面为水平面。〔各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩〕有它对

y轴的力矩为：由合力矩定理

微面积dA所受到的重力为：§A.1形心和静矩

gtdA

gtxdA三、组合图形的静矩和形心组合图形——由几个简单图形〔如矩形、圆形等〕组成的平面图形如：§A.1形心和静矩1.静矩2.形心§A.1形心和静矩四、静矩的性质形心轴

图形对形心轴的静矩为零

——通过图形形心的坐标轴反之，图形对某轴的静矩为零，那么该轴必为形心轴

性质1：§A.1形心和静矩例1

确定形心坐标解：

取参考坐标系xy§A.1形心和静矩举例求半径为

r

的半圆形对其直径轴

y

的静矩及其形心坐标。解:z轴是对称轴，

通过形心。zdzdAyzro§A.2

惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积二、惯性矩与极惯性矩的关系附录A平面图形的几何性质三、惯性积的性质四、惯性半径一、惯性矩与惯性积§A.2惯性矩惯性积惯性半径整个图形A对x轴的惯性矩整个图形A对y轴的惯性矩y2dA——微面积dA

对

x

轴的惯性矩x2dA——微面积dA

对y

轴的惯性矩定义：其值：+

单位：m41.惯性矩整个图形A对x轴和y轴的惯性积定义：xydA——微面积dA

对x

轴和y

轴的惯性积

的坐标轴其值：+、-、0

单位：m4假设：

x轴和y轴为一对相互垂直一、惯性矩与惯性积2.惯性积§A.2惯性矩惯性积惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系即：

平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和

性质2：假设x、y轴为一对正交坐标轴§A.2惯性矩惯性积惯性半径1.矩形截面常用图形的惯性矩：§A.2惯性矩惯性积惯性半径2.圆形截面由对称性3.环形截面§A.2惯性矩惯性积惯性半径三、惯性积的性质当x、y轴中有一轴为对称轴在一对正交轴中，只要有一个对称轴，那么该图形对这对轴的惯性积为零。

性质3：§A.2惯性矩惯性积惯性半径

惯性矩——对某一轴而言

极惯性矩——对某一点而言特别指出：

惯性积——对某一对正交轴而言§A.2惯性矩惯性积惯性半径——图形对x轴的惯性半径

单位：m四、惯性半径

在力学计算中，有时把惯性矩写成即：——图形对

y

轴的惯性半径§A.2惯性矩惯性积惯性半径注意：试问：即：§A.2惯性矩惯性积惯性半径§A.2惯性矩惯性积惯性半径组合截面的惯性矩和惯性积即，各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。同理：§A.2惯性矩惯性积惯性半径xy例求图示圆环截面对x、y轴的惯性矩Ix、Iy。内径为d，外径为D。求解中，不仅可以加，还可以减。§A.3

平行轴定理一、定理推导二、应用附录A平面图形的几何性质§A.3平行轴公式一、定理推导即：xc、yc为一对正交的形心轴，x、y分别平行于xc、yC轴。显然：性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩

中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理惯性矩和惯性积的平行轴定理§A.3平行轴公式§A.3平行轴公式a、b为形心C在坐标系Oxy中的坐标，因而有正负号之分。虽然在计算Ix、Iy时对计算结果没有影响，但是在计算Ixy时就不同了。注意：例求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩Ix、Iyyx解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三局部。xyIIIIII三局部均为矩形截面，其对自身形心主惯性轴的惯性矩为，上、下翼缘自身的形心主惯性轴与x平行、腹板的形心主惯性轴即为x轴。xyIIIIIIxyIIIIIIxyIIIIII将截面看成宽为B，高为H的矩形截面，减去阴影局部面积。方法2：xyIIIIIIxyIIIIII解：例1求和§A.4

转轴公式主惯性矩一、公式推导二、主惯性矩附录A平面图形的几何性质§A.4转轴公式主惯性矩一、公式推导规定：角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：代入一、公式推导规定：角逆时针转向为+结果：§A.4转轴公式主惯性矩显然§A.4转轴公式主惯性矩显然性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个

惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯

性矩。§A.4转轴公式主惯性矩二、主惯性矩

1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴§A.4转轴公式主惯性矩2.主惯性轴的方位

设主惯性轴的方位为0，对应的坐标轴为x0、y0令得到§A.4转轴公式主惯性矩3.主惯性矩因故有§A.4转轴公式主惯性矩4.主惯性矩的性质

当Ix1取极值时，对应的方位为1

得到即：性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性

矩Imax，另一个为极小惯性矩Imin。令

§A.4转轴公式主惯性矩解：例2求图示图形的形心主惯性矩。

1.确定形心位置解：例2求图示图形的形心主惯性矩。

2.求、和解：例2求图示图形的形心主惯性矩。

2.求、和解：例2求图示图形的形心主惯性矩。

2.求、和解：例2求图示图形