高中数学-【课堂实录】抛物线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计教学目标：知识目标：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。德育目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。教学重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；（2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程；（3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。教学难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分；（2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。教学方法：启发引导法，依据建构主义教学原理，通过类比、归纳把新知识化归到原有的认知结构中去（二次函数与抛物线方程的对比，移图与建立适当建立坐标系的方法的归纳）。教学过程：【环节一：图象引入】

教师活动：通过生活中抛物线的实例（赵州桥，太阳能灶，中国的超级工程FAST）让学生了解抛物线，并且给出问题1：一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.【环节二：亲身体验,感受新知】教师活动：问题探究一：点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？同时提出以下问题问题2：实验中哪个点和哪条直线是固定的？问题3：垂直平分线上的点有什么特征？问题4当点H运动时，观察点M的轨迹图像，指出点M满足的条件？学生活动：自己思考教师活动：请同学们观察它是什么曲线？学生活动：抛物线教师活动：下面通过几何画板演示给大家看（播放演示过程），思考问题2,3,4学生活动：思考作答教师活动：根据刚才的作图过程我们来归纳一下抛物线的定义学生活动：学生自己归纳【环节三：引导探究,获得新知】观察归纳，形成定义教师活动：板书（一、定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线）。（幻灯片展示抛物线的定义，焦点，准线及开口向右的抛物线的图象）教师活动：同学们观察这个定点在定直线上没有？学生活动：没有。教师活动：如果直线经过点呢？（幻灯片展示直线过点的图象）学生活动：观察，容易得出结论：经过且与垂直的直线。教师活动：从抛物线的定义中我们知道，平面内一个动点M，到定点F与到定直线l（F不在l上）的距离相等，这个动点的轨迹就是抛物线，那么它的轨迹方程又是什么呢？教师活动：要求轨迹方程就要设点的坐标，点的坐标是在坐标系的前提下才成立的，如何来建立坐标系呢？学生活动：思考教师活动：因此，建系是关键，类比椭圆与双曲线的建系的方法，可以看出我们要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的应用到对称关系。教师活动：提出问题：设焦点到准线的距离为p（p>0）,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，才能使所得的方程形式比较简单呢？学生活动：分组讨论，最后由每个小组推荐一人发言。教师活动：（幻灯片显示学生可能的建立坐标系的方法）现在坐标系建立出来了，我们就要来标出已知点的坐标和已知直线的方程，然后求出抛物线的轨迹方程，我们一起来求一个，剩下的留给你们去求。教生活动：一起求出其中的一个抛物线的方程。剩下的方程，学生分组完成。教师活动：巡视，学生可能会等到三种不同的结果解法一：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为X轴建立直角坐标系（如下图所示）,|FK|＝p,则定点F(p,0),设动点M(x,y)，由抛物线定义得：化简得：解法二:以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为X轴建立直角坐标系(如下图所示),记|FK|=p,则定点F(0,0),l的方程为x=-p，设动点M(x,y)，由抛物线定义得：化简得：解法三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系(如下图所示),则定点F(,0),l的方程为x=-，设动点M(x,y)，由抛物线定义得：化简得：教师活动：你选择你一种方程作为标准方程，你会选择哪种？并且说明理由。学生活动：选择，因为这个方程比较简洁。（可由几个学生补充。）教师活动：板书（抛物线的标准方程：，开口向右）学生活动：焦点，准线，为焦点到准线的距离（焦准距）。【环节四：深入探究,完善体系】教师活动：同学们想想，除了这种开口向右的，还有没有其他情况，又有哪些形式呢？学生活动：还有开口向左，开口向上，开口向下。教师活动：它们的方程又有怎样的形式呢，焦点坐标和准线方程呢？4种建系结果，请同学们进行小组合作探究。学生活动：学生小组合作，求方程并且填表。教生活动：因此开口向下的方程为，焦点坐标为，准线方程为标准方程图形焦点坐标准线方程教师活动：现在我们得到了四种抛物线的标准方程，我们一起来分析一下这些方程有哪些特征。四个方程里面都有P,P是什么？学生活动：焦点到准线的距离。教师活动：对比观察抛物线的四种标准方程，①方程左端、右端x,y的次数有何特征？②方程中的一次项系数与焦点位置，准线、开口方向有什么关系？学生活动：①左端为2次项，右端为1次项②一次项系数的符号决定开口方向。一次项变量x还是y,决定焦点F的位置【环节五：应用新知,解决问题】教师活动：通过刚才分析得到的一些结论，我们来试试下面的题目。例题1：（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程。学生活动：（1）焦点坐标为（－,０）准线方程为变式：已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程。学生活动：解：方程可化为，故，焦点坐标为，准线方程为注意：一定要先把抛物线化为标准形式后再确定焦点、开口及准线例题2：根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）焦点是学生活动：变式.（2）你能说明为什么y=ax2（a≠0）的图像是抛物线吗?请指出它的焦点坐标,准线方程学生活动： ,焦点坐标为，准线方程为【环节六：拓展延伸，解决问题】教师活动：一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.学生活动：建立如图坐标系：设抛物线方程为，代入点A(0.5，2.4)，求得P=5.76，，所以y2=11.52x,xxyOAB【环节七：小结概括,深化认识】教师活动：通过本节课的学习，我们来回忆一下，从内容上和思想方法上学到了些什么？学生活动：内容上有抛物线的定义，标准方程（可由几个学生补充），思想方法上有数形结合，分类讨论。教师活动：类比前面学习椭圆和双曲线，我们知道，学了定义了方程之后，我们就要进一步学习他的几何性质了，大家可以课后去先思考一下。【环节八：板书设计】

学情分析1．学生已有认知基础学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识，通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解，所以建立直角坐标系推导方程问题不是太大2．达成目标所需要的认知基础学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力。所以在建立方程上分歧不是太大。特别是奥赛班的学生反映比较快，做题速度和上课节奏上都容易把握。效果分析本节课围绕着教学目标逐步展开，学生通过看(实验尝试)——想(独立思考)——研(合作交流)——用(巩固提高)的学习过程掌握了知识，提升了能力。本节课我的设计理念遵循以下原则，以学生为主体，以独立思考、合作探究为手段，以能力提高为目的。所以在本节课的教学中，我不断为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过层层递进的问题串，启发学生参与到问题中进行思考探究，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，培养学生的创新精神和实践能力。同时，我在教学过程中还注意解析几何基本思想方法的渗透，让学生在思考的过程中体会用代数方法解决几何问题的方法与思想。总之，这节课完成了教学目标，学生在通过自己的努力之后获得了成功的体验，达到了能力上的提升。教材分析本节内容是人教A版数学选修2-1第二章第4节的第一课时。抛物线是中学数学的重要内容，它贯穿在整个中学数学教材中，并随着学生认知水平的提高而不断加深。抛物线最早见于初三数学，作为二次函数的图像。高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面都有重要的作用。但对于这种曲线的本质学生并不清楚，二次函数不能代替对整个抛物线体系的研究。随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e=1的特例。另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。通过本节的学习学生要从曲线的几何特征及曲线的形成上对抛物线有一个新的认识，然后归纳形成抛物线的定义，再用坐标法对曲线的几何性质进行研究。本节的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导。抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材让学生充分体会和加深理解解析几何是一门用数来研究形的学科，是数形结合数学思想的体现。评测练习1、（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程。变式1：求抛物线的焦点坐标和准线方程变式2：已知抛物线的标准方程为，求此抛物线的焦点坐标和准线方程。2.一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.课后反思本节课以多媒体课件为依托，我以看(实验尝试)——想(独立思考)——研(合作交流)——用(巩固提高)为学生学习的主线，来完成本节课的教学。教师用几何画板工具画出抛物线的形成过程，也可以让学生利用三角板在动态演示过程中理解抛物线的定义，突出教学重点。这些有待以后改进，通过类比椭圆和双曲线的研究过程，让学生通过自主思考，合作交流，分组展示体验抛物线的标准方程的推导过程，来突破教学难点。将抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程等列表，让学生填充表格，通过表格将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。通过当堂检测检验学习效果，达到堂堂清的目的。数学教育不仅要重视基础知识、基本技能的落实，而且要重视学生能力的培养，特别是学生的创新精神和实践能力。纵观整个教学过程，我不断为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过恰当的问题设置，启发学生参与到问题中进行思考探究，学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，从而培养学生的创新精神和实践能力。本节课我的设计理念遵循三条原则，以学生为主体，以合作探究为手段，以能力提高为目的。教学过程中充分关注学生能否积极主动的参与知识探索，能否应用适当的语言表达自己的思想，交流自己的学习体验.学生通过自主探究，合作交流，体味合作学习的快乐，体味冥思苦想后的豁然开朗，体味逻辑思维的严谨美。课标分析《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容。课标对本部分的要求是：1.掌握抛物线的定义、标准方程，2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,会用坐标法推导抛物线的标准方程，3.