高中数学苏教版不等式二元一次不等式组与简单线性规划问题（区一等奖）

第3章§3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3

简单的线性规划问题(一)1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学以此为例，试通过下列问题理解有关概念.知识点一线性约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的

次不等式，故又称线性约束条件.一知识点二目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x、y的

次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.一知识点三线性规划问题一般地，在线性约束条件下求

的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题.线性目标函数知识点四可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫

.作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫

，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个

，其中能使②式取最大值的可行解称为

.可行解可行域可行解最优解题型探究类型一最优解问题解答由图可以看出，设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤如下：①确定线性约束条件，线性目标函数；②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.反思与感悟跟踪训练1

已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答当直线截距最大时，z的值最小，由图可见，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5,7].解答约束条件所表示的平面区域如图：由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.综上，a＝1或a＝－1.反思与感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2

给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a＝____.答案解析类型二生活中的线性规划问题例3

营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解答目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.反思与感悟答案跟踪训练3

某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为_____.货物体积(m3/箱)重量(50kg/箱)利润(百元/箱)甲5220乙4510托运限制2413

4,1解析设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图.易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.当堂训练1234答案解析1234画出可行域如图阴影部分(含边界).作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.1234答案解析73.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a＝____.1234－3答案解析1234由不等式组表示的可行域，知目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.答案解析8规律与方法1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函