第一章 晶体结构

第一章晶体结构第一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体的共性晶体的结构晶列晶面指数倒格空间晶体的对称性晶格结构的分类晶体的X光衍射原子散射因子几何结构因子第二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四固体的分类固体晶体:非晶体:准晶体:长程有序不具有长程序的特点,不具有周期性，任意排列。有长程取向性，而没有长程的平移对称性。单晶体多晶体至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。长程有序:第三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体晶胞立方晶系六方晶系四方晶系三方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系对称性立方体六方体功能导体半导体绝缘体磁介质电介质超导体结合方式分子晶体离子晶体共价晶体金属晶体氢键晶体第四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体所具有的自发地形成封闭凸多面体的能力称为自限性。2.晶体的解理性:晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，称为晶体的解理性，这样的晶面称为解理面。1abcd21.自限性:第五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶面的交线称为晶棱，晶棱互相平行的晶面的组合称为晶带，如右图中a，1，b，2。1abcd2互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的带轴，晶轴是重要的带轴。如右图中OO´第六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四3.晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：

a、b

间夹角总是141º47´；a、c

间夹角总是113º08´；b、c

间夹角总是120º00´。第七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四4.晶体的各向异性在不同方向上，晶体的物理性质不同。由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。例如：弹性常数，压电常数，介电常数，电导率第八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四O光e-光

calcite方解石unpolarizedlight自然光第九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四5.晶体的规则外形和均匀性晶体中任意两点(在同一方向上)的物理性质相同。a立方体a立方体c立方和八面混合体b八面体a立方体第十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四6.晶体的对称性:晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性。7.晶体固定的熔点:给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。第十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体为什么具有这些宏观特性呢?晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点。晶体的宏观特性：第十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(b)(c)(a)(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?第十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。(b)(c)(a)在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。第十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为晶格(或者说这些点在空间周期性排列形成的骨架称为晶格)。又称为布喇菲格子，结点又称为格点。第十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周期性。用矢量表示格点的排列。xyz第十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。

一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。晶格+基元=晶体结构(b)(a)第十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四布拉维晶格、简单晶格和复式晶格(1)布拉维晶格格点的总体称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围的情况完全相同。(2)简单晶格和复式晶格简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。第十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。第十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四

特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。(1)固体物理学原胞(简称原胞)基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。体积为：第二十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四原胞内任一点的位矢表示为：在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。(2)结晶学原胞（简称单胞）构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。第二十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四基矢：结晶学原胞的基矢一般用表示。特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。体积为：(3)维格纳--塞茨原胞构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞。特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。第二十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四ab(1)一维原子链a一维单原子链一维双原子链第二十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(2)二维(a)(b)固体物理学原胞维格纳--塞茨单胞（W-S）第二十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(3)三维立方晶系布拉维原胞的体积:设晶格常量(布拉维原胞棱边的长度)为a,取为坐标轴的单位矢量,即立方体边长为a,(a)简立方每个布拉维原胞包含1个格点。固体物理学原胞的体积布拉维晶格(简单格)第二十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四简立方体心立方面心立方图示原胞基矢a1=aa2=ba3=ca1=1/2(a+b-c)a2=1/2(a-b+c)a3=1/2(-a+b+c)a1=1/2(b+c)a2=1/2(c+a)a3=1/2(a+b)第二十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四平均每个布拉维原胞包含4个格点。(b)面心立方固体物理学原胞的体积第二十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(c)体心立方平均每个布拉维原胞包含2个格点。固体物理学原胞的体积第二十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(a)金刚石结构金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。cc布拉维晶格(复式格)第二十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四cc金刚石结构每个固体物理学原胞包含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于（000）和处。第三十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(b)氯化钠结构氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。第三十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为面心立方。氯化钠结构属面心立方。每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格点。氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。基元由一个Cl-和一个Na+组成。(000)Cl-的坐标为，Na+的坐标为。第三十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(c)氯化铯结构氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。

每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。(000)Cl-的坐标为，Cs+的坐标为。第三十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(d)钙钛矿结构钙钛矿结构常写成ABO3的形式。OTi钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方子晶格套构而成的。一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。钙钛矿的氧八面体结构第三十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四(e)--钨结构BBAAAAAA两个B原子和6个A原子各组成简立方。--钨结构由8个子晶格套构而成。一个晶胞包含2个B原子和6个A原子。第三十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。密堆积对应的配位数就是晶体结构中最大的配位数。——结合能最低的位置

第三十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式.

一维二维密排结构

二维第三十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四B层原子球排列A层原子球排列38

三维第三十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四C层原子球排列之一——六角密排晶格C层原子球排列39第三十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。第二层：占据1,3,5空位中心。第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。(1)六角密积AB六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。第四十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四原子球排列为：ABABAB……六角密排晶格结构晶体Be、Mg、Zn、Cd41第四十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于，第四十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四C层原子球排列之二——面心立方晶格B层原子球排列C层原子球排列第四十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四原子球排列——ABCABCABC……面心立方晶格结构晶体Cu、Ag、Au、Al第四十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。第二层：占据1，3，5空位中心。第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。BAC第四十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四六角密排结构面心立方（立方密排）ABAA层：B层：C层：密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。第四十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结构)，6(氯化钠型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结构)，2(链状结构)。下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。[1]氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。取大球中心为立方体的顶角，小球位于立方体的中心。设大小球半径分别为R和r，且晶格常量为a。第四十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四取配位数为8的氯化铯型结构。时排列最紧密，结构最稳定。当第四十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四[2]氯化钠型结构设大小球半径分别为R和r，且晶格常量为a，当大小球恰能相切时，为氯化钠型结构，配位数为6。0.225-0.4144配位

0.414-0.7326配位

0.732-18配位第四十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四ABAA层：B层：C层：面心立方（立方密排）配位数12六角密排结构配位数12简单立方配位数6体心立方配位数8第五十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四体心立方晶胞体心立方原胞体心立方维格纳-赛兹原胞第五十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四典型的晶体结构(Cu)4(000)(W)2(000)CsClCs+

1Cl-1(000)1288

结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数第五十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四结构型单胞中的原子个数原子在单胞中的位置最近邻距离配位数8(000)4金刚石NaClNa+4Cl-4(000)6典型的晶体结构第五十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。第五十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四单胞体积单胞中原子所占体积设晶格常量为a，原子半径为R，则例1：求面心立方的致密度.N是单胞中原子个数内部原子数面上原子数棱上原子数顶角上原子数第五十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四内部原子数面上原子数棱上原子数顶角上原子数第五十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四通过晶格中任意两个格点连一条直线，则这条直线将包含无限多个格点，该直线称为晶列。同一族晶列具有相同的方向，且格点的分布也具有一定的周期。不同族晶列方向不同，格点的周期也不同。

晶向的定义一族晶列的共同方向称为晶向。晶列图示布拉菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，称一族晶列。ab第五十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶向的标志取某一原子为原点O，原胞的三个基矢沿晶向到最近的一个格点的位矢——一组整数晶向指数第五十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等每一簇晶列定义了一个方向——晶向[110][100][3-10][140]第五十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶向指数(311)晶向指数(230)第六十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四立方晶格中的晶向OA------[100]OB------[110]OC------[111]CABOA′[ī00][īī0][īīī]负指数在数字上加一横线。第六十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四考虑到晶格的对称性，某些晶向可以只是方向不同，而周期却是相同的，这类晶向称为等效晶向。等效晶向的全体用<l1l2l3>表示。如立方晶格中的[ī00],[0ī0],[00ī],[100],[010],[001]六个晶向可用符号〈100〉表示，它们是等效晶向。[001][010][100][100]及等效晶向(1)晶列指数一定是一组互质的整数；(2)晶列指数用方括号表示[]；(3)遇到负数在该数上方加一横线。第六十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四布拉菲格子的格点还可看成分列在平行等距的平面系上，即晶面。整个晶格可以看作无数互相平行等距分布的全同的晶面构成，而晶格的所有格点都处于这族晶面上。第六十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四同一个格子，两组不同的晶面族第六十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四取某一原子为原点O，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴______不一定相互正交——晶格中同一族的晶面不仅平行，并且等距——一族晶面必包含了所有格点而无遗漏——在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上第六十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四设末端上的格点分别落在离原点的距离的晶面上——最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距——整数——晶面间距第六十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面——同族中其它晶面的截距是的整数倍密勒指数——标记这个晶面系以晶胞的基矢为参考，所得出的晶列指数和晶面的密勒指数，有着重要的意义第六十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四立方晶格的几种主要晶面标记

第六十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四面等效的晶面数分别为：3个表示为面等效的晶面数分别为：6个表示为面等效的晶面数分别为：4个表示为——符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义,在晶体内部这些面都是等效的第六十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四例如：（1）以O为原点建立直角坐标系OX、OY、OZ（晶面与坐标原点O不能有交点）(2)以一个晶格常数a为度量单位求出该晶面与坐标轴的截距（m＝1，n＝1/2，p＝1/2）。(3)取截距的倒数（1/m＝1，1/n＝2，1/p＝2），化简成最小整数放入（h1h2h3）内，晶面指数为（122）第七十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四cab(101)(021)第七十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四绘出面心立方结构的金属在（110）和（100）面上的原子排列.第七十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四1、倒格子与傅立叶变换2、倒格子定义3、倒格子与正格子的关系第七十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四

倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒格子是由基矢所规定的正格子经过一定转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的规律恰是傅里叶变换。描述静电势能、电子云密度等第七十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四X射线衍射经过O点和P点的光程差为：X光为单色光时，加强条件：入射光与衍射光波矢量关系：正格矢倒格矢同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。第七十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体结构正格倒格1.2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1761.倒格基矢第七十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四从新点阵的原点O至任一结点P（h,k,l）的矢量正好沿正点阵中（hkl）晶面得法线方向，而的长度就等于晶面间距的倒数，即：=1/d(hkl)第七十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四其中是正格基矢，是固体物理学原胞体积。

与所联系的各点的列阵即为倒格。倒格基矢的方向i,j=1,2,3

第七十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四倒格基矢的长度一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。第七十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四已知晶体结构如何求其倒格呢？晶体结构正格正格基矢倒格基矢倒格第八十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四倒格矢与正格子中密勒指数为（h1h2h3)的晶面族正交。(1)（2）倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的(2π)3

倍。（3）倒格矢是晶面指数为所对应的晶面族的法线。（4）倒格矢与晶面间距关系为（5）正格矢与倒格矢的关系正格失和倒格子基矢的关系第八十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体的显微图象真实晶体结构的映象；晶体的衍射图象倒格子（倒易点阵）的映象；晶体点阵(正格子)的格点对应原子、分子或其集团倒格子中的格点对应晶体中的一族晶面晶体点阵(正格子)的格点位于位置空间或坐标空间内的,其线度的量纲为[长度]倒格子中的格点在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶空间内的82第八十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间同样的量纲。倒格子空间又称状态空间或简称为k空间83第八十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。第八十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四倒格是边长为的正方形格子。第八十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四例2：。证明体心立方的倒格是面心立方解：体心立方的原胞基矢：第八十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四倒格矢：同理得：体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。第八十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为证明：由得：简立方：法一：第八十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四第八十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四对称性与对称操作晶系和布拉菲原胞第九十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四对称性与对称操作对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：使晶体自身重合的动作。经过某一对称操作，把晶体中任一点变为可以用线性变换来表示。1.对称操作与线性变换第九十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四操作前后，两点间的距离保持不变，Ox1x3x2O点和X点间距与O点和点间距相等。第九十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称)Ox1x3x2旋转对称第九十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四At=A-1中心反演操作第九十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四At=A-1镜像操作第九十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体中允许有几度旋转对称轴呢?设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻的两个格点。A1ABB1第九十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴顺时针转角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格点B也有一转轴u。是的整数倍，A1ABB1相反若逆时针转'角后能自身重合，则A1ABB1是的整数倍，第九十七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。综合上述证明得：12346第九十八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴。(4)旋转--反演对称若晶体绕某一固定轴转以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。第九十九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四

旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。旋转--反演对称轴用

表示。旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：1214265312第一百页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m1234566'1234第一百零一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四1，2，3，4，6度旋转对称操作。1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。(3)中心反映：i。(4)镜象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）点对称操作：(2)旋转反演对称操作：(1)旋转对称操作：

独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。第一百零二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四与4度轴正交的对称面与2度轴正交的对称面第一百零三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。第一百零四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四

（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是轴方向的周期，l是小于n的整数。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。第一百零五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种空间群，即有230种对称类型。第一百零六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，14种布拉维晶格。为布拉维原胞三个基矢，α、β、γ分别为取间的夹角。7大晶系的特征及布拉维晶格如下所述：第一百零七页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)三角(4)4.正交晶系：简单正交(5)，底心正交(6)体心正交(7)，面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)简单四角(9)，体心四角(10)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)，体心立方(13)，面心立方(14)第一百零八页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：三角(4)第一百零九页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四4.正交晶系：简单正交(5)底心正交(6)体心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)体心四角(10)简单四角(9)第一百一十页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)体心立方(13)面心立方(14)第一百一十一页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四第一百一十二页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四一、衍射方程衍射极大的方向为晶面(h1h2h3)的反射方向。第一百一十三页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四德国实验物理学家，1895年发现了X射线，并将其公布于世。历史上第一张X射线照片，就是伦琴拍摄他夫人的手的照片。由于X射线的发现具有重大的理论意义和实用价值，伦琴于1901年获得首届诺贝尔物理学奖金。伦琴（W.K.Rontgen，1845-1923）第一百一十四页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四伦琴伦琴W.K.RontgenW.K.Rontgen(1845~1923)(1845~1923)1901年获首届诺贝尔物理学奖1895年，德国物理学家伦琴在研究阴极射线管的过程中，发现了一种穿透力很强的射线。+高压电源金属靶电子束高能

由于未知这种射线的实质（或本性），将它称为X射线。X射线第一百一十五页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四劳厄劳厄(1879~1960)(1879~1960)M.vonRaueM.vonRaue1914年获诺贝尔物理学奖

X射线发现17年后，于1912年，德国物理学家劳厄找到了X射线具有波动本性的最有力的实验证据：

发现并记录了X射线通过晶体时发生的衍射现象。

由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很短）的电磁波。

在电磁波谱中，X射线的波长范围约为0.005nm到10nm，相当于可见光波长的10万分之一到50分之一。第一百一十六页，共一百三十二页，编辑于2023年，星期四劳厄的X射线衍射实验原理图

晶体中有规则排列的原子，可看作一个立体的光栅。原子的线度和间距大约为10

-10m数量级，根据前述可见光的光栅衍射基本原理推断，只要入射X射线的波长与此数量级相当或更小些，就可能获得衍射现象。衍射斑纹（劳厄斑）+晶体X