辽宁省沈阳市第五十高级中学高三数学文月考试卷含解析

辽宁省沈阳市第五十高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中正确的是(

)A.命题“，”的否定是“”

B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件C.若“，则”的否命题为真D.若实数，则满足的概率为.参考答案：CA中命题的否定式，所以错误.为真，则同时为真，若为真，则至少有一个为真，所以是充分不必要条件，所以B错误.C的否命题为“若，则”，若，则有所以成立，选C.2.如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（

）A.1 B. C. D.参考答案：D3.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到A处的所有不同走法(

)A22种

B24种

C25种

D36种参考答案：C略4.已知，，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：B略5.在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P为CD的中点，则的值为A．－5

B．－4

C．4

D．5参考答案：D略6.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：解：（1）众数：8.6；中位数：8.75

（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则

（3）的可能取值为0、1、2、3.高…考.资.源+网

高.考.资.源+网

；

；

的分布列为

高考资源网所以.

另解：的可能取值为0、1、2、3.高..考.资.,

则，.

的分布列为

所以=.

略7.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：A由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是.故选A.

8.定义在R上的偶函数f(x)满足，且当时，，函数g(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（

）A.9 B.10 C.11 D.12参考答案：C【分析】由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。9.已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为（

）．A． B． C． D．参考答案：B根据题意可知，∵，∴，解得．故选．10.下列有关命题的说法正确的是（

）

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“，使得”的否定是：“，均有”

D．命题“若”的逆否命题为真命题参考答案：DA错误，命题“若，则”的否命题应为：“若，则”；B错误，“”是“”的充分不必要条件；C错误，命题“，使得”的否定是：“，均有”；D正确，原命题正确，根据原命题逆否命题，知逆否命题为真命题，故选择D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为第二象限角，，则的值为

]参考答案：2由展开得，平方得，所以，从而，因为为第二象限角，故，因此，因为，，所以，，则12.已知函数的图象与直线有两个公共点，则的取值范围是____参考答案：略13.某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是

______．参考答案：20高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为人。14.若等比数列{an}的前项n和为Sn，且，则

参考答案：1715.

已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为___________参考答案：－116.圆的圆心到直线的距离是_____.参考答案：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，答案为1.17.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用数学期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得ab的最大值．【解答】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（当且仅当a=，b=时取等号）∴ab的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，从而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…19.已知椭圆的离心率，F为椭圆C的右焦点，D、E为椭圆的上、下顶点，且的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线与椭圆C交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．参考答案：（1）1；（2）证明见解析，（1，）【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由，，的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；（2）设，，，，，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及斜率公式，化简计算，考虑它的和为常数，可令的系数为0，进而得到的坐标．【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，则，又由的面积为，可得，解得，或，离心率，则时，，舍去，则，，所以椭圆的方程为；（2）证明：设，，，，，将直线代入椭圆可得，由，可得，则有，，为与无关的常数，可得当，时，斜率的和恒为0，解得或（舍去），综上所述，在第一象限内满足条件的定点的坐标为．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点（，0）且与直线x=﹣相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PBC面积的最小值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），求得直线PB的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PBC的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．解答： 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（，0）的距离等于到直线x=﹣的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2=2x．（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），直线PB的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，又圆心（1，0）到PB的距离为1，即=1，整理得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以，可知b，c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，则（c﹣b）2=，因为y02=2x0，所以：|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|?|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号，所以△PBC面积最小值为8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.如图，梯形中，，，．为AB中点．现将该梯形沿析叠．使四边形所在的平面与平面垂直。（1）求证：平面;（2）求平面与平面夹角的大小。

参考答案：（1）略；（2）.（1）证明：∵平面平面,，∴平面.而平面，∴.又,∴平面.（7分）（2）设,过点作于,连接,易证,即是二面角的平面角,在中,,得, 所以,即平面与平面夹角的大小为.

（8分）

略22.(本题满分15分)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．参考答案：方法一：(Ⅰ)证明：如图以点A为原点建立空间直角坐