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文档简介
云南省江川一中2024届高二数学第一学期期末调研试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知点是椭圆方程上的动点,、是直线上的两个动点,且满足,则()A.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个B.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个C.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个D.存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个2.若:,:,则为q的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件3.关于的不等式的解集为()A. B.C.或 D.4.椭圆的左右焦点分别为,是上一点,轴,,则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.5.设双曲线C:的左、右焦点分别为,点P在双曲线C上,若线段的中点在y轴上,且为等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A B.2C. D.6.等比数列的第4项与第6项分别为12和48,则公比的值为()A. B.2C.或2 D.或7.椭圆的一个焦点坐标为,则()A.2 B.3C.4 D.88.函数的图象大致是()A. B.C. D.9.我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第5个孩子分到棉花为()A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤10.函数的定义域为,其导函数的图像如图所示,则函数极值点的个数为()A.2 B.3C.4 D.511.若数列为等差数列,数列为等比数列,则下列不等式一定成立的是()A. B.C. D.12.设为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为()A.4 B.8C.16 D.32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,,则_________.14.设、、是三个不同的平面,、是两条不同的直线,给出下列三个结论:①若,,则;②若,,则;③若,,则其中,正确结论的序号为__15.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是____________16.如图三角形数阵:123456789101112131415……按照自上而下,自左而右的顺序,2021位于第i行的第j列,则______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,双曲线的左、右两个焦点为、,动点P满足(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点,问:线段上是否存在一点D,使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?若存在,请给出证明:若不存在,请说明理由18.(12分)已知圆C经过坐标原点O和点(4,0),且圆心在x轴上(1)求圆C的方程;(2)已知直线l:与圆C相交于A、B两点,求所得弦长值19.(12分)将离心率相同的两个椭圆如下放置,可以形成一个对称性很强的几何图形,现已知.(1)若在第一象限内公共点的横坐标为1,求的标准方程;(2)假设一条斜率为正的直线与依次切于两点,与轴正半轴交于点,试求的最大值及此时的标准方程.20.(12分)某厂A车间为了确定合理的工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了五次试验,得到数据如下:加工零件的个数x12345加工的时间y(小时)1.52.43.23.94.5(1)在给定的坐标系中画出散点图;(2)求出y关于x的回归方程;(3)试预测加工9个零件需要多少时间?参考公式:,21.(12分)如图,在四棱柱中,底面,,,且,(1)求证:平面平面;(2)求二面角所成角的余弦值22.(10分)已知双曲线的左焦点为,到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点,,当直线经过的右焦点且垂直于轴时,.(1)求的方程;(2)是否存在轴上的定点,使得直线过点时,恒有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】求出点到直线的距离的取值范围,对点是否为直角顶点进行分类讨论,确定、的等量关系,综合可得出结论.【题目详解】设点,则点到直线的距离为.因为椭圆与直线均关于原点对称,①若为直角顶点,则.当时,此时,不可能是等腰直角三角形;当时,此时,满足是等腰直角三角形的直角顶点有两个;当时,此时,满足是等腰直角三角形的直角顶点有四个;②若不是直角顶点,则.当时,满足是等腰直角三角形的非直角顶点不存在;当时,满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个;当时,满足是等腰直角三角形非直角顶点有四个.综上所述,当时,满足是等腰直角三角形的点有八个;当时,满足是等腰直角三角形的点有六个;当时,满足是等腰直角三角形的点有四个;当时,满足是等腰直角三角形的点有两个;当时,满足是等腰直角三角形的点不存在.故选:B.2、D【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【题目详解】解:因为:,:,所以,所以为q的既不充分又不必要条件.故选:D.3、C【解题分析】求出不等式对应方程的根,结合不等式和二次函数的关系,即可得到结果.【题目详解】不等式对应方程的两根为,因为,故可得,根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为或.故选:C.【题目点拨】本题考查含参二次不等式的求解,属基础题.4、A【解题分析】在中结合已知条件,用焦距2c表示、,再利用椭圆定义计算作答.【题目详解】令椭圆的半焦距为c,因是上一点,轴,,在中,,,由椭圆定义知,则,所以椭圆的离心率等于.故选:A5、A【解题分析】根据是等腰直角三角形,再表示出的长,利用三角形的几何性质即可求得答案.【题目详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M,因为O为的中点,所以,而,则,为等腰三角形,故,由,得,又为等腰直角三角形,故,即,解得,即,故选:A.6、C【解题分析】根据等比数列的通项公式计算可得;详解】解:依题意、,所以,即,所以;故选:C7、D【解题分析】由条件可得,,,,由关系可求值.【题目详解】∵椭圆方程为:,∴,∴,,∵椭圆的一个焦点坐标为,∴,又,∴,∴,故选:D.8、A【解题分析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.【题目详解】函数的定义域为,则排除选项、,当时,,则在上单调递减,且,,由零点存在定理可知在上存在一个零点,则排除,故选:.9、A【解题分析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【题目详解】依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为,公差为d,前n项和为,第一个孩子所得棉花斤数为,则由题意得,,解得,故选:A10、C【解题分析】根据给定的导函数的图象,结合函数的极值的定义,即可求解.【题目详解】如图所示,设导函数的图象与轴的交点分别为,根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反,可得为函数的极大值点,为函数的极小值点,所以函数极值点的个数为4个.故选:C.11、D【解题分析】对选项A,令即可检验;对选项B,令即可检验;对选项C,令即可检验;对选项D,设出等差数列的首项和公比,然后作差即可.【题目详解】若,则可得:,故选项A错误;若,则可得:,故选项B错误;若,则可得:,故选项C错误;不妨设的首项为,公差为,则有:则有:,故选项D正确故选:D12、B【解题分析】因为,可得双曲线的渐近线方程是,与直线联立方程求得,两点坐标,即可求得,根据的面积为,可得值,根据,结合均值不等式,即可求得答案.【题目详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点不妨设为在第一象限,在第四象限联立,解得故联立,解得故面积为:双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值:故选:B.【题目点拨】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】由已知可知即数列是首项为1,公差为1的等差数列,进而可求得数列的通项公式,即可求.【题目详解】由题意知:,即,而,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列,有,∴,则.故答案为:【题目点拨】关键点点睛:由递推关系求数列的通项,进而得到的通项公式写出项.14、①②【解题分析】利用线面垂直的性质可判断命题①、②的正误;利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.【题目详解】、、是三个不同的平面,、是两条不同的直线.对于①,若,,由同垂直于同一平面的两直线平行,可得,故①正确;对于②,若,,由同垂直于同一直线的两平面平行,可得,故②正确;对于③,若,,考虑墙角处的三个平面两两垂直,可判断、相交,则不正确故答案为:①②【题目点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系有关命题真假的判断,考查推理能力,属于基础题.15、【解题分析】根据直线与圆相切,圆心到直线距离等于半径,由点到直线的距离公式求出半径,然后可得.【题目详解】圆心到直线的距离,又圆与直线相切,所以,所以圆的方程为.故答案为:16、69【解题分析】由图可知,第行有个数,求出第行的最后一个数,从而可分析计算出,即可得出答案.【题目详解】解:由图可知,第行有个数,第行最后一个数为,因为,所以第行的最后一个数为2016,所以2021位第行,即,又,所以2021位第行第5列,即,所以.故答案为:69.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)存在,理由见解析.【解题分析】(1)根据题意用定义法求解轨迹方程;(2)在第一问的基础上,设出直线l的方程,联立椭圆方程,用韦达定理表达出两根之和,两根之积,求出直线l的垂直平分线,从而得到D点坐标,证明出结论.【小问1详解】由题意得:,所以,,而,故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程,由得:,,所以动点P的轨迹E的方程为;【小问2详解】存,理由如下:显然,直线l的斜率存在,设为,联立椭圆方程得:,设,,则,,要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形,则点D为AB垂直平分线上一点,其中,,则,故AB的中点坐标为,则AB的垂直平分线为:,令得:,且无论为何值,,点D在线段上,满足题意.18、(1)(2)【解题分析】(1)求出圆心和半径,写出圆的方程;(2)求出圆心到直线距离,进而利用垂径定理求出弦长.【小问1详解】由题意可得,圆心为(2,0),半径为2.则圆的方程为;【小问2详解】由(1)可知:圆C半径为,设圆心(2,0)到l的距离为d,则,由垂径定理得:19、(1)(2);【解题分析】(1)设,将点代入得出的标准方程;(2)联立与直线的方程,得出两点的坐标,进而得出,再结合导数得出的最大值及此时的标准方程.【小问1详解】由题意得:在第一象限的公共点为设,则有:的标准方程为:;【小问2详解】设y=kx+m则①,则②,,,又,由①有代入①有,令,则令,在单调递增,在单调递减,此时,则,代入②得,综上:的最大值2,此时.20、(1)图见解析;(2);(3)小时.【解题分析】(1)根据表格数据在坐标系中描出对应点即可.(2)由表格中的数据代入公式算出,再求,即可得到方程;(3)中将自变量为9代入回归方程可得需用时间.【小问1详解】【小问2详解】由表中数据得:,,,,由x与y之间具有线性相关关系,根据公式知:,,∴回归直线方程为:【小问3详解】将代入回归直线方程得,,∴预测加工9个零件需要小时21、(1)证明见解析;(2).【解题分析】(1)证出,,由线面垂直的判定定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可证明.(2)分别以,,为,,轴,建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量,由即可求解.【题目详解】(1)证明:因为,,所以,,因为,所以,所以,即因为底面,所以底面,所以因为,所以平面,又平面,所以平面平面(2)解:如图,分别以,,为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则令,得设平面的法向量为,则令,得,所以,由图知二面角为锐角,所以二面角所成角的余弦值为【题目点拨】思路点睛:解决二面角相关问题通常用向量法,具体步骤为:(1)建坐标系,建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内;(2)根据题意写出点的坐标以及向量的坐标,注意坐标不能出错.(3)利用数量积验证垂直或求平面的法向量.(4)利用法向量求距离、线面角或二面角.22、(1);(2)存在,理由见解析.【解题分析】(1)根据题意,列出的方程组,解得,则椭圆方程
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