北京市第66中学2024年高二上数学期末经典模拟试题含解析

北京市第66中学2024年高二上数学期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的斜率是（）A. B.C. D.2．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.3．已知点，，直线：与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.4．圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B.C. D.5．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）A.3 B.4C.6 D.86．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（）A.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"B.因为，故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”C.因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”D.因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”7．过双曲线右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A.或 B.2或C.或 D.2或8．若变量x，y满足约束条件，则目标函数最大值为（）A.1 B.-5C.-2 D.-79．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直10．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.11．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.12．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1=2，a2=3，则a2022的值为_________.14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______15．如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米16．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且满足（1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，证明数列的前n项和18．（12分）已知等差数列公差不为0，且成等比数列.（1）求数列的通项公式及其前n项和；（2）记，求数列的前n项和.19．（12分）已知函数，其中.（1）当时，求函数的单调性；（2）若对，不等式在上恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点.（1）若直线l的方程为，求线段AB的长；（2）若直线l经过点P(-1，0)，点A关于x轴的对称点为A'，求证：A'、F、B三点共线.21．（12分）已知命题p：直线与双曲线的右支有两个不同的交点，命题q：直线与直线平行.（1）若，判断命题“”的真假；（2）若命题“”为真命题，求实数k的取值范围.22．（10分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】把直线方程化为斜截式即得【题目详解】直线方程的斜截式为，斜率为故选：D2、C【解题分析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【题目详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.3、A【解题分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【题目详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，由可得，作出图象如图所示：，，若直线与线段相交，则或，解得或，所以实数的取值范围是或，故选：A.4、C【解题分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.【题目详解】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.5、D【解题分析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果【题目详解】设，，则的中点到轴的距离为，则故选：D6、A【解题分析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.【题目详解】因，且，由临界值表知，，，所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确.故选：A7、D【解题分析】求得点A，B的坐标，利用转化为坐标比求解.【题目详解】不妨设直线，由题意得，解得，即；由得，即，因为，所以，所以当时，，；当时，，则，故选：D8、A【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【题目详解】解：由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线，由图象可知当直线，过点时取得最大值，由，解得，所以代入目标函数，得，故选：A9、C【解题分析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系【题目详解】设方程的两根为、，则直线、的斜率，故与相交但不垂直故选：C10、B【解题分析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.【题目详解】逻辑联结词“且”，一假则假.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.所以，为假，故A错误；为真，故B正确；为假，故C错误；为假，故D错误.故选：B11、A【解题分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【题目详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A12、C【解题分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【题目详解】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论【题目详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，所以故答案为：14、4##【解题分析】根据正态分布曲线的对称性求解【题目详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.故答案为：0.415、【解题分析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.【题目详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，即故抛物线的方程为，设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，所以此时桥洞中水面的宽度为米故答案为：16、【解题分析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【题目详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】（1）可根据已知的与的递推关系，利用求解出数列的首项，然后当时，递推做差，利用消掉，即可得到与之间的关系，从而完成证明；（2）利用第（1）问求解出的数列的通项公式，带入到中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与比较即可完成证明.【小问1详解】由题意得，当时，，∴，当时，，∴，∵，∴，于是有，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.得证.【小问2详解】由（1）可知，∴，，①，②，②−①得：，∴，∵，故，∴得证.18、（1），（2）【解题分析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出；（2）根据裂项相消法即可求出【小问1详解】由题意：，即，又∵，∴，∴，∴，.【小问2详解】因为，∴.19、（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为，（2）【解题分析】（1）求导可得，分析正负即得解；（2）转化在上恒成立为，分析函数单调性，转化为f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小问1详解】当时，令，解得，，当变化时，，的变化情况如下表：↘极小值↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，【小问2详解】由条件可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是20、（1）8；（2）证明见解析.【解题分析】（1）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段AB的长；（2）设为，联立抛物线由韦达定理可得，，应用两点式判断是否为0即可证结论.【小问1详解】由题设，联立直线与抛物线方程可得，则，，∴，，所以.【小问2详解】由题设，，又直线l经过点P(-1,0)，此时直线斜率必存在且不为0，可设为，联立抛物线得：，则，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三点共线.21、（1）命题“”为真命题（2）【解题分析】（1）先判断命题p，命题q的真假，再利用复合命题的真假判断；（2）根据命题“”真命题，由p为真命题，q为假命题求解.【小问1详解】解：对于命题p，易知直线与双曲线的左、右支各有一个交点，∴命题p为假命题；对于命题q，时，有与，显然两条直线垂直，∴命题q为假命题.∴命题“”为真命题.【小问2详解】∵命题“”为真命题，∴p为真命题，q为假命题.对于命题p，由得，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即此方程有两个不同的正根，∴得.对于命题q，要使命题q为真，则，解得，∴命题q为假命题，即.∴实数k的取值范围为.22、（1）有（2）分布列见解析，【解题分析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱