【2022年三维设计一轮】第十三节导数的应用(二)

第二章函数、导数及其应用第十三节导数的应用(二)抓基础明考向提能力教你一招我来演练

[备考方向要明了]考

什

么1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函

数不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题.怎

么

考1.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，

已成为近几年高考的考点且每年必考！2.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查

函数综合问题，一般难度较大.1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的

；(2)将函数y＝f(x)的各极值与

比

较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值端点处的函数值f(a)、f(b)2．生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤答案：C1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) (

)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是 (

)A．－9

B．－16C．－12 D．－11解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.答案：B解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0，则当x＝9时，y取得最大值．答案：C4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______．答案：05．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是______．实际问题的最值问题有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．[例1]

(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[自主解答]

(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．x(－∞，k－1)(k－1)(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1时，即k≥2，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.本题条件不变，求f(x)在区间[0,1]上的最大值．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)2．[文](2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点

p(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求a，b；(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)f′(x)与f(x)随x变化情况如下：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)2－2由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3因此根据f(x)的图象当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.[冲关锦囊]

函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.[例2]

(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9，显然，当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9，＋∞)时，y′<0，∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是减少的，∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．[冲关锦囊]利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所

求的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答.[精析考题][例3]

(2011·辽宁高考)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)(2)证明：设h(x)＝xlnx－2x＋e(x≥1)，令h′(x)＝lnx－1＝0得x＝e，列表分析函数h(x)的单调性如下：∴h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.x1(1，e)e(e，＋∞)h′