第11章 选考部分 第2节　不等式选讲 第二课时　不等式的证明

第十一章选考部分第二课时不等式的证明考试要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.基本不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_____，当且仅当________时，等号成立.2aba＝ba＝b2.不等式的证明a＞b(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的__________而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.推理论证充分条件常用结论×诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.(

) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.(

) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.(

) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.(

)√××解析(1)作商比较法是商与1的大小比较.(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件.(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用.BA.1 B.2 C.4 D.8AA.x＞y B.x＜y C.x≥y D.x≤y4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为(

)A.a<0，b<0，c<0 B.a≤0，b>0，c>0C.a，b，c不全是正数

D.abc<0CAA.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>a>bA.1 B.2 C.3 D.4C由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一比较法、放缩法证明不等式例1

设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.证明f(x)＝|x－1|－|x＋2|(2)证明|1－4ab|>2|a－b|.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.1.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.(2)作商比较法：作商、变形、

判断、下结论.2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.感悟提升解析M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.训练1

(1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.M≥N∴原不等式成立.考点二综合法证明不等式例2

(2022·河南六市调研)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝2，求证：证明将a＋b＋c＝2平方得a2＋b2＋c2＋2ab＋2cb＋2ac＝4，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，则4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.感悟提升证明由题设可知，a，b，c均不为零，训练2

(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)证明：ab＋bc＋ca<0；证明不妨设max{a，b，c}＝a.因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a>0，b<0，c<0.考点三分析法证明不等式例3

(2021·哈尔滨模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，又ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：感悟提升柯西不等式拓展视野

柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789～1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.＝(a1＋a2)2.当且仅当b1＝b2时，等号成立.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3A级基础巩固2.(1)已知x，y是实数，求证：x2＋y2≥2x＋2y－2；证明

(x2＋y2)－(2x＋2y－2)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＝(x－1)2＋(y－1)2，而(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，∴(x2＋y2)－(2x＋2y－2)≥0，∴x2＋y2≥2x＋2y－2.即证42>40成立，因为42>40显然成立，所以原不等式成立.3.(2022·成都诊断)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－2|.(1)求不等式f(x)<3的解集；解当x≥3时，f(x)＝x－3＋x－2＝2x－5，由f(x)<3，得x<4，综合得3≤x<4.当2<x<3时，f(x)＝3－x＋x－2＝1，由f(x)<3，得1<3恒成立，综合得2<x<3.当x≤2时，f(x)＝3－x＋2－x＝5－2x，由f(x)<3，得x>1，综合得1<x≤2.综上，不等式f(x)<3的解集为(1，4).(2)记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝mabc，证明：ab＋bc＋ac≥9.证明∵f(x)＝|x－3|＋|x－2|≥|(x－3)－(x－2)|＝1，当且仅当2≤x≤3时取“＝”，∴函数f(x)的最小值为1，即m＝1，∴a＋b＋c＝abc.≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”).∴ab＋bc＋ac≥9.解f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|4.(2021·西安模拟)已知函数f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R. (1)解不等式：f(x)≤5；证明由(1)知f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，故x＝2时f(x)取最小，且f(2)＝3，即a2＋b2＝3，则(a2＋2)＋(b2＋1)＝6，5.(2021·贵阳诊断)设函数f(x