第7章 不等式、推理与证明 第4节　推理与证明

第七章不等式、推理与证明第4节推理与证明考试要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.5.了解反证法的思考过程的特点.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的______对象具有某种性质，推出这类事物的______对象都具有这种性质的推理由______到______、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由______到______部分全部部分整体特殊特殊2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.3.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的______条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止充分实质由因导果执果索因框图表示

文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……4.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：假设原命题________

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.不成立原命题成立常用结论1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.×诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(

) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(

) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(

)

解析(1)类比推理的结论不一定正确. (3)应假设“a≤b”. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.√××C2.(易错题)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(

)A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.A3.(易错题)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(

)A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.4.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，且n∈N*)成立.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________________________________.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，且n∈N*)解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，且n∈N*).5.(2022·延边质检)有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则下列说法中正确的是(

)A.甲的卡片上的数字是1和3B.甲的卡片上的数字是2和3C.乙的卡片上的数字是1和3D丙的卡片上的数字是1和3A解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.解析由题意可得第1组整数对的和为3，第2组整数对的和为4，第3组整数对的和为5，第4组整数对的和为6，……，第n组整数对的和为n＋2，且各个数对数字按顺序排列，可得第30组整数对的和为32，则第30组的第16个数对为(17，15).6.(2021·南充联考)将正整数对做如下分组，第1组为{(1，2)，(2，1)}，第2组为{(1，3)，(3，1)}，第3组为{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，第4组为{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}，……，则第30组的第16个数对为________.

(17，15)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一合情推理与演绎推理例1

(2021·安徽六校测试)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是(

)角度1归纳推理DA.(2n＋1)(2n＋2) B.3(2n＋2)C.2n(5n＋1) D.(n＋2)(n＋3)解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).A.714 B.1870 C.4895 D.4896角度2类比推理C解析将an＋1＝an＋2－an两边同乘an＋1，＝1－a2a1＋a10a11＝1－1＋55×89＝4895.例3

(2022·河南名校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟.根据上述调查结果，下列结论错误的是(

)角度3演绎推理DA.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝，B⊆C，D∩C＝，

∁UD＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝.选项A中，B∩D＝，正确；选项B中，B＝C，正确；选项C中，A⊆D，正确.1.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提.感悟提升训练1

(1)中国有句名言“运算帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推，遇零则置空，例如3266用算筹表示就是

，则8771用算筹应表示为(

)C中国古代的算筹数码所以8771用算筹应表示为解析由算筹的定义，得.C解析从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点.

(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)考点二直接证明与间接证明例4

已知a，b，c＞0，a＋b＋c＝1.求证：角度1综合法证明∵a＞0，∴3a＋1＞1，以上三式相加得角度2分析法所以只需证例6

设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；角度3反证法因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾.综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.1.综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法.2.反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论.感悟提升证明∵a＞0，b＞0，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，(2)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.证明假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a＜0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc＞0矛盾，所以a＝0不可能，如果a＜0，那么由abc＞0可得，bc＜0，又因为a＋b＋c＞0，所以b＋c＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这和已知ab＋bc＋ca＞0相矛盾，因此，a＜0也不可能，综上所述，a＞0，同理可证b＞0，c＞0，所以原命题成立.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3A级基础巩固1.“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理(

) A.结论正确 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理形式错误

解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是对数函数.C2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(

) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)

解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).D3.观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则式子35是第(

) A.22项 B.23项 C.24项

D.25项

解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，所以为第24项.CA.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1C即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，C与a＋b＋c＜6矛盾，∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.6.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“

”当作数字“1”，把阴爻“

”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤

0000震

0011坎

0102兑

0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“

”表示的十进制数是(

)A.18 B.17 C.16 D.15B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“

”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.7.数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.

解析由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.32…，证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，上式两边同时取常用对数，得11.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1