机械振动电子课件清华第五章591011节

目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第

5.5节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个n自由度无阻尼系统对初始条件的响应。振型分析能够用来导出无阻尼系统对任意激励的响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应。不计阻尼时，n自由度系统的强迫振动微分方程为Mq(t

+

Kq

(t

=

F

(t(5.9-1)式中M和K为n·n阶的质量矩阵和刚度矩阵，n维向量q(t)和F(t)分别表示广义坐标和广义力。5.9

无阻尼系统对任意激励的响应方程(5.9-1)构成了n个联立的常系数的常微分方程组。虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易的事。用振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组，其变换矩阵就是振型矩阵。为了用振型分析去求解方程(5.9-1)，首先必须求解特征值问题，即Ku

=

Muw

2(5.9-2)式中u为振型矩阵，w

2是固有频率平方的对角矩阵。振型矩阵可以正则化，使其满足uT

Mu

=

I

,uT

Ku

=

w

2(5.9-3)式中h(t)为系统的正则坐标。因为u是一个常数矩阵,所以在着同样的变换。把式(5.9-4)代入方程(5.9-1)，得q(t和)h(t之)

间存引入正则坐标，作如下的线性变换q

(t

=

uh

(t(5.9-4)Muh(t

+

Kuh

(t

=

F

(t(5.9-5)方程(5.9-5)左乘以uT，有uT

Muh(t

+

uT

Kuh

(t

=

uT

F

(t(5.9-6)考虑到方程(5.9-3)，得到h(t

+w

2h

(t

=

N

(t(5.9-7)式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量h(t)相应的n维广义力向量，即正则激励。因为w

2是对角矩阵，故方程(5.9-7)表示一组互不相关的方程，即h

(t

)+w

2h

(t

)=

N

(t

)

(r

=1,2,,

n)r

r

r

r(5.9-8)方程(5.9-8)具有与单自由度系统的运动微分方程相同的结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理。设广义坐标q(t)的初始条件为q

(0

=

q0

,

q

(0

=

q0(5.9-9)由式(5.9-4)的变换h(t)=u-1q(t)，有(0000-1h

(0

=h=

u-1q

,

h0

=h=

u

q(5.9-10)也可以在坐标变换式(5.9-4)两边同时左乘uTM，得0

0

0

0h

=

uT

Mq

,

h

=

uT

Mq

(5.9-11)rrwhsinw

tr

0r r

0cosw

t

+h

(t

)=hr(r

=1,2,,

n) (5.9-12)式中hr

0和

h为r

0

第r阶模态在正则坐标中的初始条件。由初始条件引起方程(5.9-8)的齐次解为任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即tr

rrr0sin

tN

(t)

w

(

-t)dtwh

(t

)=

1(r

=1,2,,

n)(5.9-13)所以第r阶模态的全解是由激励Nr(t)引起的响应和初始条件引起的响应之和因此，将正则坐标的全解(5.9-14)代入方程(5.9-15)就可以得到无阻尼n自由度系统的全部响应。广义坐标q(t)的响应是广义坐标h(t)的响应的叠加，则有nr

=1q

(t

)=

uh

(t

)=

u(r

)h

(t

)r(5.9-15)(5.9-14)tr

rrrrrr0r

0r

0+

1sin

w

dtN

(t)

(t

-t)wsinw

twhcosw

t

+h

(t

)=h例5.9-1

考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用有激励向量F(t)=[0

F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。求在零初始条件下系统的响应。解：系统的运动微分方程为了用振型分析方法求解，首先要解特征值问题，得00m

1

-1

q1

-1

2

2

=

F

u

(t

)

0

q1

2+

k0 2

q

2

q

1k

,mw

=

0.796226u(1)

=

1.0000001.366025

图5.9-12k

,w

=1.538188u(2)

=

1.000000

m

-0.366025

对振型向量进行正则化，而后把振型向量排列成振型矩阵0.888074

-

0.3250571

0.459701m

0.627963[u]=利用振型矩阵作线性变换

0.627963

u

(t

)N

(t

)=

uT

F

(t

)=

F0m

-0.325057

将上式代入方程(5.9-14)，得mt1101101F

1w

2mwF0h

(t

)(1-

cosw

t

)=

0.627963u(t)sinw

(t

-t)dt=

0.627963mt22F002202F

1(1-

cosω

t

)=

-0.325057=

-0.325057w

2sinw

(t

-t)dtu(t)mwh

(t

)那么广义坐标q(t)的响应为t

mkkm

q

(t)=t

-

0.1220091

-

cos1.538188m=

0.4552951

-

cos

0.796226k

1

-

0.888074

·

0.325057F

10.459701

·

0.627963F0

221101(1

-

cosw

t)w

2(1

-

cosw

t)w

2t

mkkm

q

(t)=t

+

0.0446581

-

cos1.538188m=

0.6219451

-

cos

0.796226k

1

+

0.325057F

10.627963F0

22211202(1

-

cosw

t)w

2(1

-

cosw

t)w

2例5.9-2

若图5.9-1所示系统的作用力向量为F(t)=[0

F0sinwt]T，求系统的响应。解：根据前题，利用振型矩阵u进行变换的正则激励向量为

0.627963

sin

wtN

(t

)=

uT

F

(t

)=

F0m

-0.325057

将上式代入(5.9-14)，得sinw

(sinwt01101=

0.627963tt

-t)dtmwF

1h

(t

)21

2111=

0.6279631-w

wwω2F0

w

1

sinwt

-

sinw

t

m最后，得sinwtsinw

(01202=

-0.325057tt

-t)dtmwF

1h

(t

)22

22221

=

-0.3250571-w

www

2sinwt

-

w

sinw

t

mF021

21121

0111

0.455295

wwwsinwt

-

sinw

tm

Fq

(t

)=2

2

2

2222

1-w

w11-w

www-

0.122009

1

sinwt

-

w

sinw

t

可见，由方程(5.9-14)得到的解，包含由外加激励作用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。当存在阻尼时，瞬态响应将很快衰减。若只考虑强迫振动的稳态响应，则只取sinwt项。21

21121

02

1

1

0.621945

wwwsinwt

-

sinw

tm

Fq

(t

)=2

2

22222

1-w

w11-w

www+

0.044658

1

sinwt

-

w

sinw

t

在工程实际中，阻尼总是存在的(如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、结构阻尼、粘性阻尼等)，并对系统的振动产生影响。由于各种阻尼的机理比较复杂，在线性系统振动分析计算中，需将各种阻尼简化为粘性阻尼，其阻尼力的大小与速度的一次方成正比。阻尼系数须由工程上各种理论与经验公式给出，或直接根据实验数据确定。5.10

多自由度系统的阻尼对于一般粘性阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为Mq(t

+

Cq

(t

+

Kq

(t

=

F

(t(5.10-1)式中质量矩阵M、刚度矩阵K和外激励向量F(t)的意义与前面相同，而阻尼矩阵C的形式为C

=[cij

]i,

j

=1,2,,

n)(5.10-2)阻尼矩阵C一般为正定或半正定的对称矩阵。1.比例阻尼：若阻尼矩阵C恰好与质量矩阵M或刚度矩阵K成正比，或者C是M与K的某种线性组合，即C

=

aM

+

bK(5.10-3)式中a和b为正的常数，称这种阻尼为比例阻尼。对这种比例阻尼来说，当广义坐标转换成正则坐标时，在正则坐标中的阻尼矩阵将是一个对角矩阵，即使用无阻尼系统的正则振型矩阵u可以使C对角化，即有2122uTCu

=

uT

(aM

+

bK

u=

auT

Mu

+

buT

Ku=

aI

+

bLa

+

bwa

+

bw

2=

a

+

bwn

(5.10-4)称zr为振型比例阻尼。可以看出，令a=0，而b„0有这意味着在各个振型振动中，阻尼正比于该振型所对应的固有频率。若b=0，而a„0，有a

+

bw

2

=

2z

wr

r

r(5.10-5)令或写成r2w

ra

+

bw

2zr

=(5.10-6)bzr

=

2

wr(5.10-7)ra2wz

=(5.10-8)阻尼反比于该振型这意味着在各个振型振动中，r所对应的固有频率。适当地选取a和b的值，就有可近似地反映实际振动中出现的倾向性。<0z.r2：通常uTCu不是对角阵。是否能利用正则坐标变换进行解耦，关键在于阻尼矩阵是否能对角化。在工程实际的振动系统中，经常遇到的是阻尼比较小的情况，这时，由uTCu的非对角项引起的耦合很少出现大于或者远大于对角项的情况。因此，略去uTCu非对角线元素组成的各阻尼项，即令uTCu的所有非对角线元素的值为零，不会引起很大的误差。对应正则坐标的阻尼矩阵就可以表为对角矩阵，即2

22z

w2z1w1uTCu

=

2z

w

n n

(5.10-9)因此，就可以把振型叠加法有效地推广到有阻尼的多自由度系统的振动问题的分析求解。有阻尼的多自由度系统的正则坐标的运动微分方程为(

((2r

rrht

+

2z

w

ht

+w

h

t=

N

(t(5.10-10)或展开为(5.10-11)(

((2rr

r

rr

rrht

+

2z

w

ht

+w

ht

=

N

(tr

=1,2,,

n实践经验表明，它一般适用于振型阻尼比zr不大于0.2的弱阻尼系统。若系统的阻尼较大，不能用无阻尼系统的振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵C不能对角化，也有一般的理论适用于这种情况，它将包含复特征值和复特征向量，这个问题已超出了本书的范围。(2r

r

r

r

r

r

rth

(t+

2z

w

h

(t

+

w

h

=

N

(tr

=

1,2,,

n根据式(5.10-9)得振型阻尼比zr为ru(r

TCu(r2wzr

=r

=1,2,,

n(5.11-1)5.11

有阻尼系统对任意激励的响应对于有阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为Mq(t

+

Cq

(t

+

Kq

(t

=

F

(t假设有粘性阻尼系统的运动微分方程中的阻尼矩阵C可以实现对角化，利用正则坐标变换解耦后，得到有阻尼系统的运动微分方程为对应第r阶正则坐标hr(t)模态力向量为r

=1,2,,

n(5.11-2)(r

TNr

(t

=

u F

(t激励类型：简谐激励；周期激励；任意激励。1．简谐激励假定一个具有粘性阻尼的多自由度系统，它的各广义坐标上有同频率、同相位的简谐激励作用。令将方程(5.10-11)写程复数形式F

(t

=

F0

sin

wt(5.11-3)(

((2rr

r

rr

r

0reiwtht

+

2z

w

ht

+w

ht

=

Nr

=1,2,,

n(5.11-4)式中(

T0r0rFN

=

u(5.11-5)式中这里Hr(w)，jr和lr分别为相应于正则坐标的放大因子，相位角和频率比。则正则坐标的稳态响应为rrrrNh

(t

)=i(wt-j

)w

20rH

(w

)e(5.11-6)(

)(

)221r2rr

r2z

lH

(w

)

=1-

l+(5.11-7)r

rrr2z

l-1j

=

tg1-

l2(5.11-8)rrwl

=

w(5.11-9)因此系统对简谐激励的稳态响应可以表示为(

)(

)(

)(

)(

)222r0rrrr2r

r

rNHN0rhw

ewwrz

li

wt

-j

t

=

Im

2r=sin

(w

t

-j

)

(5.11-10)1-

l+

2(

)(

)(

)(

)(

)222则原广义坐标的稳态响应为nrrn2rrr

rtu(r

)u(r

)T

Fu

hwz

lr

=1r

=1q

t

=1-

l+

2=

0

sin

(w

t

-jr

)(5.11-11)不难看出，当外激励频率w

与系统第r阶固有频率wr值比较接近时，即lr=w/wr»1，这时第r阶正则坐标hr(t)的稳态强迫振动的振幅值就会很大，这与单自由度系统的共振现象是完全类似的。2．周期激励如果系统各坐标上作用的外激励为具有同一周期的周期力，则可将各外力先按傅里叶级数展开，即¥+02j=1

j

jraN

(t

)=t

b

sin

jwt(a

cos

jw

+(5.11-12)式中系数a0，aj和bj可用第三章3.7节给出的公式计算。把外激励各简谐分量所引起的系统各稳态强迫振动解分别求出，然后将各解叠加起来，就得到系统在这种周期力作用下的响应+¥22jj

rjj=1r

t

)+

b

sin(j1

a0wt

-jrj)[a

cos(jw

-jrj

)]H

(jwwhr

(t

)=(5.11-13)式中(

)(

)222

21rr

rz

jlHrj

(jw

)

=1-

j

l+

2(5.11-14)rjr2zr

jlrj

=

tg-11-

j2l2(5.11-15)rrwl

=

w(5.11-16)对于任意阶正则坐标响应hr(t)(r=1,2,…,n)，是由各个不同频率的激励引起的响应叠加而成。因而，就一般周期性激励函数来说，产生共振的可能性要比简谐函数大的多。所以很难预料各振型中哪一振型将受到激励的强烈影响。但是，当激励函数展成傅里叶级数之后，每一个激励频率jw

可以和每个固有频率wr相比较，从而预先推测出强烈振动所在。(

)(

)(

)(

)(

)

0

原坐标的稳态响应为nrrnrjjrj2rtHa

cos

ju

hjwwr

=1¥r

=1j

=1q

t

=u(r

)

a+wt

-j

2=

(5.11-17)+bj

sin

(jwt

-jrj

)}3．任意激励对于外力是一般任意随时间变化的激励，用振型叠加法也很容易求出各广义坐标的响应。根据第三章3.8节，可得方程(5.10-11)的解为(

)(

)(

)0r

rr

rr

0r

r

r

0rdrdrtrdrdrNhhsin

w

twt

esin

ww-z

w

t-z

w

t

-t+z

w

ht

=

ehr

0

coswdrt

++

1(t

-t)dt式中dr(5.11-18)(5.11-19)(r

Thr

0

=

u

Mq0

,w

=

1-z

2

wr

rh

=

u(r

T

Mqr

0

0(5.11-20)(

)(

)(

)这里q0和q0

为原广义坐标q(t)的初始条件。于是，原广义坐标的响应为nrrtu

hr

=1q

t

=(5.11-22)由此获得原广义坐标的响应，即方程(5.10-1)的解。例5.11-1

求图5.11-1所示的有阻尼弹簧质量系统的强迫振动的稳态响应。解：设q1和q2坐标如图

5.11-1所示。系统的振动微分方程为m

1-1

q12

q

-1-1

2

2

2

F1

=

sin

wtF

0

q1

2+

c-1

q1

2+

k0 1

q

2

q

2

其固有频率为1w

=

k

mw2

=

3k

m图5.11-111

-12m

11

正则振型矩阵为u

=令q(t)

=

uh(t)则正则