初中数学沪科版八年级上册轴对称图形与等腰三角形15．3等腰三角形 优秀

中物理沪科版数学八年级上册第15章轴对称图形与等腰三角形15.3.1等腰三角形的性质及推论叫做有两条边相等的三角形等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，腰腰底边底角底角顶角第三边叫做底边.两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.知识回顾ABC操作ABCD画一个等腰三角形ABC，如下图，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现折痕AD.图中哪些线段或角相等？观察图形：△ADB与△ADC有什么关系？猜想ABCDAB=AC∠B=∠CBD=CD∠BAD=∠CAD∠BDA=∠CDA=90°猜想1：等腰三角形的两底角相等AD为底边上的中线AD为顶角平分线AD为底边上的高猜想2：等腰三角形的顶角平分线、互相重合底边上的中线、底边上的高ABCD猜想与验证已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.

证明：作底边BC上的高AD，交BC于点D则∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ABD与Rt△ACD中∵

AB＝AC（已知）AD＝AD（公共边）∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）猜想1：等腰三角形的两底角相等猜想与验证已知：如图，在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C.ABCD

证明：作底边BC上的中线AD，交BC于点D则BD=CD在△ABD与△ACD中AB=ACBD=CDAD=AD∵（公共边）∴△ABD≌△ACD∴∠B=∠C（SSS）（全等三角形对应角相等）猜想1：等腰三角形的两底角相等猜想与验证已知：如图，在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C.ABCD

证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D则∠BAD=∠CAD在△ABD与△ACD中AB＝AC∠BAD=∠CAD

AD＝AD（公共边）∵∴△ABD≌△ACD∴∠B＝∠C（SAS）（全等三角形对应角相等）猜想1：等腰三角形的两底角相等归纳总结等腰三角形的性质ABC定理1：等腰三角形的两个底角相等。简称“等边对等角”几何语言：∵在△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）ABCD已知：如图，在△ABC中，AB=AC，猜想与验证∠BAD=∠CAD，求证：∠BDA=∠CDA=90°BD=CD，

证明：在△ABD与△ACD中AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD∵（公共边）∴△ABD≌△ACD∴BD=CD，（SAS）∠BDA=∠CDA又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合归纳总结等腰三角形的性质定理2：顶角平分线、互相重合.底边上的中线、底边上的高

等腰三角形的简称“三线合一”ABCD等腰三角形垂直平分底边顶角的平分线即思考：

在等腰三角形中，若出现“三线”中的“一线”，我们应该想到什么？知一得二归纳总结等腰三角形的性质定理2：顶角平分线、互相重合.底边上的中线、底边上的高

等腰三角形的简称“三线合一”ABCD几何语言：①∵在△ABC中，AB＝AC，

等腰三角形垂直平分底边顶角的平分线即②∵在△ABC中，AB＝AC，

③∵在△ABC中，AB＝AC，

∠BAD＝∠CAD∴BD＝CD，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BCAD⊥BCBD＝CD(三线合一)(三线合一)(三线合一)画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？不重合！三线合一“三线合一”应该是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合为什么不一样?

根据等腰三角形的性质可得，猜想一下，等边三角形有什么性质？想一想：我们都知道，等边三角形是特殊的等腰三角形。猜想3：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.已知：AB=AC=BC.

求证：∠A=∠B=∠C=60°.ABC等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.猜想与验证猜想3：根据定理1可得：推论：证明：∵AB=AC∴

∠B=∠C(等边对等角)∵AB=BC∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°(三角形的内角和等于180°)(等边对等角)巩固练习1、若等腰三角形的底角是40°，则其顶角为_______。2、若等腰三角形的一个内角是70°，则另外两个角分别为__________________。“分类讨论”思想的运用100°70°、40°或55°、55°底角内角4、如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于

.3、若等腰三角形的一个内角是100°，则另外两个角分别为__________________。40°、40°20°或50°例1

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120º，点D，E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE的度数。ABCDE解：∵AB＝AC∴∠B＝∠C(已知)(等边对等角)∴∠B＝∠C=×(180°-120°)12=30°∵BD＝AD，CE＝AE(已知)∴∠BAD＝∠B=30°

∠CAE＝∠C=30°(等边对等角)∴∠DAE＝＝120°-30°-30°＝60°∠BAC-∠BAD-∠CAE变式练习

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120º，点D，E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE的度数。ABCDE解：∵∠BAC＝120°∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°(已知)∵BD＝AD，CE＝AE(已知)∴∠BAD＝∠B，

∠CAE＝∠C(等边对等角)∴∠DAE＝＝120°-60°＝60°∠BAC-∠BAD-∠CAE∴∠BAD+∠CAE=60°=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)1、[2013·五河期末]如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求∠CBE的度数．∴∠ABE=∠A解：

∵AB＝AC∴∠ABC=∠C∴

AE＝BE又∵DE是线段AB的垂直平分线(等边对等角)

（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

(等边对等角)=20°∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°巩固练习

∵∠A=20°=×(180°-∠A）∴∠ABC=∠C=80°12ABCD解：∵AB＝AC，∴∠BAD=∠DAC，且∠BAC=120°∵AB＝AC，∴∠B=∠C=60°又∵BC=12∴∠BAD=12∠BAC(三线合一)AD⊥BC2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120º，BC＝12，求∠B，∠C，∠BAD的度数和BD的长。=×(180°-∠A）=30°12

BD=CD∴BC=12BC=63、

如图所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.ABDEC证明：过A点作AF⊥BC，垂足为F.∵AB＝AC，AF⊥BC∴BF＝CFF∵AD＝AE，AF⊥BC∴DF＝EF∴BF－DF＝CF－EF即BD＝CE(三线合一)(三线合一)方法总结：

作等腰三角形的顶角平分线、等腰三角形中常见的添辅助线的方法是什么？底边上的中线等腰三角形中常见的添辅助线的方法是：和底边上的高.

由此连接AC，AD构造等腰三角形．

联想到等腰三角形“三线合一”的性质，4、如图所示，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝MD.分析：由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，ABCDME

在

△ABC和

△AED中∵∠B＝∠EAB＝AE证明：连接AC、AD.BC＝DE∴△ABC≌△AED(SAS)∴AC＝AD又∵

AM⊥CD∴CM＝MD(三线合一)5、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.解：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵∠ABE＝40°∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE∠ACB－∠D＝20°∵BE＝DE

∴∠D＝∠EBC＝20°∴∠CED＝又∵∠ACB是△CED的外角(等边对等角)＝40°6、△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？＝∠ABQ＋∠CBN解：∵△ABC为正三角形∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC

在

△ABM和

△BCN

中∵∠ABC＝∠CAB＝BCBM＝CN∴△AMB≌△BCN(SAS)∴∠BAM＝∠CBN∴∠BQM＝又∵∠BQM是△ABQ的外角∠ABQ＋∠BAM＝∠ABC＝60°.拓展提升

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；

(2)求证：EF＝ED.∴∠C＝∠ABC

解：

(1)

∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴∠BAD＝∠CAD∴∠BAC＝又∵

∠BAD＝25°2∠BAD＝50°

∵AB＝AC=×(180°-∠BAC)12=65°(三线合一)∴∠C

(等边对等角)=×(180°-

50°）12拓展提升

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E