第七章前半部分改完

第七章前半部分改完第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四一.研究数值解法的必要性

1一般方程的根无法用解析表达式给出；2三次、四次方程的求根公式较繁。需要给出求根的近似值的方法。二.方程的根方程f(x)=0的解称为方程f(x)=0的根或称为f(x)的零点。若f(x)＝g(x)，其中m为正整数，g(x)满足，显然为f(x)的零点。这时，称为f(x)的m重零点，或称为f(x)=0的m重根。第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四定理

若f(x)具有m阶连续导数,则是f(x)的m重零点之充要条件为：证明必要性设是f(x)的m重零点，则由

第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四当时当k=m时第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四充分性设使得由Taylor公式得其中0<θ<1，令则有且根据定义，为f(x)的m重零点第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四三.根的搜索求方程根的近似值之前，一般需要首先确定隔（有）根区间[a,b]（在[a,b]上方程仅有一个根）。方法：

通过函数f(x)的增减性、凹凸性、变号特征等，并结合做草图来确定隔（有）根区间[a,b]。第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四§

1二分法（对分法）

基本思想：通过区间逐次分半，将有根区间逐步缩小。设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且在[a,b]内f(x)=0至少有一个实根。记[a,b]为[,]

①计算[a1,b1]中点的函数值若＝0，则若，则令若，则令新的有根区间[,]的长度第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四②再计算[,]中点的函数值若＝0，则若，则令若，则令新的有根区间[,]的长度如此对分下去，则得到一系列有根区间且第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四由得k=1,2,3当对分过程无限继续下去，则有根区间必收缩为一点，即具体做法(1)给定ε每步检查是否成立，若成立，取，否则继续对分。(2)令，先确定对分次数k，再计算(3)误差估计为第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四优点对函数性质要求不高（只要函数连续）；计算简单，且可达到任意精度。缺点计算量大；不能求复根与偶重根。第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四§2迭代法的算法和理论一不动点迭代法对给定的方程f(x)=0，将其变为等价的方程构造k=1,2称为迭代序列，

(x)称为迭代函数。称为迭代格(公)式或迭代过程。当

(x)连续时，若则有即故序列的极限为方程x=

(x)(或f(x)=0)的根第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四若满足，称为

(x)的不动点。即映射关系

将映射到本身。因求f(x))的零点等价求

的不动点。也称k=1,2为不动点迭代法（简单迭代法或逐次逼近法）。迭代序列的收敛性及收敛速度依赖于迭代函数的选取。第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四二不动点迭代法的一般理论

定理（不动点定理）已知x=

(x)，若且①对，有;②存在常数0<L<1,使对，有则①

(x)在[a,b]上有唯一的不动点；②对任意k=0,1,2产生的序列必定收敛到

(x)的不动点；③有误差估第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四证明①作辅助函数ψ(x)=

(x)-x由于

(x)在[a,b]上连续，则ψ(x)∈C[a,b]，且

ψ(a)=

(a)-a≥0ψ(b)=

(b)-b≤0故由连续函数的介值定理，至少存在使ψ()=0。即从而

(x)在[a,b]上存在不动点。又设

(x)有两个不动点。注意且由微分中值定理得即故即(x)在[a,b]上有唯一的不动点。第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四②注意且由微分中值定理其中介于与之间得k=1,2

因0<L<1，即③下面的证明需要用到由

即得第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四由

其中ξ介于与之间。及利用②证明中的不等式，即

得第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Remarks①该定理的结论（证明）与线性方程组求解的简单迭代法之收敛性定理有相似之处。②由

可见：若当则故一般用作为迭代停止的标准③L越小，收敛越快；L≈1，则应该运用加速收敛的方法。④若取定及，由可事先粗略估计迭代次数。⑤上述定理称为全局收敛性定理，但

不易验证，甚至并不成立，故多考察局部收敛性。第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四三局部收敛性及收敛的阶

1局部收敛性

①定义

若存在

(x)的不动点的闭邻域使对迭代产生的迭代序列均收敛于，则称求的迭代法

局部收敛。（在附近具有局部收敛性）②局部收敛性的判别定理

设为

(x)的不动点，在的某个邻域连续，且，则迭代法局部收敛。第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四证明

因连续，所以存在使得对故即对有将前述定理中的[a,b]取为则对迭代法收敛。第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Remarks①实用的标准：若由迭代产生的序列均落在根的邻域中，且在该邻域中，则以该邻域内任何一点为初始值所产生的迭代序列不会收敛于。事实上故②在的邻域中，或不恒成立，则迭代的收敛性不能断定。③对收敛的迭代格式，收敛速度有快慢之分。第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四2收敛速度收敛速度是收敛过程中迭代误差的下降速度。①p阶收敛的定义设收敛于x=

(x)的根。令迭代误差如果存在p≥1及c>0，使得（C称为渐近误差常数）则称该迭代过程为p阶收敛。0<c<1，p=1称为线性收敛；p>1称为超线性收敛；p＝2称为平方收敛（二次收敛）。p越大，收敛越快。第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四②收敛速度的判别定理设迭代格式中迭代函数的高阶导数（p>1）在不动点的邻域里连续，则迭代格式为p阶收敛的充要条件是且有证明

充分性当p＝1，若则由得即迭代格式为线性收敛。第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四对p>1，由，知迭代格式满足在邻域具有局部收敛的条件，故迭代式收敛。由介于之间得故即为p阶收敛。第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四必要性设迭代格式为p阶收敛，则有即由于

在邻域的连续性，知下面根据证明：（反证法）设有正整数，使

将在展开，得即第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四显然当由得故这与迭代格式为p阶收敛盾。当由得故但迭代格式为p阶收敛，应有即与迭代格式为p阶收敛产生矛盾。所以第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四§3迭代加速收敛的方法对于线性收敛的迭代格式，其收敛速度较慢（特别是），可以进行迭代加速。一.用两个迭代值进行组合由,得取和则迭代公式为或当有第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Remark对因收敛，在领域内，故改造后的迭代有及若即这时，当L较大，加速收敛的效果明显。但当

有可能这时迭代不能加速收敛。第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四对于线性迭代，有通常取，即则故当至少为二阶收敛。实际中，常取的近似值作为c。得加速迭代公式即缺点：需估计的近似值。第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四二用三个迭代值的进行组合设方程为的某个预测值为校正两次由于在与之间在与之间在邻域中，消去导数信息，即即因此可以得解下述Aitken方法。第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Aitken加速收敛迭代格式给出校正再校正改进或记上式可写为：称为Steffensen迭代格式。特点：不需计算导数值；三个迭代值进行组合。第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四对于

Steffensen迭代，有：定理

设函数

有不动点，且在邻域内具有二阶连续导数，若且则①

与有相同的不动点；②Steffensen迭代为二阶收敛，且极限为证明

设Steffensen迭代式为则第三十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四①验证与有相同的不动点若则

即反之，若注意则第三十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四即注意的连续性，知故与的根相同。即与有共同的不动点。第三十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四②

用定义证明Steffensen迭代为二阶收敛由有二阶连续导数，且为的不动点，可得关系式：

故⑴

⑵第三十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四由