矩阵与行列式

矩阵与行列式第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一方阵的行列式

行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式值，简称为方阵的行列式．方阵的行列式通常记作．二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、三阶行列式．第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一二阶行列式

对于二阶方阵

规定二阶行列式的值为二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积．图5-1第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一练习5.5

计算下列二阶方阵的行列式解：第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一三阶行列式

对于三阶方阵计算方法可按图5-2记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积．

规定三阶行列式的值为图5-2第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一练习5.5

计算下列三阶方阵的行列式解：

第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一n阶行列式

对于n阶方阵其行列式记作第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一三阶行列式可用二阶行列式表示如下(a)

(a)式给了我们一个启示：n阶行列式

高阶行列式可由低阶行列式来表示．第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一定义5.6对于n阶方阵构成的n阶行列式n阶行列式的定义

(1)n=1时，；

是一个数：第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一(2)n>1时，

按此定义的二阶、三阶行列式，与前面定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的．第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一练习5.7

计算下三角行列式解：第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

同理，上三角行列式的值也等于主对角线上的元素的乘积．第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一行列式的性质

记行列式称为矩阵A的转置行列式．性质5.1行列式与它的转置行列式相等．例如

第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一性质5.2互换行列式的两行（列），行列式变号．例如

以表示行列式的第行，以表示第列．

交换两行记作交换两列记作第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一例如性质5.3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式．例如

第行（列）提出公因子，记作推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一性质5.5

若行列式的某一行（列）的元素都可分成两数之和，则行列式可分成两个对应行列式的和．例如例如性质5.4

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

如用数乘第行加到第行上，记作．例如性质5.6

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变．第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一行列式关于行或列的运算简化行列式的计算把行列式中某些元素化为0行列式化为上（下）三角行列式行列式的值第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一解：练习5.8

计算第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一解：这个行列式的特点是各列4个数之和都是6．今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行：练习5.9

计算第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一行列式按行（列）展开

余子式代数余子式

在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作；

记，称为元素的代数余子式．第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一

例如四阶行列式

中元素的余子式和代数余子式分别为第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期一定理5.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或

利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算．

这个定理叫做行列式按行（列）展开法则．第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期一练习5.10

计算下列行列式解：

第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期一第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期一练习5.11

计算解：第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期一定理5.2

设均为阶方阵，则与的乘积矩阵的行列式等于的行列式与的行列式的乘积．即第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期一习题第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期一习题5.1

计算下列方阵的行列式解：

第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期一习题5.2

计算解：第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期一自测题1.行列式的值为____.A)0B)-1C)1D)52.设D=,则元素λ的代数余子式=____.A)5B)-5C)0D)-14答案为B答案为A第三十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期一3.若，则的值为____.

A)-2B)2C)8D)-84.若四阶行列式D中的第一行的元素依次为1，2，0，1，它们对应的代数余子式依次为2，–1，1，3，则D=_____.