初中数学沪科版八年级下册勾股定理本章复习与测试 公开课比赛一等奖

中物理沪科版数学八年级下册第18章勾股定理单元小结勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理勾股数

和另外两边的关系时，勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形等于斜边的平方.两条直角边的平方和，

如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为

a2+b2=c2.ABCbac已知其中任意两边勾股定理的主要作用是：①直角三角形中，可以求出第三边.如果已知一边的长度，②在直角三角形中，可以运用勾股定理列方程来求另外两边.知识点1勾股定理公式变形c2=a2+b2abc??b2=c2-a2a2=c2-b2灵活运用{(舍负值)(舍负值)(舍负值)?注意：运用勾股定理公式时，要分清斜边、直角边.1、在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.AbacCB对应练习(1)a=6，b=8，求c；(2)a=8，c=17，求b；解：(1)∵∠C=90°，a=6，b=8∴

=10(2)∵

∠C=90°，a=8，c=17∴

=15已知其中任意两边注意：在直角三角形中,可以求出第三边.2、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ABC5米(x+1)米x米解：设旗杆AC的高度为x米，则绳子AB的长为(x+1)

米.根据勾股定理，得x2+52=(x+1)2解得x=12答：旗杆的高度为12米.

如果已知一边的长度，和另外两边的关系时，注意：在直角三角形中，

可以运用勾股定理列方程来求另外两边.

那么这个三角形是直角三角形.

那么这个三角形是直角三角形.两边的平方和勾股定理的逆定理如果三角形等于第三边的平方，a2+b2=c2，即如果三角形的三边长a、b、c满足CBAbca几何语言：∴△ABC是直角三角形，∵

在△ABC中，a2+b2=c2且∠C=90°

只要看两条较小边的平方和方法规律：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，最大边的平方.是否等于知识点21、已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1).求证：△ABC为直角三角形.∴△ABC是直角三角形证明：∵a2+b2＝

(n2-1)2+(2n)2＝n4-2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝(n2+1)2c2(勾股定理的逆定理)＝(n2+1)2∴a2+b2＝c2对应练习ABCD

2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?解：连接AC341213∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4

∴

＝5

5又∵CD＝12，AD＝13∴

AC2+CD2＝AD2∴

△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°

∴S四边形ABCD=S△ABC×3×4+×5×12=36∴

四边形ABCD的面积是36.+S△ACD对应练习

但直角三角形的三边长三个正整数，能够成为直角三角形三条边长度的称为勾股数.注意：(2)勾股数必能成为直角三角形的三条边长，不一定是勾股数.(1)勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数.②两个较小数的平方和等于最大数的平方.

(3)如果a，b，c是一组勾股数，(n是正整数)也是一组勾股数.那么na，nb，nc知识点3你能写出常用的勾股数吗？3，4，5；8，15，17；6，8，10；5，12，13；7，24，25；9，40，41对应练习1、已知直角三角形的两边长分别为6,8，求第三条边的长.解：(1)当直角边为6和8时，第三边的长为(2)当斜边长为8时，一直角边为6时，第三边的长为综上所述：第三条边的长为10或巩固练习解：2、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．ABCD①当△ABC是锐角三角形时，如图∵

在Rt△ABD中，201512AB=20，AD=12∴=16BD=又∵

在Rt△ADC中，AC=15，AD=12∴=9DC=∴BD+DCBC==25∴△ABC的周长为

AB+AC+BC=20+15+25=602、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．ABCD解：②当△ABC是钝角三角形时，如图201512∵

在Rt△ABD中，AB=20，AD=12∴=16BD=又∵

在Rt△ADC中，AC=15，AD=12∴=9DC=∴BD-DCBC==7∴△ABC的周长为

AB+AC+BC=20+15+7=42综上所述：△ABC的周长为

60或423．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，求△ABC的面积.ab解：∵a+b=14∴

(a+b)2=196又∵在Rt△ABC中，c=10∴

a2+b2=∴2ab=∴S△ABC=c2=100(a+b)2-(a2+b2)∴ab=48=196-100=96=244、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.BDAC

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

AB=5cm，BC=3cm∴由勾股定理，得=4(cm)又∵

Rt△ABC的面积∴∴(cm)

BA

变式练习如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为各点(格子线的交点).(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求AB边上的高；C解(1)：BC=AC=由图可得AB=∴

BC2+AC2＝AB2∴

∠C=90°△ABC是直角三角形

理由如下：∴△ABC是直角三角形

BA

变式练习如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为各点(格子线的交点).(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求AB边上的高；C(2)设AB边上的高为h∴∴h=由(1)可得BC=，AC=，AB=又∵Rt△ABC的面积∴AB边上的高为5、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示.证明S1=S2+S3.abc变式一：如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)S1=S2+S3变式二：如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；abc变式三：若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.S1=S2+S3分别以直角三角形三边为边向外作三个正多边形，就等于斜边上的图形的面积.直角边上的图形的面积之和即

S1=S2+S3那么6、

求图中字母所代表的正方形的面积。2480ABB400625∟

81144A22522556801

变式练习如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a、c的面积分别为5和11，求b的面积acbADEFGBCIHJl23变式练习在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=

。S1S2S3S41234

另两边可通过重合图形找到数量关系，

这个直角三角形一般已知一边，

其解题步骤为：

要紧扣折叠前后的对应边，对应角相等，7、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？折叠问题

DBACEx10-x610-x关于折叠问题，①利用重合的图形传递数据②选择直角三角形，便能利用勾股定理列方程求解.8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在AC上，与点E重合，求DE的长度.BDACE折叠问题xx8-x4x9、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕EF的长.ABCDFEx1010864(8－x)折叠问题

10.如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m.A'O(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？ABB'解：(2)根据题意，得A'O==15(米)由勾股定理，得∴

BB'=AO-4=24-4=20(米)OB'-OB=15-7=8(米)

则梯子的底端水平滑动距离也为

xm.10.如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m.A'O(3)当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动距离相等时，这时梯子的顶端距离地面有多高？ABB'解：(3)设梯子的顶端下滑的距离为

xm，x(24-x)2+(7+x)2=252

根据题意，得x解得x1=17，x2=0(舍去)∴梯子的顶端下滑的距离为17米∴

梯子顶端距离地面的高度为

24-17=7(米)平面内的最短路线问题11、高速公路的同一侧有A,B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2km，BB'=4km，A'B'=8km.要在高速公路上A',B'之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离