2021年湖南省岳阳市县甘田中学高三数学文联考试题含解析

2021年湖南省岳阳市县甘田中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线的渐近线于圆相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（

）A.3 B.4C.6 D.8参考答案：D【分析】的渐近线与圆相切等价于圆心到渐近线的距离等于半径，推出的方程，结合点在双曲线上，求解，然后求解双曲线的虚轴长．【详解】双曲线的一条渐近线．圆的圆心，半径．渐近线与圆相切，，即，①该双曲线过点，，②解①②可得，，双曲线，该双曲线的虚轴长为8．故选：．【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．2.为了得到函数的图像，只需将函数的图像A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位参考答案：A因为，所以为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，选B.3.若的大小关系（

）A.

B. C. D.与x的取值有关参考答案：D略4.已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和诱导公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．则tan（a2+a12）==﹣．故选B．【点评】本题考查了等差数列的性质和诱导公式，属于基础题．5.若向量=（2,3），=（4,7），则=A．（-2,-4）

B．(3,4)

C．(6,10)

D．(-6,-10)参考答案：A

．故选A．6.若,则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的

(

).充分非必要条件.

.必要非充分条件..充要条件.

.既非充分又非必要条件.参考答案：B7.已知函数满足，当，，若在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.设为定义在Ｒ上的奇函数，且满足，当时，，则（）A．－２

B．２C．－９８D．９８参考答案：A略9.函数的最大值与最小值之和为（

）

A.

B.0

C.－1

D.参考答案：A略10.复数z满足，则A.2i

B.2

C.i

D.1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为

．参考答案：﹣1考点：简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求．解答： 解：由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则它们的直角坐标方程分别为x2+（y﹣1）2=1，x+y+1=0．曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d==，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第_______象限．参考答案：三【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应点的坐标即可．【详解】复数＝，所以在复平面内对应的点的坐标为.在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题.13.已知，则的最大值为

.参考答案：14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面交棱AA1于点F．给出下列命题：①存在点E，使得//平面；②对于任意的点E，平面平面；③存在点E，使得平面；④对于任意的点E，四棱锥的体积均不变.其中正确命题的序号是______．.参考答案：①②④15.已知是函数图像上的点，是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴、轴分别交于点，另一条直线与轴、轴分别交于点。则（1）为坐标原点，三角形的面积为

（2）四边形面积的最小值为

参考答案：（1）12

（2）4816.

外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则的值是______.参考答案：317.如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则的长为__________

参考答案：本题考查了平面几何知识中的圆的切线、割线的性质，考查了相交弦定理、切割线定理.，难度中等。

设，则,,由相交弦定理得,即，则，得，,,由切割线定理得,解得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求三棱锥C－BEP的体积．参考答案：（1）证明：取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，所以，GF∥CD且又E为AB的中点，ABCD是正方形，所以，AE∥CD且故AE∥GF且所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而平面，平面，所以，AF∥平面.（2）因为PA⊥底面ABCD，所以，PA是三棱锥P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，∠PDA=450，所以，AD=2，正方形ABCD中，E为AB的中点，所以，EB=1，故的面积为1，故.故三棱锥C－BEP的体积为.19.设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．参考答案：（1）由题设知，，

由，得．……3分解得．所以椭圆的方程为．…………4分（2）方法1：设圆的圆心为，则

………………6分

……Ks5u……………7分．………………8分从而求的最大值转化为求的最大值．………………9分因为是椭圆上的任意一点，设，…………………10分所以，即．…………11分因为点，所以．……………12分因为，所以当时，取得最大值12．……………13分所以的最大值为11．………………………14分方法2：设点，因为的中点坐标为，所以

………………6分所以……………7分

．…………………9分因为点在圆上，所以，即．………10分因为点在椭圆上，所以，即．…………………11分所以．……………12分因为，所以当时，．………………14分

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………6分由，解得．………7分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．…………8分所以，

……………………9分所以．

……………………10分因为，所以当时，取得最大值11．…………11分②若直线的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或．不妨设，，．…………………Ks5u…12分因为是椭圆上的任一点，设点，所以，即．所以，．所以．因为，所以当时，取得最大值11．…………13分综上可知，的最大值为11．………………14分20.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．参考答案：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.21.在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，，求及的面积。

参考答案：22.（本小题满分12分）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学人数

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列和期望.]参考答案：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为.

∴应从四所中学抽取的学生人数分别为.

……