2022-2023学年天津杨柳青第二中学高一数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年天津杨柳青第二中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，a1＝3，a3＝2，则此数列的前10项之和S10等于（

）A．55.5

B．7.5

C．75

D．－15参考答案：B2.为了得到函数y＝sin(3x＋)的图像，只需把函数y＝sin3x的图像

()A.向左平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向右平移参考答案：B略3.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A.在时刻，甲车在乙车前面

B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面参考答案：解析:由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.4.下列函数中，不满足的函数是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.若三个数成等差数列，则直线必经过定点()A．(1，－2)

B．(1,2)

C．(－1,2)

D．(－1，－2)

参考答案：A略6.

（

）

A

B

C

-

D-

参考答案：A略7.等比数列的各项均为正数，且，则++…+=()A．12

B．10

C．8

D．参考答案：B8.点P在直线上，直线在平面内可记为(

)A．P∈，B．P，

C．P，∈

D．P∈，∈参考答案：A9.若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：因为

解得10.设集合S={}，在S上定义运算为：=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i、j=0,1,2,3.满足关系式的x(x∈S)的个数为（

）A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知圆，六边形ABCDEF为圆M的内接正六边形，点P为边AB的中点，当六边形ABCDEF绕圆心M转动时，的取值范围是________．参考答案：【分析】先求出，再化简得即得的取值范围.【详解】由题得OM=,由题得由题得..所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.在数列{an}中，，且对于任意自然数n，都有，则______．参考答案：7【分析】利用递推关系由累加可求.【详解】根据题意，数列{}中，，则，则；故答案为：713.数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：不是函数的最小值.老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确.那么，你认为_________说的是错误的.参考答案：乙14.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则______．参考答案：【分析】根据等差数列的性质可得，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，由等差数列的性质，可得，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质与前项和公式，即可得出结果.15.若log2（3a+4b）=log2a+log2b，则a+b的最小值是．参考答案：7+4【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用已知条件求出得到+=1，然后根据基本不等式即可求解表达式的最小值．【解答】解：∵log2（3a+4b）=log2a+log2b=log2ab，∴a＞0，b＞0，3a+4b=ab，∴+=1，∴a+b=（a+b）（+）=4+3++≥7+4，当且仅当a=4+2，b=2+3时取等号，故答案为：16.给出下列命题：

①函数都是周期函数；②函数在区间上递增；③函数是奇函数；④函数，的图像与直线围成的图形面积等于；⑤函数是偶函数，且图像关于直线对称，则2为的一个周期.

其中正确的命题是__________.（把正确命题的序号都填上）.

参考答案：①③④⑤略17.等比数列的公比，前项的和为．令，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知不等式.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．参考答案：（1）(1,4)；（2）(－∞,－5)∪(3,+∞)【分析】（1）不等式为，解得（2）不等式的解集非空，则，求解即可【详解】（1）当时，不等式，解得，故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则，即，解得，或，故实数的取值范围是．【点睛】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想。19.（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在R上是奇函数，且f（﹣1）=﹣2，f（2）=10．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）说明f（x）在R上的单调性（不需要证明）；（Ⅲ）若关于x的不等式f（x2﹣9）+f（kx+3k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求实数k是的取值范围．参考答案：考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： （I）由f（x）在R上是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），代入整理即可求解b，然后在利用f（﹣1）=﹣2，f（2）=10可求a，c（II）结合函数的单调性的定义即可判断（III）由f（x2﹣9）+f（kx+3k）＜0在且f（x）在R上是奇函数可得f（x2﹣9）＜f（﹣kx﹣3k），结合f（x）在（0，1）上单调性可得x2﹣9＜﹣kx﹣3k即x2+kx+3k﹣9＜0在x∈（0，1）上恒成立，法一：令g（x）=x2+kx+3k﹣9，x∈（0，1），结合二次函数的实根分布即可求解法二：由x2+kx+3k﹣9＜0在x∈（0，1）上恒成立，分离可得k=3﹣x在x∈（0，1）上恒成立，可求解答： （I）∵f（x）=ax3+bx2+cx在R上是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣ax3+bx2﹣cx=﹣ax3﹣bx2﹣cx∴2bx=0即b=0∵f（﹣1）=﹣2，f（2）=10．∴解可得，a=c=1∴f（x）=x3+x（II）函数f（x）在R上单调递增（III）∵f（x2﹣9）+f（kx+3k）＜0在且f（x）在R上是奇函数∴f（x2﹣9）＜﹣f（kx+3k）=f（﹣kx﹣3k）在x∈（0，1）上恒成立由（II）知函数f（x）在（0，1）上单调递增∴x2﹣9＜﹣kx﹣3k即x2+kx+3k﹣9＜0在x∈（0，1）上恒成立法一：令g（x）=x2+kx+3k﹣9，x∈（0，1）∴解得k≤2k的取值范围为空{k|k≤2}法二：∵x2+kx+3k﹣9＜0在x∈（0，1）上恒成立∴（x+3）k＜9﹣x2∵x∈（0，1）∴3﹣x＞0∴k=3﹣x在x∈（0，1）上恒成立令h（x）=3﹣x，x∈（0，1）则2＜h（x）＜3∴k≤2k的取值范围为空{k|k≤2}点评： 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数的基本知识并能灵活的应用．20.下图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为，，，的中点，O1，O′1，O2，O′2分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．(1)证明：O′1，A′，O2，B四点共面；(2)设G为AA′中点，延长A′O′1到H′，使得O′1H′＝A′O′1.证明：BO′2⊥平面H′B′C.参考答案：(1)由题意知A′，O′1，B′，O′2四点共面．∵O′1，O′2分别为C′D′，D′E′的中点，A′，B′分别为，的中点，∴O′1A′∥B′O′2.又O2，B分别为DE，的中点，∴BO2∥B′O′2，∴O′1A∥BO2，∴O′1，A′，O2，B四点共面．(2)方法①：如图(1)所示，连接AO1，并延长至H，使得O1H＝AO1，连接H′H，HB，BO2，O2O′2，O1O′1，则得长方体HBO2O1－H′B′O′2O′1.则HO′1∥BO′2，H′B′⊥BO′2.取A′G的中点F，连接O′1F，HF，则O′1F綊H′G.由题意，在Rt△H′A′G中，H′A′＝2，A′G＝1，∴H′G＝＝＝，∴O′1F＝．在Rt△HAF中，HA＝2，AF＝，∴HF＝HA2＋AF2＝＝．在Rt△HH′O′1中，HH′＝2，H′O′1＝1，∴HO′1＝HH′2＋H′O′＝＝．∴O′1F2＋HO′＝HF2.∴HO′1⊥O′1F.又O′1F∥H′G，∴HO′1⊥H′G.∴BO′2⊥H′G.又H′B′⊥BO′2，H′B′∩H′G＝H′.∴BO′2⊥平面H′B′G.

方法2(向量法)建系O1－xyz如图(2)所示，直圆柱高为2，底面半径为1，则O1(0,0,0)，B(1,2,0)，O′2(0,2,2)，B′(1,2,2)，G(－1,0,1)，H′(1,0,2)，∴＝(－1,0,2)，＝(2,2,1)，＝(0，－2,0)．∴·＝－2＋0＋2＝0，·＝0＋0＋0＝0，∴BO2⊥GB且BO2⊥H′B.又GB∩H′B＝B，∴BO2⊥面H′B′G.21.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2），求的最大值；参考答案：22.已知定义域为R的函数在[1,2]上有最大值1，设．（1）求m的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个不同的零点，求实数k的取值范围（e为自然对数的底数）．参考答案：（1）0；（2）；（3）【分析】（1）结合二次函数的性质可判断g（x）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用换元q＝|ex﹣1|，结合二次函数的实根分布即可求解．