广东省广州市番禺区禺山高级中学2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

广东省广州市番禺区禺山高级中学2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明“”时，由假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A. B.C. D.2．已知，向量，，若，则x的值为（）A.-1 B.1C.-2 D.23．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（）A. B.C. D.4．已知直线，，若，则实数等于（）A.0 B.1C. D.1或5．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.6．已知函数，则（）A.3 B.C. D.7．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．根据安排，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是两个“相似椭圆”（离心率相同的两个椭圆我们称为“相似椭圆”）．如图，由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（）A. B.C. D.9．已知等边三角形的一个顶点在椭圆E上，另两个顶点位于E的两个焦点处，则E的离心率为（）A. B.C. D.10．直线的倾斜角为（）A.-30° B.60°C.150° D.120°11．若，则的虚部为（）A. B.C. D.12．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若与直线垂直，那么__________14．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.15．已知向量，，若，则______16．将一枚质地均匀的骰子，先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）已知集合，.（1）当时，求AB；（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．（12分）已知等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记的前n项和为，证明：，，成等差数列20．（12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点（1）求圆A的方程（2）当时，求直线l方程21．（12分）已知函数，是的一个极值点.（1）求b的值；（2）当时，求函数的最大值.22．（10分）已知动圆过点，且与直线：相切（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】当成立，写出左侧的表达式，当时，写出对应的关系式，观察计算即可【题目详解】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C2、D【解题分析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【题目详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D3、A【解题分析】根据给定条件求出平面的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答.【题目详解】设平面的法向量为，则，令，得，令平面与平面夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为.故选：A4、C【解题分析】由题意可得，则由得，从而可求出的值【题目详解】由题意可得，因为，，，所以，解得，故选：C5、C【解题分析】根据导数的几何意义可得答案.【题目详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C6、B【解题分析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值【题目详解】由题意，所以故选：B7、C【解题分析】设内层椭圆的方程为，可得外层椭圆的方程为，设切线的方程为，联立方程组，根据，得到，同理得到，结合题意求得，进而求得离心率.【题目详解】设内层椭圆方程为，因为内外层的椭圆的离心率相同，可设外层椭圆的方程为，设切线的方程为，联立方程组，整理得，由，整理得，设切线的方程为，同理可得，因为两切线斜率之积等于，可得，可得，所以离心率为.故选：C.8、C【解题分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【题目详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C9、B【解题分析】根据已知条件求得的关系式，从而求得椭圆的离心率.【题目详解】依题意可知，所以.故选：B10、C【解题分析】根据直线斜率即可得倾斜角.【题目详解】设直线的倾斜角为由已知得，所以直线的斜率，由于，故选：C.11、A【解题分析】根据复数的运算化简，由复数概念即可求解.【题目详解】因为，所以的虚部为，故选：A12、B【解题分析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【题目详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由两条直线垂直知，得14、【解题分析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【题目详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：15、【解题分析】根据向量平行求得，由此求得.【题目详解】由于，所以.故答案为：16、【解题分析】将向上的点数记作，先计算出所有的基本事件数，并列举出事件“出现向上的点数之和为”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【题目详解】将骰子先后抛掷次，出现向上的点数记作，则基本事件数为，向上的点数之和为这一事件记为，则事件所包含的基本事件有：、、，共个基本事件，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用古典概型的概率公式计算概率，解题时一般要列举出相应的基本事件，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），;（2）.【解题分析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；（2）求出，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：，.当时，，适合..设等比数列公比为，，，即，或（舍去），.【小问2详解】解：，，，上述两式相减，得，所以所以.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围【题目详解】（1）由，解得，可得：，可得：，化为：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.【题目点拨】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）设等比数列的公比为，根据，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得，得到，，化简得到，即可求解【小问1详解】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式【小问2详解】解：由（1）可得，，，所以，所以，即，，成等差数列20、（1）；（2）或.【解题分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程【题目详解】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，所以，所以圆A的方程为（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知，设动直线l方程为：或，显然符合题意由到直线l距离为1知得所以或为所求直线方程【题目点拨】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21、（1）；（2）【解题分析】（1）先求出导函数，再根据x=2是的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；（2）根据（1）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值.【小问1详解】由题设，.∵x=2是的一个极值点，∴x=2是的一个根，代入解得：.经检验，满足题意.【小问2详解】由（1）知：，则.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+递减递增∵当x∈(1,2)时，即在(1,2)上单调递减；当x∈(2,3)时，即在(2,3)上单调递增.∴当x∈[1,3]时，函数的最大值为与中的较大者.∴函数的最大值为.22、（1）；（2）.【解题分析】（1）由题意分析圆心符合