辽宁省沈阳市奉天学校2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市奉天学校2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由求和公式可得首项和公差的方程组，解方程组得到首项和公差后代入求和公式可得． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 则S4=4a1+d=﹣2，S5=5a1+d=0， 联立解得， ∴S6=6a1+d=3 故选：D 【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题． 2.设函数的最小正周期为,最大值为,则（

）A．,

B.,

C．,

D．,参考答案：A3.下列四组函数中，表示同一函数的是(

)A．y=与y=x B．y=与y=C．y=x0与y=1 D．y=x与y=2lg参考答案：B【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数y==|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B，函数y===（x＞0），与函数y==（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数y=x0=1（x≠0），与函数y=1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于D，函数y=x（x∈R），与函数y=2lg=lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．4.已知是定义在上的减函数，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．参考答案：A为定义在上的减函数；∴；解得；∴的取值范围为．故选：．5.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则△ABC的形状是（

）A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形参考答案：A【分析】由正弦定理和，可得，在利用三角恒等变换的公式，化简得，即可求解.【详解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，则，即，即，解得，所以为等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下列关系式中正确的是 ()A．sin11°<cos10°<sin168°

B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°

D．sin168°<cos10°<sin11°参考答案：C略7.若a＞b＞0，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a2＞b2 D．参考答案：B【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质可得，当a＞b＞0时，a+c＞b+c，a2＞b2，；c＞0时，ac＞bc；c=0时，ac=bc；c＜0时，ac＜bc，由此可得结论．【解答】解：利用不等式的基本性质可得：∵a＞b＞0，∴a+c＞b+c，a2＞b2，，∴A，C，D正确∵a＞b＞0，∴c＞0时，ac＞bc；c=0时，ac=bc；c＜0时，ac＜bc，故B错误故选B．8.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是

（

）A

B

C

D参考答案：C9.数列{an}满足，则an=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2an﹣1=，∴3n﹣1an=，可得an=．n=1时，a1=，上式也成立．则an=．故选：B．10.（4分）函数f（x）=2x﹣3零点所在的一个区间是（） A． （﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2） D． （2，3）参考答案：C考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题．分析： 将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为所求的答案．解答： ∵f（﹣1）=﹣3＜0f（0）=1﹣3=﹣2＜0f（1）=2﹣3=﹣1＜0，f（2）=4﹣3=1＞0∴f（1）f（2）＜0，∴函数的零点在（1，2）区间上，故选C．点评： 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若则y=的最小值为

▲

.参考答案：12.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为__________cm3。

参考答案：略13.已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若，则=

．参考答案：211∵，..14.已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为

.参考答案：略15.已知sin(+)=，则cos(+)的值为

。参考答案：16.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的全面积为且，则三棱锥的体积为

▲

．参考答案：

17.(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值为__________.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多面体中，面，，且，为中点。(1）求证：平面；(2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。参考答案：（1）找BC中点G点，连接AG，FG∴F，G分别为DC，BC中点∴FG∴四边形EFGA为平行四边形

∴∵AE

∴又∵∴平面ABC平面BCD又∵G为BC中点且AC=AB=BC

∴AGBC∴AG平面BCD

∴EF平面BCD(2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系则

设平面CEF的法向量为，由

得

平面ABC的法向量为则∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为

19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．【点评】本题考查了线线、线面平行和垂直的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；垂直关系的转化是由线面垂直的定义和判定定理实现．20.（12分）（2010?台州一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（?+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x?[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．参考答案：考点：平面向量的综合题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：计算题．分析：（1）向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），代入f（x）=m（?+sin2x），利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出它的周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可．（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，从而可求g（x）的解析式，利用函数g（x）的最值结合图象即可得出答案．解答：解：（1）==…（2分）由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）又，（k∈Z）解得，（k∈Z）..（5分）所以函数的递减区间是：，（k∈Z）（6分）（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，所以：g（x）=2msinx．…（7分）由

0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m

…（8分）所以当0＜m＜时，y=g（x）与y=1无交点当m=时，y=g（x）与y=1有唯一公共点当m＞时，y=g（x）与y=1有两个公共点

…（12分）点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的周期以及单调增区间的求法，三角函数的图象的平移，是常考题型．21.为了解某校2011级学生数学学习状况，现从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.参考答案：解：（1）分数在内的频率为：，故，……2分如图所示：

…………4分

（2）由题意，分数段的人数为：人；分数段的人数为：人；

……………6分∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取2人，分别记为；分数段抽取4人，分别记为；设从样本中任取人，至多有1人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、共15种，…8分则事件包含的基本事件有：、、、、、、、、共9种，………………………10分∴．…………12分略22.已知函数是定义在上的偶函数，且时，.（I）求的值；（II）求函数的值域；（III）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围.参考答案：（I）函数是定义在上的偶函数

...........1分又时，

...........2分

...........3分（II）由函数是定义在上的偶函数，可得函数的值域即为时，的取值范围.

..........5分当时，

...........7分

故函数的值域=

...........8分（III）

定义域

...........9分方法一：由得，

即

...........11分