2021年浙江省台州市宏大中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年浙江省台州市宏大中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案为：C．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．2.设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为(

) A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可．解答： 解：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得m=2．故选：A．点评：本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．3.现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是

（

）A．20

B．40

C．60

D．80参考答案：B4.（5分）（2015秋?太原期末）若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”．【解答】解：∵m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，∴“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”，∴“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5.已知函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（）A．①③B．①④C．②③D．②④参考答案：B考点：数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题；探究型；数形结合；数形结合法．分析：由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．解答：解：由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．点评：此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．6.设，定义符号函数，则函数的图像大致是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C7.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，∴平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．故选：C．8.已知集合,,若,则实数=(

)A.3

B.2

C.2或3

D.0或2或3参考答案：D9.若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则?的值为（）A．﹣ B．﹣2 C． D．2参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），

∴=（﹣1，），=（，﹣）则?=﹣=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A． B． C．3 D．2参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，则=．故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果实数x，y满足条则z=的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，z==2﹣，设k=，则z=1﹣k，k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，要求z=1﹣k的最大值，则求k的最小值，由图象知OC的斜率最小，由得，即C（，1），则k==，则z=2﹣=，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用数形结合是解决本题的关键．12.已知命题：是奇函数；。下列函数：①，②，③中能使都成立的是

.（写出符合要求的所有函数的序号）.参考答案：①②若，所以为奇函数。成立，所以①满足条件。若，则为奇函数。，所以②成立。若，则不是奇函数，所以③不满足条件，所以使都成立的是①②。13.在△ABC中，已知AC=4，C=，B∈（，），点D在边BC上，且AD=BD=3，则?=

．参考答案：6【分析】根据条件画出图形，容易判断出∠BDA为锐角，而在△ACD中，根据正弦定理可求出sin∠ADC的值，进而得出cos∠BDA的值，而，，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，AD=BD；∴∠DAB=∠B；∵；∴；在△ACD中，AC=4，AD=3，C=，由正弦定理得：；即；∴；∴；∴===6．故答案为：6．

14.若，则的值为____________参考答案：试题分析：由诱导公式，得，，故答案为考点：1、诱导公式的应用；2、倍角公式的应用．15.已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率___________．参考答案：根据题意，设，，则，∴．∵，，∴两式相减可得．∵，∴，故．16.已知是正整数，若，则的取值范围是

．参考答案：且（“”或“”4分）略17.已知向量，，且，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设的内角的对边长分别为,设为的面积,满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式和余弦定理得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,△ABC的内角和,又得．

…6分由正弦定理，知，

所以当，即时，取得最大值

……12分19.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：P（K2≥k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828K2=，（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共?+=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：

生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以可得k2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．20.（13分）设函数.（Ⅰ）若时，取得极值，求的值；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（Ⅲ）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）.参考答案：解析：，（Ⅰ）因为时，取得极值，所以，

即

故．

………………3分（Ⅱ）的定义域为.方程的判别式,(1)当,即时，,在内恒成立,此时为增函数.(2)当,即或时，要使在定义域内为增函数,只需在内有即可,设，由

得,

所以.由(1)(2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.………………9分（Ⅲ）证明：，当=－1时，，其定义域是，令，得.则在处取得极大值，也是最大值.