2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第36讲怎样解立体几何中的最值问题含解析

Page1第36讲怎样解立体几何中的最值问题一、知识与方法解答立体几何中的有关最值或范围问题,通常用函数思想方法.通过设出适当的变量、建立函数关系,转化为求函数的最值(或值域)的问题,解题时要弄清哪些是定值,哪些是变量,变量的取值范围是什么,如何根据题意建立函数关系,如何求函数的最值等.要重视立体几何中通过构造函数模型或几何模型解题的训练,重视空间想象能力以及计算能力的培养.二、典型例题【例1】如图,在正三棱柱中,各棱的长均为2,是的中点,是的中点,点在棱柱表面上运动到点,应如何运动,才能使点运动的路程最短,并求出最短路程;在正三棱锥中,,过作平面分别交平面于.当截面的周长最小时,_______,到截面的距离为_______.【分析】求解点在几何体表面上运动路程最短的问题,通常将几何体表面展开成平面图形,化归为平面图形内两点间的距离,有时侯对如何将几何体展开成平面图形可以有不同的展开角度,所以还要分类讨论获得正确的结果.第问又把问题引向深入,解决面积和点到截面的距离问题.【解析】(1)观察图,从点运动到点的路程最短可能情况有两种:(1)经面和面到,其最短路程是侧面展开图(图)中的线段的长,由已知条件可求得.(2)经面和下底面到点,其最短路程如展开图(图3-108)中的线段的长...即点在棱柱表面上运动到点的最短路程是.将三棱锥的侧棱剪开,当的周长最小时,其展开图如图所示,的周长即是展开图中线段的长,易证.又,故..在中,上的高.于是从向底面作高,则.于是.又得，则,解得.【例2】(1)如图所示,在圆锥中,母线长为2,底面半径为.一只虫子从底面圆周上一点出发沿圆锥表面爬行一周后又回到点,则这只虫子爬行的最短路程是多少?如图所示.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为.求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.【分析】空间图形→平面图形，第（1)问，将圆锥侧面沿母线SA展开得到扇形，弧所对的弦长即为所求的最短距离．第（2)问，展开圆台侧面，A,C两点所成线段长即为所求的最短距离。【解析】(1)如图3-112所示.将圆锥侧面沿母线展开得到扇形,联结,则线段即为虫子所爬最短路程,设,则,为等腰直角三角形.故虫子爬行的最短路程为.沿母线剪开将圆台侧面展开,如图所示,问题即转化为求展开图中线段的长.侧面展开图圆心角,且分别为所在弧的中点,∴在等腰中，，得是等边三角形.，而，为中点，.即两点在圆台侧面上的最短距离为.【例3】求半径为的球内接正三棱锥体积的最大值.【分析】球的内接正三棱锥问题求解的关键是吕求球的半径与三棱锥的底面边长与高之间的关系,而这一关系可以在球与正三棱锥的轴截面图中反映出来.根据球与正三棱锥的对称性,球心一定在正三锥的高上,由轴截面图中正三棱锥底面边长或高与球半径之间的关系,建立关于正三棱锥体积关系式,利用导数求正三棱锥体积的最大值.【解法一】如图所示,设正三棱锥的底面边长为,由正三棱锥的性质知.设正三棱锥的高位，球半径为，则在中，因此由，得.故当时，正三棱锥体积的最大值.【解法二】本题在求出后,还可以用基本不等式求最大值: 当且仅当，即时等号成立.故当时，正三棱锥体积的最大值.三、易错警示【例】有一棱长为的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气尽可能地大(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为________.【错解】球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为,球的表面积为.【评析及正解】上述解法没有弄清正方体骨架是一个空架子,球最大时与正方体的各棱相切,而不是与面相切,所以直径应为,故正确答案应为

四、难题攻略【例】正四棱锥侧棱长为,相邻侧面的二面角多大时,其体积最大.【分析】若设相邻侧面的二面角为α,则可用割补法将正四棱锥的体积表示为a的函数，运用函数与方程的思想方法求体积的最大值并确定此时相邻侧面二面角的大小。本题的关键之处是建立正四棱锥S-ABCD的体积与二面角a之间的关系并转化为如何求此函数的最大值。【解析】如图所示,作,联结,易证,可得,则即为相邻二面角的平面角,记为而三棱锥是正四棱锥的一半,故问题转化为当三棱锥的体积最大时求的值.平面.借用平面把三棱锥分割成两个都以为底面的小三棱锥和,由于每一个小三棱锥的体积都是的函数.则分割后的两个小三棱锥体积之和等于三棱锥体积这个关系,便可建立起与的关系,即其中可用与表示,即即，当且仅当,即时等号成立.故当相邻两侧面的二面角为时棱锥体积最大.五、强化训练1.如图所示,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；(2)点是线段上的动点,当直线与所成角最小时,求线段的长.【解析】以由为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，则各点的坐标为.（1）由题意知平面，∴是平面的一个法向量，.∵.设平面的法向