高中数学第四章导数应用4.2.2最大值最小值问题笔记北师大版选修

导数在实际问题中的应用4.2.2最大值、最小值问题最小的就是函数在上的最小值。由极值点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，

函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。一、函数的最大值与最小值的定义：

函数y=f（x）在[a,b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（x0

）。同理，如果所有点的函数值都不小于f（x0

），即x[a，b],都有f（x）≥

f（x0

），则称x0是最小值点。结论：即：x[a,b],都有f（x）≤f（x0

）三.求最大（最小）值应用题的一般方法(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。(2)确定函数定义域，并求出极值点。(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点。（2）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。二.两种特殊情况：（1）如果在上是单调函数；单调函数的最值在端点处取得。542+极小值0-极大值00+(-2,0)-1120-2解：解方程例4

求函数在区间上的最大值与最小值。由上表可见：x1=0是函数的极大值点，x2=是函数的极小值点。计算函数极大值点x1=0、极小值点x2=、区间端点x3=-2和x4=2处的值。比较上面四个值可见，该函数的在区间上的最大值为5，最小值为-11。-20xy2四.例题讲解图像如右图所示。例5:在边长为48cm的正方形铁皮的四角各切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖长方体容器,所得容器的体积V（单位：cm3）是关于截去的小正方形的边长（单位：cm3）的函数。（1）随着的变化容积V是如何变化的？（2）截去的小正方形的边长是多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解该函数的定义域为（0，24）.由导数公式表及求导法则得x48所以极大值为f（8）=（48-16）2×8=8192（cm3）当0<x≤8时，f(x)是增加的；当8≤x<24时，f（x）是减少的。（2）又（0,24）上任意点的函数值都不超过f（8），可见f（8）=8192是最大值。即当截去的小正方形的边长为8cm时，容器的容积最大为8192cm3。（0,8）8（8,24）+0-极大值由以上两根得下表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点。1.求函数在区间

上的最大值与最小值。解比较可知，在上最大值为，最小值为得:令，五.随堂演练你做对了吗？2.工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百台）时，总成本（单位：万元）为C(x)=3+x，其销售收入（单位：万元）为,问年产量x为多少时，总利润L（X）

最大？利润为令，得于是（万元）是最大值。即每年生产400台时，总利润最大，最大利润为5万元。因为是函数的唯一极大值点，解如图，制作一个容积为的圆柱形密闭容器，怎样设计才能使所用材料最省？hr六.思考探究一、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本有关的最值问题；（4）效率最值问题。七.课堂小结二、求最大（最小）值应用题的