高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量备课北师大版选修

从平面向量到空间向量学习目标1．理解空间向量、自由向量、方向向量、法向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，能够区分平面向量和空间向量．2．能利用空间向量的概念了解向量和直线、向量与面之间的关系．3．能求解直线的共面向量、平面的法向量，求解简单的两个空间向量的夹角．4.通过对平面向量的内容的复习掌握空间向量的基本知识，掌握类比的学习方法；体会从二维空间到三维空间的变化，培养自己的迁移的能力；学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断地发展变化的，会用联系的观点看待事物.小刚从学校大门口出发，向东行走100米，再向北行走600米，最后乘电梯上行20米到达住处．

问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？

提示：是．

问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？

提示：用空间向量．

问题3：若设大门口向东行走100米为a，再向北行走600米为b，最后乘电梯上行20米为c，则a，b，c夹角分别是多少？空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：相等向量∠AOB[0，π]0或πa∥b(3)特殊向量：名称定义及表示零向量规定

的向量叫零向量，记为0单位向量

的向量叫单位向量相反向量与向量a长度

而方向

的向量，记为－a相等向量方向

且模

的向量称相等向量，

且

的有向线段表示同一向量或相等向量长度为0模为1相等相反相同相等同向等长如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的向量有几个？

提示：8个．平行垂直1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．拓展一：空间向量及有关概念1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是 (

)A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面

D．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C

[悟法]与平面向量一样，空间向量也有向量的模，向量的夹角，单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．拓展二：求空间向量的夹角[例3]

(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．[思路点拨]

(1)只要作出过F与DE平行的直线即可．(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．拓展三：直线的方向向量与平面的法向量[悟法]

直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD