高中数学第一章立体几何初步6.2垂直关系的性质讲义北师大版

6.2垂直关系的性质第一章

§6垂直关系学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案

平行.梳理性质定理平行文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_____符号语言⇒a∥b图形语言知识点二平面与平面垂直的性质思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案

容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.文字语言如果两个平面互相垂直，那么在

垂直于它们

的直线

于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，

，

⇒a⊥β图形语言梳理性质定理垂直一个平面内交线aαa⊥l[思考辨析判断正误]1.若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.(

)2.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.(

)××题型探究例1

如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.类型一线面垂直的性质及应用证明证明

如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.证明证明

∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.类型二面面垂直的性质及应用例2

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明证明

如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD平面PAB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；证明证明∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.证明证明由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，∴AD⊥PB.类型三垂直关系的综合应用命题角度1线线、线面、面面垂直的转化例3如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；证明证明

∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明

∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.又AD平面PAD，BE⊈平面PAD，∴BE∥平面PAD.证明(3)平面BEF⊥平面PCD.证明证明

在平行四边形ABED中，∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.又E，F分别为CD和PC的中点，∴EF∥PD，∴CD⊥EF.∵EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF，∴CD⊥平面BEF.又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.证明证明

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，如图，则AE⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE，BC平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又AB平面ABC，∴AB⊥CD.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD平面ACD.∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.命题角度2垂直中的探索性问题例4

已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且

＝λ(0＜λ＜1).(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；证明证明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵

，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解答解

由(1)得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，∴EF⊥BE.要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，反思与感悟解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.跟踪训练4如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；证明证明

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.∵AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.解答解

连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，需使MN∥D1E.又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE，即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.达标检测答案1.给出下列说法：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直.其中正确说法的个数是A.0 B.1C.2 D.312345√2.平面α⊥平面β，直线a∥α，则A.a⊥β B.a∥βC.a与β相交 D.以上都有可能12345答案√解析因为a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.解析233.已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个说法：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个说法是A.①② B.③④ C.①③ D.②④451答案√解析

∵l⊥α，α∥β，mβ，∴l⊥m，故①正确；∵