高中数学应用题

高中数学应用题函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润.从而，，（3，4）4（4，6）+0-单调递增极大值42单调递减于是，当x变化时，的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），…………2分因此本年度的利润为即：……………6分由，得……8分（2）本年度的利润为则……10分由当是增函数；当是减函数.∴当时，万元，……12分因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，……14分所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．……15分3、某民营企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲乙（Ⅰ）分别将两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x万元,A产品的利润为万元,B产品的利润为万元.由题设由图知=,故=又从而.（Ⅱ）设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元.令，则.当.答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元,企业最大利润为万元.Z东北ABCO4、如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m（）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．Z东北ABCO⑴求S关于m的函数关系式；⑵应征调m为何值处的船只，补给最适宜．【解】⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为．………………2分设点，则，，即，又，所以直线AB的方程为．上面的方程与联立得点……………5分………………8分⑵……12分当且仅当时，即时取等号，……………14分答：S关于m的函数关系式⑵应征调处的船只，补给最适宜．………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为.已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.试将年利润万元表示为年广告费万元的函数；当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？(1)年生产成本为万元，年收入为万元.所以==（7分）(2)=（12分）当时,等号成立.所以当年广告费投入7万元时,年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为，宽为，则，广告的高为，宽为(其中)广告的面积当且仅当，即时，取等号,此时.故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为1007、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。（I）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（II）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值。解：（1）当m=4时，------------2分当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化∴当时，，得当时，，解得故自来水达到有效净化一共可持续5天-----------6分（2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化即前4天和后3天的自来水达到最佳净化∴当时，在恒成立，得在恒成立，∴-----------9分当时，在恒成立，同理得即投放的药剂质量m的值为--------------13分8、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的．解：（1）由题意可知，即，则.容器的建造费用为，即，定义域为.……………8分（2），令，得.令即，（1）当时，当，，函数为减函数，当时有最小值；（2）当时，当，；当时，此时当时有最小值.……………16分9、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元。（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？解：（1）设摩天轮上总共有个座位，则即，，定义域；……6分（2）当时，令，则，∴，（10分）当时，，即在上单调减，当时，，即在上单调增，在时取到，此时座位个数为个。……15分三角型AHDGPOBC10、如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AHDGPOBC（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角满足：时，招贴画最优美．解：（1）当时，点P在线段OG上，；当时，点P在线段GH上，；当时，．综上所述，，．…………2分所以，弧AD的长，故所求函数关系式为，．…4分（2）当时，；当时，；当时，．所以，，．……………6分从而，．………………8分记，．则．令，得．……………10分因为，所以，从而．显然，所以．………………12分记满足的，下面证明是函数的极值点．设，．则在上恒成立，从而在上单调递减．……………14分所以，当时，，即，在上单调递增；当时，，即，在上单调递减．故在处取得极大值，也是最大值．所以，当满足时，函数即取得最大值，此时招贴画最优美．………16分11、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m，与该养殖区的最近点的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养（图甲）（图乙）殖区的最小面积．（图甲）（图乙）【解】（1）如图甲，设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，……2分解得，……………4分所以，养殖区的面积；……6分（2）如图乙，设与所成夹角为，，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得，……8分解得，………10分所以，养殖区的面积，………………12分由得，………………14分经检验得，当时，养殖区的面积．…………16分答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．PABOQMN12、如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S．

（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应θ的值．解：在△OPQ中，eq\f(eq\a(OQ),eq\a(sinθ))＝eq\f(eq\a(PQ),eq\a(sin(60º－θ)))＝eq\f(eq\a(OP),eq\a(sin120º))＝eq\f(2,eq\r(3))，∴OQ＝eq\f(2,eq\r(3))sinθ，PQ＝eq\f(2,eq\r(3))sin(60º－θ)∴SMNPQ＝2S△OPQ＝OQ·PQ·sin120º＝eq\f(2,eq\r(3))sinθ·sin(60º－θ)＝eq\f(eq\r(3),3)cos(2θ－60º)－eq\f(eq\r(3),6)∵0＜θ＜60º∴－60º＜2θ－60º＜60º∴eq\f(1,2)＜cos(2θ－60º)≤1∴0＜S≤eq\f(eq\r(3),6)∴θ＝30º时，S的最大值为eq\f(eq\r(3),6)PABOQMN13、如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．DADACBQPNMRSMNPQT【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，S△RST=………2分由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；………4分RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）．…6分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有…8分令，则．……11分若，，又时，，时，，…14分函数在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）．……16分13、如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°，点北偏西60°的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知海里，在中，由正弦定理得=（海里），………6分又海里，在中，由余弦定理得=30（海里），则需要的时间（小时）。…………14分答：救援船到达D点需要1小时。………15分数列型14、某企业在第1年初购买价值为120万元是设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年起，每年初M的价值是上年初价值的75﹪.（1）求第n年初M的价值an的表达式；（2）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，求须在第几年初对M更新。解：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新．15、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：（元）（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：（元）（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列2分所以函数表达式为：；…………6分（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：…………10分（元）……12分当且仅当，即时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…………14分解析几何型第16题ADCBOxy16、在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.第16题ADCBOxy(1)试分别求出函数、的表达式；(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?解:(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为……2分所以点到的距离为,而,则………………4分对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为………2分所以点到的距离为,而,所以……………7分(2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为………………9分又,而,所以当时,取得最大值为…11分因为,所以,故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米………14分17、某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区,其中线段AA1，B1B，CC1，D1D关于坐标轴或原点对称，线段B1B的方程为y=x，x∈[a,b]，过O有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M(-eq\F(eq\R(,5),2)a,0)处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N(eq\F(eq