高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法讲义新人教B版选修

第二章2.3数学归纳法（第1课时）课题引入不完全归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛

完全归纳法不完全归纳法由特殊

一般

特点:思考：由归纳法得到的结论一定可靠吗？

举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠

1111猜测是否正确呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。

只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）

条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。（1）第一块骨牌倒下；（基础）

只要保证(1)(2)同时成立，所有的骨牌一定可以全部倒下。二、数学归纳法的概念：（课本93页）证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*

，kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。所以n=k+1时结论也成立那么求证时时（课本94页）例1:用数学归纳法证明注意

1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明课本96页1.（2）

用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N

）.证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

当n=k+1时：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。

由①和②可知，对n∈N

，原等式都成立。课本96页1.（2）用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N

）.请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？变式：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…

•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N

）时有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),

当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•

=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2