一轮复习人教A版4.1导数的概念和运算（十年高考）作业

专题四导数及其应用导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A设l1是y=-lnx(0<x<1)的切线,切点P1(x1,y1),l2是y=lnx(x>1)的切线,切点P2(x2,y2),l1:y-y1=-1x1(x-x1l2:y-y2=1x2(x-x2①-②得xP=y1易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),∵l1⊥l2,∴-1x1·1x2=-1,∴x∴S△PAB=12|AB|·|xP|=12|y1-y2+2|=12·(y1-=12·[-ln(x1x2又∵0<x1<1,x2>1,x1x2=1,∴x1+x2>2x1∴0<S△PAB<1.故选A.思路分析设出点P1,P2的坐标,进而根据已知表示出l1,l2,然后求出点A、B的坐标及xP,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.2.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()答案Dy'=a-1x+1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,3.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()b<aa<b<a<ebD.0<b<ea答案D解法一:当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下方,∴0<b<ea,故选D.解法二:易知曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),∵切线过点(a,b),∴b-et=et(a-t),整理得et(t-a-1)+b=0.令f(t)=et(t-a-1)+b,则f'(t)=et(t-a),当t<a时,f'(t)<0,当t>a时,f'(t)>0,∴f(t)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴当t=a时,f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.由已知得,f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-ea+b<0,即b<ea.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,et(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<ea,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-ea+b<0,且limt→-∞f(t)=b>0,f(a+1)=由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<ea.故选D.4.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(x+2)-5x+2=2-5所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.5.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

答案y=1ex;y=-1ex(解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=lnx,设切点坐标为(x0,lnx0),∵y'=1x,∴切线斜率k=y'|故切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-lnx0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1ex.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1ex,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e6.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)ex因此切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)ex0=(x0+a+1)·ex0(-x0),整理得x02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程x02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>07.(2019天津文,11,5分)曲线y=cosx-x2在点(0,1)处的切线方程为答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cosx-x2,∴y'=-sinx-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.8.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2x+1,所以y'|x=0=2,又(0,0)所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.9.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.

答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2lnx得y'=2x.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.10.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.

答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f'(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.11.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1x,∴y'=2x-1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为12.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.

答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1x,所以因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.13.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.

答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y'=1x,由y=ln(x+1)得y'=1x+1,∴k=1x1=1x2+1,∴x1=1k,x2=1k-1,∴y∵A、B在直线y=kx+b上,∴2-ln评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.14.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.

答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.15.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.

答案8解析令f(x)=x+lnx,求导得f'(x)=1+1x,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|x=x0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,当a=0时,评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.16.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为答案(1,1)解析∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1x的导函数为y'=-1∴曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-1则有k1k2=-1,即1·-1x02=-1,解得x0∴x0=1.又∵点P在曲线y=1x(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为17.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.

答案y=4x-3解析y'=3lnx+1+x·3x=3lnx+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.18.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-1x(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为-2e-1,2因此所求三角形的面积为2e-1(2)当0<a<1时,f(1)=a+lna<1.当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f'(x)=ex-1-1x.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1当a>1时,f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.19.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x1因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以y=(3x即方程x2-(3x12-1)x+2x13+从而Δ=(3x12-1)2-4(2x13+a)=0⇔4a(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=9x14令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x所以h(x)在-13,0和(1,+∞)上单调递增,在-∞,-13和又h(1)=-4,h-13=2027,所以h所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=x13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),即y=(3x1设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,x22+a),又g'(x2)=2x则切线可表示为y-(x22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-x22因为①②表示同一直线方程,所以3则(3x12-1)2-8x下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.20.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1x+1+(1-x)e-