正弦定理、余弦定理在生活中的应用

正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考.一、在不可到达物体高度测量中的应用例1如图，在河的对岸有一电线铁塔B在同一水平面内的两个测量点C

AB，某人在测量河对岸的塔高与D，现测得

AB

时，选与塔底BCD

，

BDC

，CD

s，并在点

C测得塔顶A的仰角为 ，求塔高 AB．分析：本题是一个高度测量问题，在

BCD

中，先求出CBD，用正弦定理求出BC，再在Rt△ABC中求出塔高AB.解析：在△BCD中，CBD=π．由正弦定理得BCCD=sin．sinBDCCBD所以BC=CDsinBDC=·ssin．sinCBDsin()在Rt△ABC中，AB=BCtanACB·.=stansinsin()点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A、B，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相 距3km的C、D两点高，测得ACB=750，BCD=450，ADC=300，ADC=450（A、B、C、D），试求隧道的长度.分析：根据题意作出平面示意图，在四边形ABCD中，需要由已知条件求出AB的长，由图可知，在ACD和BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后再在ABC中，由余弦定理求出AB.解析：在ACD中，∵ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴AC=CD=3.在BCD中，∠CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，3sin75026)BC=0=sin602在ABC中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCCOSACB，AB2(3)2(26)2223226)COS750=52∴AB=5≈2.236km,即隧道长为2.236km.点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB的长，可以在ABD中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD与BD长，但求AD不如求AC容易，另外。实际问题应求出近似值.三、在航行中的应用例3在海岸A处，发现北偏东450方向，距A处31海里B处有一艘走私船，在A处北偏西750方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东300方向航行，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间.分析：根据题意作出平面示意图，设在D处追上走私船，由图知，要求追截方向和时间即求∠DCB及CD长度，先用余弦定理求BC及∠CBA，从而求出∠ABD，列出关于追截时间的方程，求出时间，再用余弦定理求出∠DCB.解析：设在D处追上走私船，所需时间为t小时，则CD=103t，BD=10t在ABC中，∵BAC=750450=1200，AB=31，BC=2，由余弦定理得BC2=22(31)22(31)cos1202=6，cosAB2BC2AC2(6)2(31)222CBA=2ABBC=26(31)=2又∵0∠CBA，则∠CBA=450，则BC为正东西方向，在BCD中，CBD1200，由余弦定理得CD2BC2BD22BCCDcosCBD，即(103t)2(10t)2(6)2210t0，解得，t666cos120或t（舍），1020∴BD=6，CD=32，∴BD=BC，∴DCBBDC300，故缉私船沿东偏北 300方向追截，所需时间为 6小时.10点评：处理航行问题，一要理解方向角、方位角等概念，二要根据题意画出示意图，根据图将问题转化为三角形边或角的计算问题，利用正余