浅析集合论的发展

浅析集合论的发展第一页，共十五页，编辑于2023年，星期一悖论——科学的难题

低估悖论的重要性，把它们当作诡辩或者笑料，从科学进步的角度看来是十分危险的......我们必须找到它的原因，就是说，必须分析出悖论所依据的前提；然后，在这个前提中我们必须至少抛弃其中一个，而且还必须研究这将给我们的整个探讨带来什么样的后果。

——阿尔弗雷德·塔尔斯基第二页，共十五页，编辑于2023年，星期一逻辑悖论

——悖论的核心在某些公认正确的知识背景下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。K真，当且仅当，K假。认识论悖论（语义悖论）——“我正在说谎”狭义逻辑悖论（语形悖论）——→集合论第三页，共十五页，编辑于2023年，星期一集合论及其发展背景18世纪，无穷未定义，使微积分理论遇到严重的逻辑困难。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。却没有彻底完成微积分的严密化。柯西的思想中甚至能产生逻辑矛盾。19世纪后期，许多数学家又致力于分析的严格化。涉及到对连续函数的描述。在数与连续性的定义中，再次涉及关于无限的理论。一切问题指向一个中心——无穷概念、无限集合第四页，共十五页，编辑于2023年，星期一∞

的悖论

——漫长的困扰

两个同心圆点可以一一对应周长相等吗？

线段的整体等于部分吗？

N={0，1，2，3，...}A={0，1，4，9，...}F(X)=X•XA是N的子集吗？第五页，共十五页，编辑于2023年，星期一在历史长时期内，哲学家、数学家认为：无穷特别是存在无穷是理性思维永远不可能到达的彼岸。整体总是大于部分的实无穷是不存在的不存在无限集合伽利略，高斯，柯西。。。整体可以等于部分存在实无穷无限集合与其真子集可一一对应康托尔，戴德金。。。第六页，共十五页，编辑于2023年，星期一康托尔超限集合论超限基数א0——自然数集的基数，且N,Z,Q之间可一一对应，基数均为א0得到实数集基数C(连续统基数)，并且证得C>א0对任意集合，其幂集PS的基数大于S本身的基数超限序数理论。。。。。。第七页，共十五页，编辑于2023年，星期一素朴集合论的辉煌成就人类对无限的认识摆脱了单纯的∞，无穷有了量度，进入崭新的认识阶段—伊夫斯分析和函数论有了严格的数学基础——集合论“数学已经取得了完全可靠的基础，已经被算术化，绝对严格已经取得”

—彭加勒.数学家第二次国际会议集合论成为构建整个数学大厦的基石

第八页，共十五页，编辑于2023年，星期一集合论悖论

——历史的讥讽康托尔悖论（1895）大全集U的幂集基数比U大吗？布拉里—弗蒂悖论（1897）

有关最大序数和良序的悖论罗素悖论（1902）第九页，共十五页，编辑于2023年，星期一罗素悖论——数学的灾难数学描述：设z={xx∈x}z∈z,则z应满足x∈x，故z∈zz∈z,则已经满足了x∈x，故z∈z综上，z∈z，当且仅当，z∈z第十页，共十五页，编辑于2023年，星期一罗素悖论的影响——第三次数学危机集合论的悖论，尤其是罗素和策梅罗所发现的一个矛盾，直接在数学界产生灾难性的作用——希尔伯特狄德金放弃了划时代著作《什么是数和数的应用》的出版弗雷格：我的著作要出版时，发现建筑物的基础塌了拓扑学权威劳威尔宣布自己过去的工作全在说废话。。。。。。第十一页，共十五页，编辑于2023年，星期一集合论，何去何从？？？理查德、罗素、莱姆塞

“类型分支论”“足够狭窄，不够宽广”策梅罗、米里曼洛夫、冯诺依曼

公理化系统哥德尔——关于形式算术的不完全性定理第十二页，共十五页，编辑于2023年，星期一

总之，悖论贯穿了整个集合论的发展，一路走来，无穷悖论也似乎并没有被我们完美的解决，但是使我们足以相信的是：

关于集合论悖论及其它逻辑悖论的努力会让我们走的更远，变得更深刻。。。。。。keepmoving第十三页，共十五页，编辑于2023年