数列求和的常用方法

内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实11.等差数列的前n项和公式知识梳理2.等比数列的前n项和公式3.一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝_________.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝

.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.(4)12＋22＋…＋n2＝

.n2n(n＋1)4.数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝

.(

)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(

)√×基础自测√题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)(6)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数).(

)×√√题组二教材改编2.一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是A.100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9)C.200(1－2－9) D.100(1－2－9)√解析第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200(1－2－9).3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2021等于A.1011

B.1008

C.1009

D.1010√解析由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1，两式相减得an＋1－an＋2an＝1⇒an＋1＋an＝1⇒S2021＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2018＋a2019)＋(a2020＋a2021)＝1010×1＋1＝1011.4.1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝______________(x≠0且x≠1).解析设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，

①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn题组三易错自纠5.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于A.200

B.－200

C.400

D.－400解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.√6.数列{an}的通项公式为an＝ncos

，其前n项和为Sn，则S2024＝_______.1012解析因为数列an＝ncos

呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.又a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，所以周期T＝4.TIXINGTUPOHEXINTANJIU2题型突破核心探究题型一

分组转化法求和第1课时数列求和的常用方法例1

(2020·绍兴模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝

，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a1＝S1＝1；a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*).(2)设bn＝

＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.引申探究解由(1)知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an＝

的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.思维升华跟踪训练1

(2020·温州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝a1，nbn＋1＝anbn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解由2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，

①可得2Sn＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2，

②②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，化简得2an＋1＝an＋2＋an，所以{an}是等差数列.由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，故an＝2＋2(n－1)＝2n.故bn＝2×2n－1＝2n.(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.解因为cn＝an＋bn＝2n＋2n，所以Tn＝(2＋2)＋(4＋22)＋(6＋23)＋…＋(2n＋2n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝n2＋n＋2n＋1－2.题型二

错位相减法求和师生共研例2

已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且a2＋a4＝90，a3＝27.在数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝

(n∈N*).(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；解设等比数列{an}的公比为q(q>1)，故an＝3×3n－1＝3n.所以Tn＝1×3＋2×32＋…＋n×3n，则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1.错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.思维升华跟踪训练2

(2020·杭州质检)已知各项均大于零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝

＋an.(1)求数列{an}的通项公式；又由题设知an＋an－1>0，所以an－an－1＝1，故数列{an}是公差为1的等差数列，又a1＝1，所以an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)设bn＝

，数列{bn}的前n项和为Hn，求使得Hn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n.解因为bn＝

＝－an·＝－n·2n，所以Hn＝－(1×21＋2×22＋…＋n×2n)，则2Hn＝－(22＋2×23＋…＋n×2n＋1).将以上两式作差化简可得Hn＝－n·2n＋1＋2n＋1－2，于是，Hn＋n·2n＋1>50，即2n＋1>52，解得n≥5.故最小正整数n是5.题型三

裂项相消法求和多维探究例3

(2020·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为2，且anbn＝n·2n.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解∵anbn＝n·2n，解得a1＝2，b1＝1，∴an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2n－1.解∵an＝2n，bn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn解析由f(4)＝2，可得4α