第八章考点正弦型函数的图象与性质x

考点34正弦型函数的图象与性质第八章三角函数第1页，共54页第2页，共54页知识要点1．函数y＝Asinx(A>0)的周期是________，值域是__________，它的图象可以看作是由函数y＝sinx的图象__________________________________

得到；函数y＝sinωx(ω>0)的周期是________，值域是________，它的图象可以看作是由函数y＝sinx的图象______________________________________得到；函数y＝sin(x＋φ)的周期是________，值域是________，它的图象可以看作是由函数y＝sinx的图象__________________________________

得到．[－A，A]沿y轴拉伸(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍[－1，1]2π2π[－1，1]沿x轴拉伸(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的倍沿x轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度第3页，共54页知识要点2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的最小正周期为________，最大值为________.3．函数y＝asin(ωx)＋bcos(ωx)的最大值是________，最小值是__________，最小正周期是________.A第4页，共54页基础过关1．函数y＝3sin的最大值和最小正周期分别是()A．－3，π

B．3，π

C．－3，

D．3，B123456第5页，共54页基础过关2．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为2π，则ω的值为()A．

B．1

C．2

D．4B123456第6页，共54页基础过关3．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期为()A．2π

B．π

C．

D．B123456【提示】∵cos2x－sin2x＝cos2x，∴T＝＝π.第7页，共54页基础过关4．若函数y＝asin(ωx)(ω≠0)的最大值是8，则a的值为()A．8

B．－8

C．±8

D．无法判定123456C【提示】∵sin(ωx)的最大值是1，最小值是－1，∴当a>0，即a＝8时，y＝8sin(ωx)的最大值是8；当a<0，即a＝－8时，y＝－8sin(ωx)的最大值是8.∴a＝±8.第8页，共54页基础过关5．用“五点法”作函数y＝sin2x，x∈R的图象时，描出的五个点的横坐标是()A．0，，π，，2π

B．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4π

D．0，B【提示】令2x＝0，，π，，2π，得x＝0，，，，π.123456第9页，共54页基础过关6．要得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sinx的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度123456B典例剖析例1变1例2例1用“五点法”作出函数y＝2sin在[0，2π]内的简图．变2第10页，共54页【思路点拨】“五点法”的关键是五个点的选取要准确，方法是ωx＋φ始终取0，，π，，2π这五个值．例3变3例4变4例5变5典例剖析【解】列表如下：第11页，共54页2x＋0π2πx－

y＝2sin020－20例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5典例剖析以表中每组(x，y)的值为坐标，在平面直角坐标系中描出对应的五个关键点：用光滑的曲线连接各点，得到函数y＝2sin在[0，2π]内的简图，如图所示．第12页，共54页例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第13页，共54页变式训练1

用“五点法”作出函数y＝在一个周期内的简图．典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第14页，共54页典例剖析解：图象略，列表如下：3x－0π2πx

y＝000例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第15页，共54页典例剖析【关键点评】根据3x－取0，，π，，2π这五个值，求出x的值与对应y的值，再在平面直角坐标系中描点、连线．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第16页，共54页例2求函数y＝sinx－cosx的最小正周期、最大值及最小值．典例剖析【思路点拨】可以化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用性质求解．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第17页，共54页【解】∵y＝sinx－cosx∴最小正周期T＝2π，ymax＝2，ymin＝－2.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第18页，共54页典例剖析变式训练2若函数y＝3sinx＋bcosx的最大值为5，则b的值为

．【提示】由题意得＝5，∴b＝±4.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变54或－4第19页，共54页典例剖析【关键点评】函数y＝asin(ωx)＋bcos(ωx)＝sin(ωx＋φ)，最大值为，最小值为－.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第20页，共54页例3

求函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x的最小正周期、最大值及相应x的值．典例剖析【关键点评】应用二倍角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋C的形式，再利用性质求解．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第21页，共54页典例剖析【解】∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin(2x)＋cos(2x)＋1＝sin＋1，∴最小正周期T＝＝π.当sin＝1时，f(x)max＝＋1，此时2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z).例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第22页，共54页典例剖析变式训练3函数f(x)＝cos＋sin的值域是

，最小正周期是

．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5[－2，2]π【提示】∴函数f(x)的值域为[－2，2]，最小正周期T＝＝π.第23页，共54页典例剖析【关键点评】可以先用和角或差角公式展开，再化为正弦型函数来解决．但熟记诱导公式可简化运算．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第24页，共54页例4

为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin(2x)的图象上所有的点()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5D第25页，共54页典例剖析【思路点拨】函数y＝sin(ωx＋φ)与函数y＝sin(ωx)之间的平移规律．∵y＝sin＝sin，∴将函数y＝sin(2x)的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第26页，共54页典例剖析变式训练4将函数y＝sinx的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到图象的函数解析式为()A．y＝sin＋2

B．y＝sin

－2C．y＝sin－2

D．y＝sin

＋2D例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第27页，共54页典例剖析【提示】先向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第28页，共54页典例剖析【关键点评】平移变换的方法：(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则向左平移φ个单位长度；若φ＜0，则向右平移|φ|个单位长度．(3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则向左平移个单位长度；若φ＜0，则向右平移个单位长度．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第29页，共54页例5

如图34－2所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求此函数的解析式．典例剖析【思路点拨】根据函数图象的特征，结合函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值与周期求解．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第30页，共54页【解】由题意得A＝，T＝＝π，由T＝得ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ).由图象得函数的一个最高点坐标为，将其代入y＝sin(2x＋φ)得sin＝1，再根据，得φ＝－.∴此函数的解析式为y＝sin.典例剖析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第31页，共54页典例剖析变式训练5

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式为________

.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【提示】由最高点或最低点可得A＝2，由可得ω＝2，再根据零点或最高点的坐标可求得φ的值．第32页，共54页典例剖析【关键点评】先根据最值求A的值，再根据周期求ω的值，最后根据零点的坐标或最值点求φ的值．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第33页，共54页回顾反思本节知识的重点是辅助角公式的运用，利用和角、差角、倍角、半角以及诱导公式把看似复杂的三角函数通过化简，可以化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋C的形式，再根据正弦型函数的性质来解决问题．检测练习12345678一、单项选择题1．把函数y＝sinx的图象上每一个点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为()A．y＝sinx

B．y＝sinC．y＝2sinx

D．y＝sin(2x)第34页，共54页9101112123DA组B组第35页，共54页2．函数f(x)＝－5sin(2x)的最大值和最小正周期分别为()A．－5，2π

B．－5，πC．5，2π

D．5，π检测练习D123456789101112123A组B组第36页，共54页3．函数f(x)＝cosx＋sinx的最大值是()A．1

B．

C．1＋

D．2检测练习D【提示】f(x)的最大值为＝2.123456789101112123A组B组第37页，共54页4．若函数f(x)＝sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期为2π，则ω等于()A．±1

B．±2

C．±

D．检测练习C【提示】∵f(x)＝sin(2ωx)，∴T＝＝2π，∴ω＝±.123456789101112123A组B组第38页，共54页5．若m＝3－2sin，则m的取值范围是()A．[－1，5]

B．[－1，1]C．[－2，2]

D．[2，10]检测练习D123456789101112123A组B组【提示】∵－1≤sin≤1，∴1≤3－2sin≤5，即1≤m≤5，∴2≤m≤10.第39页，共54页6．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin(2x)的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度检测练习123456789101112123A组B组C【提示】∵φ＝>0，∴向左平移，平移的量为.第40页，共54页二、填空题7．函数y＝sin的图象是把函数y＝sinx的图象向_____平移________个单位长度而得到的．检测练习123456789101112123A组B组左第41页，共54页8．当x＝______________时，函数y＝2sin＋1取最大值________.检测练习【提示】当2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝2＋1＝3.123456789101112123A组B组3第42页，共54页9．函数f(x)＝sinxcosx－cos(2x)的最小值为

，最小正周期为________.检测练习【提示】f(x)＝sinxcosx－cos(2x)＝sin(2x)－cos(2x)＝sin，∴f(x)的最小值为，最小正周期是π.123456789101112123A组B组第43页，共54页10．已知函数y＝Asin(ωx)(A>0，ω>0)的图象上最高点的纵坐标为4，最小正周期为4π，则函数的解析式为___________.检测练习123456789101112123A组B组第44页，共54页三、解答题11．用“五点法”作出函数y＝3sin在一个周期内的简图．检测练习123456789101112123A组B组解：图象略，列表如下：2x－0π2πxy＝3sin030－30第45页，共54页12．已知函数f(x)＝sin(2x)＋2cos2x－1，求f(x)的最小正周期、最大值和最小值．检测练习123456789101112123A组B组第46页，共54页解：∵f(x)＝sin(2x)＋2cos2x－1＝，∴最小正周期T＝＝π.∵－1≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值为2，最小值为－2.检测练习123456789101112123A组B组第47页，共54页1．已知函数y＝a－bsin的最大值为，最小值