广西南宁市马山县金伦中学“4+ N”高中联合体2024年高二上数学期末考试模拟试题含解析

广西南宁市马山县金伦中学“4+N”高中联合体2024年高二上数学期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，2．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－133．设.若，则＝（）A. B.C. D.e4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.985．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.6．如图，在棱长为1的正方体中，P、Q、R分别是棱AB、BC、的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. B.C. D.7．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)8．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.9．椭圆＝1的一个焦点为F，过原点O作直线（不经过焦点F）与椭圆交于A，B两点，若△ABF的面积是20，则直线AB的斜率为（）A. B.C. D.10．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.11．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞12．已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.14．函数，若，则的值等于_______15．已知数列的前项和为，则__________.16．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线和的交点为P，求：（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；（3）从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分18．（12分）已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．（12分）已知直线：，直线：.（1）若，求与的距离；（2）若，求与的交点的坐标.20．（12分）已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值21．（12分）圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆的公共弦的长.22．（10分）设函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【题目详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.2、A【解题分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【题目详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.3、D【解题分析】由题可得，将代入解方程即可.【题目详解】∵，∴,∴，解得.故选：D.4、D【解题分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【题目详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D5、C【解题分析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.【题目详解】对函数求导得：，，，则，，而，当且仅当，即时“=”，于是得，解得，所以a的取值范围为.故选：C【题目点拨】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.6、C【解题分析】分别取的中点，连接，利用棱柱的定义证明几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【题目详解】如图所示：连接,分别取其中点，连接，则，且，所以几何体是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因为正方体的棱长为1，所以,所以直三棱柱的体积为，故选：C7、C【解题分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【题目详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.故选C【题目点拨】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8、C【解题分析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【题目详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C9、A【解题分析】分情况讨论当直线AB的斜率不存在时，可求面积，检验是否满足条件，当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程y＝kx，联立椭圆方程，可求△ABF2的面积为S＝2代入可求k【题目详解】由椭圆＝1，则焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时AB＝4，＝AB•5＝×5＝10，不符合题意；②可设直线AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面积为S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故选：A10、D【解题分析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.【题目详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.，，，平面，平面，的正弦值即为所求角的正弦值，，，.故选：D.11、A【解题分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断、及、的大小.【题目详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.故选：A.12、B【解题分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【题目详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【题目点拨】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意得:考点：等差数列通项14、【解题分析】对函数进行求导，把代入导函数中，化简即可求出的值.【题目详解】函数.故答案为：.15、【解题分析】根据题意求得，得到，利用等差数列的求和公式，求得，结合裂项法求和法，即可求解.【题目详解】由，可得，即，因为，所以，又因为，所以，可得，所以，所以.故答案为：.16、【解题分析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可【题目详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）答案见解析【解题分析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由直线和的交点为P，联立方程组，解得，即，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.【小问2详解】解：因为点到直线的距离为，设所求圆的半径为，由圆的的垂径定理得，弦长，解得，所以所求圆的方程为.【小问3详解】解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，设直线l的的斜率为，可得直线的方程为，即，则直线与坐标轴的交点分别为，由，解得或，所以所求直线的方程为或.若选②，设所求圆的圆心为，半径为，因为圆与x轴相切，可得，又由圆心到直线的距离为，利用圆的垂径定理可得，即，解得，即圆心坐标为或，所以所求圆的方程为或.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）将条件化为基本量并解出，进而求得答案；（2）通过裂项法即可求出答案.【小问1详解】由，.得：解得：故.【小问2详解】当时，.所以时，.19、(1).(2).【解题分析】分析：（1）先根据求出k的值，再利用平行线间的距离公式求与的距离.(2)先根据求出k的值，再解方程组得与的交点的坐标.详解：（1）若，则由，即，解得或.当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去；当时，直线：，直线：，所以.（2）若，则由，得.所以两直线方程为：，：，联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为.点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系和距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)直线与直线平行，则且两直线不重合.直线与直线垂直，则.20、（1）；（2）证明见解析【解题分析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c即可得椭圆方程；(2)设直线的方程为，，，，，联立直线方程利用韦达定理即可求为定值【小问1详解】；【小问2详解】由椭圆方程可知，，，设直线的方程为，，，，，联立得，∴，，则，∵，，∴，把及代入可得：﹒21、（1）（2）【解题分析】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.【小问1详解】设圆的方程为，，，所以圆的方程为；【小问2详解】由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：，整理得到：，到公共弦距离为，故公共弦的弦长为：.22、（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解题分析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，记，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】令，得，记，则，令得，列表得．x0↘极小值↗要使在上有两个零点，则，所以且函数在和上各有一个零点当时，，，，则，故上无零点，与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件所以，又因为，所以考虑，设，，则，则在上单调递减，故当时，，所以，且，因为，所