高中数学联赛培训讲义

高中数学联赛培训讲义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。第一讲集合、函数、方程例1.集合{x|－1≤log10<－，1<x∈N}的真子集个数为。(96年全国高中联赛)【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2－1【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。练习①.已知集合A＝{y|2<y<3}，x＝＋，则x与A的关系是。(83年)餐②红(9沉3年演)若景M＝画{(远x,切y)垮||量tg去π廉y|架＋s佩in胡π啄x＝冒0}万，N原＝{私(x赏,y螺)|坟x遥＋y愈≤疑2}遥，则伶|M厘∩乳N|则＝灵。恒肚A烦.页4柏弱岭B.众蜓5罗从C拨.床8跟柿阴D.表9袖钥附：纵|A潮|表糠示A获的元射素个杰数婆敌价（狭93勺年）蜻③铺若非响空集义合A子＝{晃x|蔬2a有＋1屋≤凤x线≤骡3a昌－5苏}，畜B＝梨{x删|3捧≤惊x阶≤典22壶}，客则能载使A引A训∩肥B成穗立的总所有驱a的订集合欢是头。优谈（9茶8年纵）冤例2费.f旋(x接)驰（x序∈足R）痛是以狠2为流周期率的偶四函数爪，当白x厦∈牛[0夜,1蛋]时寸，f裁(x件)＝幅x持，则锋：f致(雪)、阁f恒(粒)、项f(维)由扇小到砖大的命排列探是捧。殿太(9扒8年放全国待高中季联赛粥)触【分雷析】狼利用纳周期庙函数馆、偶运函数斤的性咬质，躁将函毁数自纽变量香转化书到区违间[菠0,厦1]肿，再遵比大骆小。枪【解毙】债【小铸结】监周期百函数像的性节质、碧偶函重数性吴质、宏幂函境数单管调性让；转箩化思侨想。评练习柱①端设f米(x各)是钱定义嚼在实全数集什上的膀周期述为2敬的周箩期函秤数，墙且是较偶函管数，赞已知焦当x吹∈揪[2识,3搭]时堵，f树(x套)＝声x，石则当悄x雹∈斗[-煎2,筹0]饼时，倚f(背x)杂的解剪析式她是猛。紧悉童(雀90劈年)解蹲亏劲A.混f饭(x视)＝倚x＋东4怎善B地.怠f(讨x)速＝2上－x柔热答C.声境f(转x)瞒＝3洒－|精x＋忧1|传坏侄D.以f克(x妇)＝携2＋紧|x明＋1联|逮②戴若a率>1佳，b猎>1什，且吧lg忙(a沈＋b溪)＝昂lg和a＋鞋lg营b，烛则l找g(胞a－警1)月＋l臭g(移b－否1)骗的值败。脚(考98投年)肿群点蜘A.陕等于亩lg拐2协胖B.咳等于愚1趋距C扰.等失于0半菊南D镇.不烂是与翁a、扁b无锡关的赏常数设③曲设f弃(x疏)是亏定义那在实针数集雕R上购的函盾数，粒且满裳足下响列关感系：般f(昆10忽＋x次)＝凉f(锄10铲－x河),贸f（策20年－x堡）＝抖－f伍(2赠0＋势x)焰，则柔f(咸x)丹是党。洪趋(环92亲年)适许批步A息.偶射函数嗽，又杜是周云期函枣数堪万清B橡.偶灿函数遍，但样不是减周期崭函数肯结既匠C卸.奇舍函数饥，又价是周劣期函奋数款桌递D劲.奇自函数妙，但辉不是烦周期暖函数脸例3致.设镇x与执y为登实数过，满影足(楚x－描1)龙＋1钢99驻7(瑞x－蜘1)衣＝－臭1，宽(y篮－1具)浆＋1派99录7(限y－酿1)楼＝1慢，则宵x＋般y＝川。遭些辆璃幸玻蛇（9渣7年叛全国艺高中帖联赛豆）总【分抚析】感构造仓函数千f(晌t)傅＝t死＋1老99贡7t舰，将城两等垮式变济成函页数值妹，再性利用粮函数粗性质糕。昨【解怨】村【小统结】柱巧妙廉地构娃造函械数，粪利用墨函数粒的奇白偶性洪、单谈调性团；简医单的亩函数扯方程趴。留练习炭①垦已知啄方程住|x括－2牢n|私＝k辞（软n缠∈碍N）繁在区安间(夺2n捷－1皂，2叙n＋走1)扔上有情两个每不相蛛等的托实数具根，今则k穿的取樱值范免围是锐。泳哪(9畜5年钢)董俭币姑惹A.胳k仓>0蚂维B扶.咳0<宋k注≤青包C械.幸<k谱≤谁击D.尤以上辞都不衔正确炮②凶用[育x丑]俭表示费不大傻于实段数x毯的最盖大整致数。挎方程州lg并x－五[l徐gx现]－捆2＝兼0的椅实根务个数悦是尸。锹(允95逝年)夺③过设函遵数y美＝f土(x东)对芬一切敌实数祝x都倾满足午f(止3＋钻x)启＝f耻(3关－x墓)，器且方游程f课(x抹)＝顾0恰被有6僚个不淋同的丈根，荣则这穴6个志实根辱的和心为煮。业（走91躺年）归第二幅讲日三角何变换喂、三赶角不捞等式报例1决.设杂x绞∈俗(－命,0鲁)，笛以下中三数犯a＝惜co柳s(浑si墨nx孝π士)、欣b＝遣si敌n(斤co持sx廊π斤)、钳c＝谅co槽s(禁x＋觉1)由π案的大键小关起系是溜(9尘6年税全国摸高中奏联赛馆)品笼A.制翁c<棚b<舒a挺圆摸B恋.驼a尚<c好<b讲臂街扑C.类稿c<殃a<刘b它缴磁治D.奇片b<羞c<昨a膝【分测析】盐先判净别符僵号，脉再比楚较同贯符号写的几草个。求【解号】险【小棵结】结比大均小，戏可以输先与使0、误1比望较，远先后层利用讲函数温单调数性、糊比较盐法等硬。也鞭可特昂值法填。则练习怀①锤.已竖知0宵<b扯<1止，0草<a邮<霸，则放下列齿三数肥x＝祥(s倡in原α塘)怠、y朗＝(类co呼s脸α般)谷、胶z＝芬(s颜in炸α充)醒的从些小到阵大排瓜列为达。责（梳94慈年）营②谷.设夜α∈绸(建,斩)，普则(厘co换s析α肢)田、巩(s欧in州α惕)躬、例(c因os朋α循)狼从小盐到大呈的排长列为泻。嫌（低90狸年）兆③忆.四腹个数荷lo拼g丑co爱s1后、l挤og竖tg绿1、会lo纱g卡si疯n1袋、l离og线tg呜1从努小到煮大的街排列笋为煮。织（9舒5年寿）先例2低.梁在画△涛AB给C中罩，角肆A、凭B、吸C的正对边立边长鞋分别穷是a烫、b决、c亲，若肿c－户a等倚于A液C边酒上的睬高h升,则性si馒n口＋c晌os笼的值珠等于秘。漂际(粥9年言全国辫高中绑联赛细)棋【分魔析】条利用渴正弦暑定理汗将边速的关寇系转弯化为厚角的仰关系茶，通淋过三歪角变晋换解宝决问掌题。质【解墙】牺【小宏结】石正弦冷定理垫、余售弦定榆理、安三角牵形面鉴积公她式、塑三角避变换苹。址练习煎①伞.鲜co和s参10零°绝＋c钱os女50荷°篇－s虾in软40绍°善si重n8猜0葬°锻＝映。观（9飘1年修）膜②替.在穗△计AB披C中捧，角裳A、旁B、沸C的键对边皮边长粥分别特是a俊、b饱、c魂，已厘知三丢内角溉成等烦差数在列，塘且c阁－a可等于锤AC识边上逝的高识h,球则s更in飞的值赴等于速。院（9爆1年患）坛③充.皂在矿△椒AB胜C中叠，角僚A、隐B、由C的馋对边潮边长韵分别侨是a贝、b腔、c夸披(b兽≠翠1)秒，且抹、帖都是驼方程已lo乎g偏x＝诉lo么g升(4济x－夸4)闷的根朋，则妄△谊AB防C程。六（至92声年）桨侧A.通是等悉腰三盲角形弃，但珍不是挥直角舱三角健形纹样B妇.是妻直角盲三角谢形，耻但不唯是等幸腰三圣角形涨驱C.多是等基腰直孤角三牢角形惭屯债迫它充众弱纲找D.服不是兄等腰这三角荒形，纳也不青是直秒角三锄角形扇例3孔.设枣x拴≥荒y疼≥冻z瞧≥蝶，且环x＋绞y＋场z＝闹，求及co躬sx炎si祝ny愈co课sz巴的最讯大值途和最怎小值纵。(查97纤年)赠【解知】宁【小悟结】关积化狼和差撒；放聪缩法受。义练习惯①飞.已屯知0忙<馅θ民<够π徒，则脏si峰n谋（1虚＋c桨os应θ与）的呜最大头值是维。烈(9额4年颤)共②抬.已级知f莲(x贪)＝上as附in染x＋兔b夸＋4香(枝a、吼b为责实数鲜)，止且f枕(l停gl会og岩10喝)＝份5，干则f糖(l贤gl离g3网)＝拾。走慌A.浮些–竟5办附效B.智危–饿3五键C导.售3烈协D初.随贤a、封b取煮不同晌值而寨取不判同值史剪稿(细93潮年)搅③秃.设同a、邪b、球c是拼实数疯，那蓝么对券任意锋实数赢x，唱不等期式a渣si境nx勤＋b疤co京sx垒＋c套>0岁都成嫩立的银充要沙条件披是肢。半胸馆(9与4年溪)液A.削a吃与b棉同时此为0焰，且突c>卖0备恢B友.哨＝c益两白C.春畅<c滤冈D剧.联>c赞④将.已个知x岔、y靠∈礼[－朽,柴]，艇a隶∈仿R，科且阁，则需co侄s(合x＋栋2y邪)＝宇。（啄提示浪：构永造函鄙数法恩）斥死（倘94始年）煤第三六讲轰数列太、数棉列递霸推、具数学津归纳透法匠例1卵.等毫比数腹列{努a旺}首祝项a棕＝1汤53古6,菠公比兴q＝子－割。用幕π注表示探它的航前n碗项之厅积，此则剧π划（n渴∈企N）片最大百是明。殊A腊.庄π狱尾B.帆烟π欲倦C料.驱π臭潮扭D.电腰π怕慢(9荷6年燃全国绞高中密联赛锄)田【分泻析】惕先求莲出插π恼的表絮达式纪，再延讨论避该式您的最宣大值凶问题遣。谎【解嫩】廊【小葱结】稍等比锋数列高的通训项公焦式、奶函数有最值鹅问题碍、分坏类讨墨论法排。顷练习租①衔.设辣x渐≠拉y，泊且两亲数列敲x，徒a眠，a啊，a常，y葛和b担，x皮，b衬，b胃，y覆，b涂均为员等差晨数列群，那幸么辩＝位。浑感（市88况年）查②荷.垄设x司,y衣,z寿是实宁数，勤3x雁、4睁y、械5z浸成等焦比数坏列，箭且乱、散、姐成等箭差数奥列，鄙则愁＋虹的值适是铸。去（享92些年）谅③位.设川等差艳数列坑{a醋}满果足去3a提＝戴5a新，且醋a未>0满，S咬腔为前榴n项迟之和宵。则妹S煤(曲n械∈像N)忙中最足大的缸是腊。刃连A禾.食S异垒预B隔.肌S站矮福C.绍高S舞剧蜘D但.煤S昌灾唤从(9庭5年坏)比例2门.已歼知数司列{督a踢}满后足跨3a趴＋a练＝4置(息n木≥浑1)背，且蕉a尝＝9头，其租前n县项之种和为葛S岭，则妻满足欲不等桂式|里S口－n旋－6葱|<衡的最贝小整可数n涛是碎。览格（销94艰年全眯国高佣中联开赛）口【分墓析】锡先求怕S苦【解赢】女【小总结】腾构造源法。窄数列愉前n病项和蛇公式转。稳练习建①盆.设皆等差培数列树的首常项及终公差确均为辆非负么整数唤，项欺数不冠少于概3,因且各顷项的桃和为洪97抓,则棍这样胀的数痛列共寺有俱。咱册A窑.帖2个旦液非B.训3透个铜泛C窜.楚4个际祝乔D挥.般5个苦亏高林(9拌7年仔)如②协.对索于每蜘个自责然数类n，香抛物满线y项＝(澡n案＋n骄)x威－(沾2n秧＋1则)x晶＋1脊与x丹轴交膊于A完、B反两点构，以律|A慨B杀|表届示该萍两点饼间距袋离，弓则|漫A案B否|＋鬼|A锡B已|＋摄…芳＋|杰A流B某|＝吓。既(9姥2年扭)坐③楼.一户个正夏数，泛若其欲小数休部分主、整坏数部欠分和念其自随身成籍等比筒数列醉，则遵该数挑为斑。(博89昼年)还例3趋.设粒正数述列a喜，a秩，a壮，匙…沿，a跑，防…痛满农足汪－延＝粗2a属（寿n榜≥暮2）摄，且煎a如＝a笋＝1床，求瓦a迎/半a惹的值甩。点【分福析】市将已秘知的板代数勒式进泼行变缸形，袍构造搁一个头新的槐数列船使问碗题简鸽化。与【解在】士【小珠结】房构造秃法。革练习弯①窄.将演正奇肃数集葬合{括1,问3,咸5,悼…吸}由童小到盖大按聋第n诚组有享(2引n－效1)拌个奇医数进羽行分拘组：田第一替组{咽1}晚、第践二组劲{3关,5禁,7夹}、辜第三晶组{种9,糊11粗,1矿3,访15公,1芝7}悟、驶…照。则漏19位91宴位于管第布组中接。战扇（9苍1年净）暖②顽.半已知宫数列灿{x王}满楼足x士＝x郑－x肥(逢n遵≥窑2)谷，x拥＝a增，x夸＝b泊，记喘S建＝x劳＋x孩＋摊…修＋x产。则投下列饭结论爬正确灶的是帽。仗倚（9纪7年左）卷辆鞠辰A.拣妄x讽＝－银a，赌S亡＝2赠b－夫a醉静解递烤B疯.屈x毛＝－永b，告S屋＝2略b－屯a臣窗氏C.选竿x澡＝－拐b，李S谢＝b灶－a愧锡鹊乎周鸟B绣.忧x店＝－疾a，竭S告＝b弯－a忘委③较.已泛知集藏合M暮＝{万x,滥xy宰,l违g(陷xy李)}墙，N巡＝{寸0,榨|x央|,构y}叠，并暗且M蜻＝N竹，那锤么(留x＋搏)＋杠（x哭＋乱）＋亿（x桥＋众）＋闻…蛮＋（摄x嫂＋盘）的晴值等稀于萄。侧周旋（8免7年父）触第三脚讲纷数列烛、数陪列递骑推、及数学历归纳勺法偶例1路.等脖比数具列{殃a饺}筝(9矛6年仿全国戒高中尽联赛伯)谱【分剖析】登【解烈】裳【小靠结】据练习听①议.②.③.班例2围.狡【分牛析】痰【解吐】曲【小楼结】贼练习贯①案.②.奉③冻.气例3烛.今【解耍】兄【小神结】脑练习某①怎.②.③.脱第三犁讲摘数列衬、数叨列递牧推、浙数学袋归纳绕法菌例1拐.等涛比数嗽列{薪a酒}创(9胸6年弓全国级高中胃联赛羽)肠【分究析】择【解挡】姻【小究结】侨练习摔①受.②.③.隆例2云.秘【分还析】坦【解万】惹【小蓬结】杏练习挣①锅.②.啄③聪.蛙例3炕.桨【解议】启【小泡结】仰练习哲①变.②.③.槐20掌01升年全戒国高挖中数谷学联漏合竞朴赛试富题蜓第一炮试桃(兽20四01级年1发0月那14紫日魂徐8:闸00熟—悠9:亦40肾)献一、蜓选择疯题(付每小虫题6悟分，抛满分部36碰分)凝已知舅a为彩给定搬的实蛛数，表那么孩集合序M＝挎{x敏|x夺2奥－珠3x莫－a堆2收＋2仆＝0席，x仓∈径R}蚊的子挡集的棉个数李为(尖叮却)具A.因1匙桂B.门2旋涝C.睡4商娱D.司不确遭定港命题串1惑长迹方体追中，压必存帜在到掌各顶昌点距圈离相清等的大点；滴命题荒2唤长涌方体之中，撑必存蜘在到威各棱厘离相煌等的胜点；泛命题序1静长喉方体碰中，位必存酬在到跟各面酿离相另等的牢点；为以上贵三个甘命题冶中正策确的该有(歌料鸣)屈A.占0个给凉B.苏1个殊乳C.健2个主柄D.毕3个男在四引个函呢数y颠＝s林in杆|x凭|，侨y＝吹co席s|浆x|嫌，y特＝|廉ct晶gx醉|，船y＝寿lg扎|s跪in浑x|兵中以盘π肢为周沾期、斯在(打0，但)上信单调维递增河的偶剥函数待是(临胞似)壮A.电y＝肾si晕n|暖x|波谷B.碎y＝俩co枯s|并x|砖蔑C.裂y＝这|c凑tg姐x|脚寺D.敢y＝扭lg津|s斗in据x|坚如果适满足差∠鹊AB妈C＝贷60迈°朗，A纪C＝错12希，B涂C＝签k的久△读AB扎C恰绍有一挎个，滑那么稠k的场取值狱范围插是(内柴墓)秘A.刮k＝志8昂B.团0＜恐k躁≤歇12勺光C.尼k氏≥沿12剂D.浸0沈＜k度≤拦12随或壳k＝浙8催若(存1＋弯x＋柿x耽2威)蜻10码00冈的展狱开式旱为a义0挂＋a助1极x＋竭a牧2皇x奸2拦＋袄……区＋a丛20的00镜x舅20街00别，则决a逃0舱＋a龟3况＋a狱6望＋a涌9母＋芦……绒＋a年19彻98驳的值卖为(辫露虾)另A.透3遵33骆3煮仿B.上3娇66假6航悲C.皱3基99成9秘兴D.海3欣20信01睁已知广6枝灰玫瑰备花与唱3枝范康乃虑馨的疤价格胆之和懒大于耽24您元，借二4倾枝玫狱瑰花歼与5挪枝康亭乃馨娃的价兰格之篇和小面于2月2元杯，则至2枝靠玫瑰献花的亭价格驱和3昂枝康取乃馨慌的价削格比加较结车果是皂(布复)弦A.闯2枝献玫瑰丑花价震格高慢替武B.韵3枝射康乃鬼馨价奸格高最C.笛价格金相同彻恒康D.冻不确运定竭二、续填空擦题(腥每小珍题9肿分，客满分晴54承分)惕椭圆段ρ泼＝寄的短滑轴长分等于嫌__脂__婚__甩__卸__腹__驾__各.灿若复仅数z膜1究，z伸2改满足奋|z喉1常|＝愧2，孟|z习2白|＝屿3，神3z捷1摊－2迷z转2夕＝再－个i驱，则津z颈1内z防2渗＝_吹__炼__酸__厦__骗__妻__体.铅正方鸦体A欺BC慈D－炒A挥1猴B申1帖C曾1乱D记1级的棱