黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中、克山一中等五校联考2024年高二上数学期末联考试题含解析

黑龙江省齐齐哈尔市克东县克东一中、克山一中等五校联考2024年高二上数学期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.272．已知函数，那么的值为（）A. B.C. D.3．在正方体中，，则（）A. B.C. D.4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.5．已知直线与圆交于A，B两点，O为原点，且，则实数m等于（）A. B.C. D.6．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（）A. B.C. D.7．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.28．圆截直线所得弦的最短长度为（）A.2 B.C. D.49．已知角为第二象限角，，则的值为（）A. B.C. D.10．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）A. B.C. D.11．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.12．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为________14．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______15．在中，，，，则__________.16．将连续的正整数填入n行n列的方阵中，使得每行、每列、每条对角线上的数之和相等，可得到n阶幻方.记n阶幻方每条对角线上的数之和为，如图：，那么的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）证明：AB⊥CF；（2）求点C到平面BEF距离；（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值18．（12分）已知函数（1）证明；（2）设，证明：若一定有零点，并判断零点的个数19．（12分）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，E的离心率为.短轴长为2.（1）求椭圆E的方程：（2）过点的直线l交椭圆E于A，B两点，是否存在实数t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.20．（12分）已知圆O：与圆C：（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答若______，判断这两个圆的位置关系；（2）若，求直线被圆C截得的弦长注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分21．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线（1）求及线段BC的长；（2）求△ADE的面积22．（10分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数，，，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【题目详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.2、D【解题分析】直接求导，代入计算即可.【题目详解】，故.故选：D.3、A【解题分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【题目详解】因为，而，所以有，故选：A4、A【解题分析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【题目详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5、A【解题分析】根据给定条件求出，再求出圆O到直线l的距离即可计算作答.【题目详解】圆的圆心O，半径，因，则，而，则，即是正三角形，点O到直线l的距离，因此，，解得，所以实数m等于.故选：A6、B【解题分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程【题目详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为故选：B7、B【解题分析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【题目详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【题目点拨】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.8、A【解题分析】由题知直线过定点，且在圆内，进而求解最值即可.【题目详解】解：将直线化为，所以联立方程得所以直线过定点将化为标准方程得，即圆心为，半径为，由于，所以点在圆内，所以点与圆圆心间的距离为，所以圆截直线所得弦的最短长度为故选：A9、C【解题分析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.【题目详解】∵，是第二象限角，∴，∴.故选：C.10、C【解题分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.【题目详解】由函数的图象可知,在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时,;当x∈(0,2)时,.因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选:C11、C【解题分析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选12、C【解题分析】由角平分线的性质可得，结合已知条件即可求双曲线的离心率.【题目详解】由题设，易知：，由知：，即，整理得：.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】先求出100名学生每周锻炼的平均时间，然后再求这100名学生每周锻炼时间的方差，从而可估计该校学生每周锻炼时间的方差【题目详解】由题意可得55名男生和45名女生的每周锻炼时间的平均数为小时，因为55名男生每周锻炼时间的方差为6；45名女生每周锻炼时间的方差为8，所以这100名学生每周锻炼时间的方差为，所以该校学生每周锻炼时间的方差约为，故答案为：14、【解题分析】设出动点，根据已知条件得到关于的方程.【题目详解】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.故答案为：15、【解题分析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【题目详解】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，则故答案为：16、34【解题分析】根据每行数字之和相等，四行数字之和刚好等于1到16之和可得.【题目详解】4阶幻方中，4行数字之和，得.故答案为：34三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解题分析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.小问1详解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，则，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小问2详解】因四边形ACEF为正方形，即，由(1)知两两垂直，以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，，，设平面的一个法向量，则，令，得，而，于是得点C到平面BEF的距离，所以点C到平面BEF的距离为.【小问3详解】由(2)知，，设平面的一个法向量，则，令，得，，设平面BEF与平面ADF夹角为，，则有，，所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.【题目点拨】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算18、（1）证明见解析；（2）证明见解析，1个零点.【解题分析】(1)求导同分化简，构造新函数判断导数正负即可；(2)令g(x)＝0，化简方程，将问题转化为讨论方程解的个数问题.【小问1详解】,设，则，时，递减，时，递增，而，所以时，，所以；小问2详解】有零点，则有解，即有解，又，则只要，因为，方程可以化为，现在证明有解，令，则，可知在递减，在递增，所以，因为，所以，在内恒有，而在递增，当x＝时，h()＝，故根据零点存在性定理知在存在唯一零点.所以有且只有一个零点，所以有零点，有一个零点【题目点拨】本题关键是是将方程零点问题转化为方程解的问题，通过讨论单调性和最值（极值）的正负即可判断零点的有无和个数.19、（1）（2）存在，【解题分析】(1)由条件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得椭圆E的方程：(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程化简可得，设，，可得，，由此证明，再证明当直线的斜率不存在时也成立，由此确定存在实数t，使得恒成立【小问1详解】由已知得，离心率，所以，故椭圆E的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设，，，联立方程组得，，所以，..，，所以.所以.当直线l的斜率不存在时，，联立方程组，得，.，，所以.综上，存在实数使得恒成立.【题目点拨】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20、（1）选①:外离；选②：相切;（2）【解题分析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.【小问1详解】选①圆O的圆心为，半径为l；圆C的圆心为，半径为因为两圆的圆心距为，且两圆的半径之和为，所以两圆外离选②圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，所以两圆外切【小问2详解】因为点C到直线的距离，所以直线被圆C截得的弦长为21、（1），BC＝6（2）【解题分析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，结合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形的面积.小问1详解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.【小问2详解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD为BC边的中线，∴，∴.22、（1）极小值为：，无极大值（2），，【解题分析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，求出公切线，代入后分别证明和成立即可.【小问1详解】由题意知：，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.【小问2详解】设，易知，所以点是和的公共点，要使成立，只需要为函数和的公切线即可，由（1）知，，所以在点处的切线为：，同理可得在点处的切线为：，由题意知为同一条直线，所以解得，即等价于；下面证明这个式子成立：首先证明等价于，设，所以，恒成立，所以单调递增，易知，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，故不等式成立，即成立；再证明：等价于，设，所以，所以当时，，当时，，所以在