山东省德州市夏津县双语中学2024届高二数学第一学期期末联考试题含解析

山东省德州市夏津县双语中学2024届高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形2．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.3．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A B.C. D.4．等轴双曲线渐近线是（）A. B.C. D.5．已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=16．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.7．函数的大致图象是（）A. B.C. D.8．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.9．已知数列满足且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列10．已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（）①若与共线，与共线，则与共线；②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.A.0 B.1C.2 D.311．均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A. B.C. D.12．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，的长度为2，且，则的长度为________14．抛物线的准线方程是，则实数___________.15．设函数为奇函数，当时，，则_______16．若双曲线的左、右焦点为，，直线与双曲线交于两点，且，为坐标原点，又，则该双曲线的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆C的方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，M是PB的中点，平面ABC，且，，.（1）求证:平面PAC；（2）求三棱锥M—ABC体积.19．（12分）已知数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和20．（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为，，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围21．（12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值22．（10分）如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【题目详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B2、B【解题分析】根据空间向量基本定理求解【题目详解】由已知故选：B3、A【解题分析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【题目详解】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A4、A【解题分析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.【题目详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.故选：A.5、A【解题分析】由题意得，双曲线的焦距为，即，又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质6、D【解题分析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【题目详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.7、A【解题分析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.【题目详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；因为，所以排除D；因为，所以排除C，故选：A.【题目点拨】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8、B【解题分析】根据代入计算化简即可.【题目详解】故选：B.9、D【解题分析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【题目详解】由，可得，所以，又由，，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，，，，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.10、B【解题分析】用向量共线或共面的基本定理即可判断.【题目详解】若与，与共线，，则不能判定，故①错误；若非零向量共面，则向量可以在一个与组成的平面平行的平面上，故②错误；不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；，∴与共面，故不能组成一个基底，故④错误；故选：C.11、C【解题分析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程.【题目详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，∴，则，故中，可得：.故选：C.12、A【解题分析】根据系统抽样的方法即可求解.【题目详解】从人中抽取人，除以,商余，故抽样的间隔为，需要随机剔除人.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设一组基地向量，将目标用基地向量表示，然后根据向量的运算法则运算即可【题目详解】设，则有：则有：根据，解得：故答案为：14、##【解题分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【题目详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：15、【解题分析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.【题目详解】函数为奇函数，当时，，所以.故答案为-1.【题目点拨】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.16、【解题分析】根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【题目详解】由直线与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，在三角形中，，所以，是以为直径的圆与双曲线的交点，不妨设在第一象限，，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，所以，由所以，又因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以，即，，所以离心率.故答案为：【题目点拨】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不一定共线，理由见解析【解题分析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.【小问1详解】由题意得，，设，，代入椭圆C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】当轴时，，设，，则由已知条件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以当时，点M，，N共线；所以当时，点M，，N不共线.所以点M，，N不一定共线.18、（1）证明见解析（2）2【解题分析】（1）依题意可得，再由平面，得到，即可证明平面；（2）连接，可证，即可得到平面，为三棱锥的高，再根据锥体的体积公式计算可得；【题目详解】（1）证明:因为是半圆的直径，所以.因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，且所以平面.（2）解:因为，，所以，.连接.因为、分别是，的中点，所以，.又平面.所以平面.因此为三棱锥的高.所以.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题.19、（1）；（2）【解题分析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.【题目详解】（1）当时,由得；当时,由得是首项为3,公比为3的等比数列当,满足此式所以（2）由（1）可知,【题目点拨】本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.20、（1）；（2）或或.【解题分析】（1）根据已知条件，求得的方程组，解得，即可求得椭圆的方程；（2）对的取值进行分类讨论，当时，根据三点共线求得，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合直线交椭圆两点，代值计算即可求得结果.【小问1详解】对椭圆，令，故可得，则，故，则，又，，故可得，则椭圆的方程为：.【小问2详解】直线与y轴交于点P，故可得的坐标为，当时，则，由椭圆的对称性可知：，故满足题意；当时，因为三点共线，若存在实数，使得，即，则，故可得.又直线与椭圆交于两点，故联立直线方程，与椭圆方程，可得：，则，即；设坐标为，则，又，即，故可得：，即，也即，代入韦达定理整理得：，即，当时，上式不成立，故可得，又，则，整理得：，解得，即或.综上所述：的取值范围是或或.【题目点拨】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的处理；解决本题的关键一是要求得的取值，二是充分利用韦达定理以及直线和曲线相交，则联立方程组后得到的一元二次方程的，属综合中档题.21、（1）单调递增区间是和，单调递减是；（2）函数的最大值是，函数的最小值是.【解题分析】（1）利用导数和函数单调性关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【小问1详解】，当，解得：或