山东省青岛胶州市2024学年高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析

山东省青岛胶州市2024学年高二数学第一学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数图象如图所示,则的解析式可以为A. B.C. D.2．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B.C. D.4．圆：与圆：的位置关系是（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离5．变量与的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.266．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.8．已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.9．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.10．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.10111．已知命题：抛物线的焦点坐标为；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.12．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______14．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.15．已知函数定义域为，值域为，则______16．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线：mx－（2－m）y－4=0与直线h：x+y－2=0的交点M在第一三象限的角平分线上.（1）求实数m的值；（2）若点P在直线l上且，求点P的坐标.19．（12分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃1天，得到如下数据：（1）求销量关于的线性回归方程；（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值.21．（12分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.22．（10分）如图，已知等腰梯形，，为等腰直角三角形，，把沿折起（1）当时，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】利用排除法：对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；对于C,当时，，当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；对于D,的定义域为，不符合题意；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项2、C【解题分析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【题目详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【题目点拨】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题3、C【解题分析】根据双曲线的定义求得，利用可得离心率范围【题目详解】因为，又，所以，，又，即，，所以离心率故选：C4、A【解题分析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.【题目详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，两圆心之间的距离，故两圆内切.故选：A.5、A【解题分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出、，将样本中心点带入回归方程，即可求得参数.【题目详解】设缺少的数值为，则，，因为回归直线方程经过样本点的中心，所以，解得.故选：A6、D【解题分析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【题目详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D7、A【解题分析】求出函数的导函数，再求出，然后利用导数的几何意义求解作答.【题目详解】函数，求导得：，则，而，于是得：，即，所以曲线在点处的切线方程为.故选：A8、B【解题分析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.【题目详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故选：B.9、B【解题分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【题目详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【题目点拨】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).10、C【解题分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【题目详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C11、D【解题分析】求出的焦点坐标，及等轴双曲线的离心率，判断出为假命题，q为真命题，进而判断出答案.【题目详解】抛物线的焦点坐标为，故命题为假命题；命题：等轴双曲线中，，所以离心率为，故命题q为真命题，所以为真命题，其他选项均为假命题.故选：D12、B【解题分析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案.【题目详解】解：设影长依次成等差数列，公差为，则，前9项之和，即，解得，所以立春的日影长为.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【题目详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为,则，由N是的中点，O为得中点，,故,又，所以，故答案为：414、27【解题分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【题目详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2715、3【解题分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.【题目详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，则，由值域为可得，所以，故答案为：3.【题目点拨】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.16、【解题分析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【题目详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（i）答案见解析（ii）或【解题分析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.【小问1详解】由题意可知,∵,且,∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，即，，，则点的轨迹方程为；【小问2详解】（i）设点，，直线的方程为，联立得，其中，且，，，∵曲线上一点，∴，由已知条件得直线和直线关于对称，则，即，整理得，，，，即，则或，当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，故直线的斜率为定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，当时，，，即，，，解得或，但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，当时，，即，，，解得（舍去）或，当时，直线方程为,故直线的方程为或.18、（1）3（2）【解题分析】（1）求出直线与直线的交点坐标，代入直线的方程可得值；（2）设，代入已知等式可求得值，得坐标【小问1详解】由得，即所以，【小问2详解】由（1）直线方程是，在直线上，设，则，解得，所以点坐标为19、（1）（2）24【解题分析】（1）求出，的值，根据公式求出的值，代入公式即可求出回归直线方程（2）根据（1）的结论，求出利润，根据二次函数的性质，即可求解【题目详解】解：（1）由题意得，，，，得，，所以关于的线性回归方程为：.（2）由题意得，每份菜获得的利润，∴当时，取最大值，∴单价应定为24元，可获得最大利润.【题目点拨】本题考查回归直线的求法与应用，着重考查计算化简的能力，属基础题20、（1）证明见解析；（2）；【解题分析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.【题目详解】（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因为平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设，,因为，则，解得，，，则.因此，直线与所成角的余弦值为.21、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解题分析】（1）分别求出命题和为真时对应的取值范围，即可求出；（2）由题可知，列出不等式组即可求解.【题目详解】解：（1）当a＝2时，命题q：2＜x＜4，∵命题p：x≤2或x＞6，，又为真命题，∴x满足，∴2＜x＜4，∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；（2）由题意得：命题q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要条件，，，解得，∴实数a的取值范围.【题目点拨】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含22、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）取的中点E，连，证明四边形为平行四边形，从而可得为等边三角形，四边形为菱形，