2024学年北京市西城35中数学高二上期末达标检测试题含解析

2024学年北京市西城35中数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则2．已知函数，则的值为（）A. B.C. D.3．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.4．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.6．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含8．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）A. B.C. D.19．过点且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.10．函数在的图象大致为（）A. B.C D.11．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C. D.12．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为___________.14．过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______15．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为_________16．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（12分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和20．（12分）已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.21．（12分）已知，，其中（1）已知，若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围22．（10分）已知离心率为的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若不过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【题目详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D2、C【解题分析】利用导数公式及运算法则求得，再求解【题目详解】因为，所以，所以故选：C3、C【解题分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.【题目详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.故选：C4、A【解题分析】根据事件的关系进行判断即可.【题目详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【题目点拨】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.5、A【解题分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【题目详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A6、B【解题分析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【题目详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.7、C【解题分析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【题目详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【题目点拨】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.8、A【解题分析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.【题目详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，解得，的面积为.故选：A.9、A【解题分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【题目详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A10、D【解题分析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.11、C【解题分析】运用点差法即可求解【题目详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C12、A【解题分析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【题目详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【题目详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，所以.故答案为：14、【解题分析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长.【题目详解】在椭圆中，，由题意可知，的周长为.故答案为：.15、##【解题分析】根据给定条件探求出椭圆长轴长与其焦距的关系即可计算作答.【题目详解】设椭圆长轴长为，焦距为，即，依题意，，而直线是圆的切线，即，则有，又点在椭圆上，即，因此，，从而有，所以椭圆的离心率为.故答案为：16、##【解题分析】根据共轭复数的概念，即可得答案.【题目详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）【解题分析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，选①:由，可得，解得，所以数列的通项公式为选②:由，可得，即，所以，解得，所以；选③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可得，所以.18、（1）（2）答案见解析【解题分析】（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解.【小问1详解】由，可得，则.∴，在中，，则，∵，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】选择条件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根据辅助角公式，可得，∵，∴，即，故选择条件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，则.在中，，∴.故.选择条件③由，得，即，整理得，由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.19、（1），（2）【解题分析】（1）利用求出通项公式，根据已知求出公比即可得出的通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【小问1详解】因为数列的前项和为，且，当时，，当时，，满足，所以，设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，，则，两式相减得，所以.20、（1）；（2）2.【解题分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【小问1详解】由题知，解得，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，由，得.得，，从而已知，可得.∵.设到直线的距离为，则，结合化简得此时的面积最大，最大值为2.当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2.21、（1）（2）【解题分析】（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.【题目详解】（1）由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，所以.（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由（1），，所以，即：【题目点拨】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有命题的真假判断与应用，充分不必要条件对应的等价结果，注意原命题与逆否命题等价，属于简单题目.22、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据，可设，，求出，得到椭圆的方程，代入点