学习概率论与数理统计lec126up

次试验中,A发生的次数nA称为A发生的频数.nA称为A发生的频率,nfn

实例5次、50次、500次7遍观察正面出现的次数及频率0fn(A)

试 n序号

n

n 21232123456

fn1,fn

0

1

051205120

(3)若A1,A2,,Ak是两两互不相容的,

10

0 fnA1UA2ULUAkfnA1fnA2LfnAk

2

0 0 20 0 f不一定相同n较小时,f的随机波动幅nf0.5附近摆动且逐渐稳定于..

德nfKKfH)n的增大1nn逐渐增

1933年，数学家哥提出了概A2L

P()证明An(n),则UAn,AiAj

i即ij时，AA (i,j=1,2,…),则 P()PUAnP(Ani

P(A1A2LAm P()P()0若A1,A2L,An是两两互不相容的,则 (3)设A,B为两个,且AB,P(A) P(BA)P(B)P(P(A1UA2ULUAn)P(A1)P(A2)LP(An证明An1An2L

证明

ABAU(BA). AA,ij,ijL 又(BAIAi

得P(BPAP(BP(A1UA2ULUAnPUAkPAkP(Ak 于是P(BAP(BPk k P(A1)P(A2)LP(An 又因P(BA) 故P(A) A,P(A) (6)(加 A,B证 AP(A)P() P(AUB)P(A)P(B)P(PA设A是A的对立,则P(A)1P(

证明AUBA(B A 证 QAA 且AI(BAB)PAPA)PAAP PAUBPAP(B P(A)1P( P(BAB)P(B)P(因此得PAUBPAP(BP推广三

例1设 A,B 的概率分别为和 1U2

(1)A与B2)AB3)PAB)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A2A3P(AA)P(AAA1 12

解(1)P(BA故P(BA)P(B1nP(A

AULUA

nP(A) P(AA

i

1 i

1i P(BA)P(B)P(A)236 P(AAA)L(1)n1P(AALA (3)P(BA)P(BAB)P(B)P(ij 1 1ijk

1132 例2已知A,B满足P(AB)P(APApQP(AB)P(AP(BP(AUB

A与A同时发生必导致A发生, PABPAB)P(AUB)1P(AUB 则PAPAPA P(A)P(B)1,P(B)1例3设P(A)a,P(B)b,P(AB)c,求P( 若A1A2A3解：P(AB)P(AB)P(A)P( P(A)P(A)P(A)P(A) P(A)[P(A)P(B)P(AP(AB)P(B)c A、B互不相容，P(A)0.6，P(AUB)0.8证明：QAA 则P(B)1P(AA1A2)P(A)P(A1A2)P(A)P(AA)P(A)P(A)P(AA

PAlnaP(B0.2,AB,求a的取值范围P(A)0.8,P(AB)0.1,P(AB)1 P(A)P(A)

1)A发生,但BB发生,AA,B A,B同时发生时 C也发生,则有 P(C)P(AP(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)

. 2.e0.2a(1)0.7；(2) 5.1),

定 设试验E的样本空间由n个样本构成,A为E的任意一个,且包含m个样本点则A出现的概率记为即Ω{12,Ln

P(A)

m A所包含样本点的个 1,2,L,n

注1º

从nr全排列：Pn=0!=ArPr n(n1)L(nr 组合组合

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1

法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第nCnrr!(nr)!

途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种、完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.问题1设箱中有β只黑球,现从袋中白球,b个黑球的概率(abβ)?A={所取球恰好含a个白球,b基本总数为:CabA所包含基本的个数为CaCb

问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放解A{前2次摸到黑球第3次摸到红球第3次摸到红球4 第2次摸到黑球6次摸摸C次摸摸故PAabC

故PA6641o问题在7位数的中,第一位不能为0，求数字0出现3次的9.633

问题1把4个球放到3个中去,求第1、2个中各有两个球的概率,其中假设每个可 (答案:p 11

9102o问题掷3颗均匀,求点数之和为4概率 (答案:p363 的所有放法333334种 4 问题2把4个球放到10个中去,每个只

解第1至第4个杯各放一个球的概率为4

p4p4p4

4321098p34 2

1o分房问题将张三、、3人等可能地(答案22o生日问题某班有20个学生都

例有n1/N被分配3某指定恰有m(m≤n)人 解1º先求样本空间所含的样本点总数(答案:p 3652010把n个人随机地分到N个房间中去,每一间，所以每一个人有N种分法,n个人共有Nn种分法,即2º(1)设A=“某指定n间各有一人”则A所含样本点数：Ann! P(A)

n!n

N分析对于B，由于未指定哪n个房间,所以这n间房可以从N个房间中任意选取,共有Cn种分法.而对于每一选定的n间房,其中NNCnNCn P(B) N设C=“某指定恰有m(m≤n)人n分析“某指定恰有m(m≤n)人”,这m个人可以从nCm种选法,而n

例假设每人的生日在一年365天中的任一天, 1去,共有(N1)nm种分法,所 1

365364L 641)nCm(N1)nmn

Cm(N

p1365364L(36564

P(C)

N

随机选取n(365)个人,他们的生日各不相同的概

p365364L(365n1)p1365364L(365n1)例1N件产品,D件次品,今从中任取n件,问其中恰有k(kD件次品的概率是多少?解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有

例2在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是?解设A为“取到的数能被6整除”,B种N “取到的数能被8整除”，则所求概率为P种 nDND

P(AB)P(AUB)1P(AU1{P(A)P(B)P(knk DNDN 333于是所求的概率为p knkn

334

所以PA)2000由于2000250,P(B8

250

例315名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问1级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3由于83

得PAB

P(AB)1{P(A)P(B)P(

15名新生平均分配到三个班级中的分法总数15105 15!333

83

555

250

每一个班级各分配到一名优秀生的法共有2000 2000

1284 3!

4!4!4!种444p 15!25

例4从5双不同的鞋子中任取4只,求4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少? 4!4!4!5!5! 解法1设A4对于每一种分法,其余12名新生的分法有12!种

A14A24只鞋子恰好配成2双,1 于是AA1A2且A1A2 2 68(312!)(2!5!5!)种,因此所求概率 则P(A)P(A1A2)P(A1)P(A23 C1[C222 C p 5 2!5!5!5!5!

C C 解法2设A4C4

例5某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知12次接待都是在周二和周四进行的,4P(A) 4C

8

解则PA1P 1813

周一周二周三周四周五周六

i}i33

n m p1

p71200000003. ,

不对 C1P2

一副52张

P(A1)

3964P3P3C1C49611

会,从45名代表中任选名组成工 ,求

C96

(1)某指定的班级 P(A1)

1. 2. 3.

4.

CCC32!

CCC22!05

5. C7;48C7;48

C74C78 6.P(A)C37

9P

C

P(B)1 8C 9 99定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且(长度面积、体积相同的子区域是等可能的，则A的概率可定义为P(A)SAS(其中S是样本空间的度量,SA是构成A的

例6甲、乙两人相0到T这段时间内,在预定地点会面先到的人等候另一个人经过时间t(t<T后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻且两人到达的时刻互不牵区域的度量.)这样借助于几何上的度量来合理规 解设x,y分别为甲、乙两人到达的定的概率称为几何概型 时刻,那么0xT,0yT说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,

xy

T yxxy

例6甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某又这段时间内有四班公共汽车，1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆p阴影部分面积T2(TtT1(1t)2T

车.求甲、乙同乘一车的概率ox ox12时的任何时刻到达车222211设 分别 1x1y

11:151:301:45 11:151:301:45的概率为p

4(1 (21)24

最多等一辆车,甲、乙p13(116)25 (

矩形区 S{(x,)0x,02 解以x表示针投到平面上时

所关心 直线的距离,表示针与该平行直线的夹角 A{针与某一平行直线相交 0xbsin2

0P(A)μ(G)G的面 μ(S P(A)πb0

根据频率的稳定性n很大时ma 2b

测出针与平行直线相交的次数m则频率值nPA的近似值代入上式 m2bπ2bn2 De

利用(MonteCarlo)法进行计算机模拟取a1,b例8在线段AD上任取两点BC.在BC的概率 依题意，

Q其中任一线段之长小于其余两线段之和0xlx,0yl且0lxyxy

设A“三线段能构成三角形” 0l(xy)样本空间0xl,0

ylU

则A:0xl,0yl lxy2

0

l/2

1(l

2 1l 2

(波动)n概率(稳定

(2)P(A)1P(P(AUB)P(A)P(B)PAmA所包含样本点的个数

设A,B为两个,且AB,P(A)P(B),P(AB)P(A)例1(中彩问题···,33共33个数字中任取

例2把10本书任意地放在书架上，求其中解A=“指定的3 mA1A3

83!7!3! 7解P(A)1

3!8!1 CC

P(A)

2.3407 2例3在编号为1,2,3,…,n的n张赠券中，采用无放

解n本空间样本点总数：nAkn A所含的样本点数：mAk1 概率分 1号赠 白

Ak1AkP(A) n1Akn其他赠 黑 (n1)(n[(n1)(k1)1]1 n(nL(nk 注此题不能直接用组合方法.原因：题目强 例4

例5 18 分 强 白 C 18 其他 黑 C

3解房，N=365(天n样本空间所包含的样本点总数：Nn(365)30 则PAn!N

3036530

则D1与D2互斥，且D

DCCn C30Cn则P(B) n

P(D)P(D)P(D)

C30 m

394(364)29Cm(NP(C)

C2

P(D)1P(D)例65个人在第一层进入11层楼的电梯,假如每解把楼层看成是房子,则此问题是5个人进入10

例7在簿中任取一个,求后(设后面四个数中的每一数都是等可能的取01…9.解随机试验是观察的后四位数字,因此可以认为样本空间Ω的样本点总数104,而后四位数字全不相同的样本点总数为A4 10

pA10/

例8设由7位数字组成(第一位数字不位数字

P1 9109

(5)7位数字含0不含解由0,1,9这十个数可以形成9×106

P291060.000001P39106 97896P4的P5

98966

例9掷五次,试求1恰好有3次点数相同的概率;

不出现6点的基本数是55,只出现一