课线代件另一42向量组秩

第二节

向量组的秩第四章

向量空间最大线性无关向量组向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系一、最大线性无关向量组定义1

若向量组V中的r个向量a1，1(1)a11，a

2，，a

r

线性无关；a

2，，a

r满足：(2)

"a

˛

V，a1，1

a2，，ar，a

线性相关．则称a11，a2，，ar为V的一个最大线性无关向量组．(简称最大或极大无关组)同一向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等a

，a

，，a线性无关，则 就是 的一11

2

n

11

2

na

，a

，，anR个最大无关组．一个向量组的最大无关组不唯一说明1、在条件(1)成立的情况下，条件(2)等价于"

a

˛

V，a

可由a1，1

a

2，，a

r

线性表出．2、向量组与其最大无关组等价.3、对线性无关的向量组来说,其本身就是最大无关组.4、在所有n维向量构成的向量组Rn

中,若有一向量组说明二、向量组的秩定义2

向量组的任一最大无关组所含向量个数称为该向量组的秩.向量组a1

,a

2

,,am

的秩记为r

{a1

,a

2

,,am

}.1、R

n的秩为n．2、只含零向量的向量组没有最大无关组，规定其秩为0.3、向量组线性无关的充要条件是其秩等于它所含向量个数.定理1

给定向量组

V1和

V2，若设

r{V1}=

r1,

r{V2}=

r2

.且V1

可由V2线性表出，则r1

£

r2

.证明：设U1

,

U2

分别为V1

,V2

的最大无关组，则U1

,

U2

所含向量个数分别为

r1

,

r2V1

可由V2线性表出

U1可由U2

线性表出又

U1线性无关，

\

r1

£

r2推论

等价向量组秩相等.反之不一定.【例1】已知

r(a1

,a

2

,,an

,

b

)

=

r(a1

,a

2

,,an

)

=

k,且r(a1

,a

2

,,an

,g)=k

+1,则r(a1

,a2

,,an

,b,g)=——【解】

由

r(a1

,a

2

,,an

,

b

)

=

r(a1

,a

2

,,an

)

=

k,知

b

可由

a

1

,a

2

,,an

线性表出，所以向量组a

1

,a

2

,,an

,b与

a1

,a

2

,,an等价，从而a

1

,a

2

,,an

,b

,g

与a

1

,a

2

,,an

,g

等价,故r(a1

,a

2

,,an

,b

,g)=r(a1

,a

2

,,an

,g)=k

+1【例2

】求向量组a1

,a2

,a3

,a4

,a5

,a6的最大无关组及秩．

0

0

1

1

-1

-1

1

2

0

1

1

1

1

2

1

0

2

1

1

2

1

0

2

0

a1

=

-1，a2

=

-2，a3

=

0，a4

=

-1，a5

=

-1，a6

=

-1方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。【解】构造A

=

(a1，a

2，a

3，a4，a5，a6

)

1

0

1

2

1

0

2

1

2

1

0

2 0

=

-1

-2

0

-1

-1

-10

1

-1

12

0

1

1-1

11

~行变换0

00

0

0

00

0

0

00

1

2

1

0

2

1

1

-1

1

00

0

0

0

-1

00

00

最大无关组:{a1，a

3，a

6

}，

{a1，a

4，a

6

}，

{a

2，a

3，a

6

}……\

r

{a1

，a

2

，a

3

，a4

，a5

，a6

}=

3.

00

00

1

2

1

0

2

1

1

2

0

1

1 0

0

1

-1

1

0

1

-1

1A

~

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

01

-1

~

0

00

00

00

00

\

a

2

=

2a

1a4

=1a1

+(-1)a3

=a1

-a3a5

=

1a1

+1a3

=

a1

+a3若取a

1

,a

3

,a

6作为最大无关组，则a

2

,a4

,a5能由其线性表出，线性表达式的系数可将A化成行最简形后直接得到．三、矩阵的秩与向量组秩的关系定理2

矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．说明:r(A)

=

rA有r阶非零子式存在，但A的所有r

+

1阶子式(若有的话)

全为零．A必有r个线性无关的列向量(或行向量)，而任一组多于r个(若有的话)的列向量(或行向量)必线性相关．结论：若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组，

Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组．定理3若A,B是任意的m×n

矩阵，数l

„0，则r(

A)

=

r(

AT

)，r(l

A)

=

r(

A)，r(

A

+

B)

£

r(

A)

+

r(B)若A是

m×s

矩阵,

B是

s×n

矩阵，则r(

A)

+

r(B)

-

s

£

r(

AB)

£

min

(r

(

A)，

r

(

B

))(3)

若A是

n阶

矩阵,

为其伴随矩阵，则有A*1,n,

r(A)=

nr(A)=

n

-

1

0,

r(A)£

n

-

2*r(A

)=证明(1)若A,B是任意的m×n矩阵,则r(A+B)≤r(A)+r(B).将A,B列分块，A

=(a1，a

2，，a

n

)，B

=(b1，b2，，bn

)则A

+B

=(a1

+b1，a

2

+b2，，a

n

+bn

)若r(A)=s

,r

(B)=t

，则可分别设向量组a

1，a

2，，a

n

与

b1，b2，，bn

的最大无关组为：a

i

,

a

i

,

,

a

i

;1

2

sb

j

,

b

j

,

,

b

j1

2

t从而向量组a

1

+b1，a

2

+b2，，a

n

+bn可由向量组a

i

,a

i

,

,a

i

,b

j

,b

j

,

,

b

j

线性表出．1

2

s

1

2

t\

r

{a1

+

b1，a

2

+

b2，，a

n

+

bn

}£

r

{a

i

1

,

ai

2

,

,

ai

s

,

b

j

1

,

b

j

2

,

,

b

j

t

}

£

s

+

t

r

(A

+

B

)£

r

(A

)+

r

(B

)(2)

对Am×s

,

B

s×n

有

r(

AB)

£

min

(r

(

A)，

r

(

B

))将A和AB列分块：A

=(a

1，，a

s

)，AB

=(g1，，gn

)11

bb

1n

b

s1

sn

(g1

,

,gn

)

=

(a1

,

,a

s

)

b知矩阵AB的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表出\

r(

AB)

£

r(

A)利用此结论可得：r

((

AB

)T

)=

r

(B

T

AT

)£

r

(B

T

)

即

r(

AB)

£

r(B)\

r

(

AB

)

£

min

(r

(

A)，r

(

B

))设B

=(bij)，则由【例3】设A为n阶方阵，且A2

=I

，证明：r(

A

+

I

)

+

r(

A

-

I

)

=

n【证明】r(

A

+

I

)

+

r(

A

-

I

)

=

r(

A

+

I

)

+

r(

I

-

A)‡

r(

A

+

I

+

I

-

A)

=

r(2I

)

=

nr(

A

+

I

)

+

r(

A

-

I

)

-

n£

r

((

A

+

I

)(

A

-

I

))

=

r(

A2

-

I

)

=

r(O)

=

0\

n

£

r(

A

+

I

)

+

r(

A

-

I

)

£

n

r(

A

+

I

)

+

r(

A

-

I

)

=

n一般地，对n阶方阵A，B，若AB＝O，则有r(

A)

+

r(B)

£

n又1

21

2

2

3

0

-5

4

6-2

-4

,A

=

(a

,

a

)

=

,B

=

(b

,

b

)

=

-1

31

-1

-5

93

-5

【例4】已知俩矩阵证明向量组a1

,a2与b1

,b2等价.由第三章方程组理论，其充要条件为r(B)=r(B

A)，及r(A)=r(A

B)亦即

r(

A)

=

r(B)

=

r(

A

B),B

=

AX

,

A

=

BY【证明】要证明两向量组等价，即证存在2阶方阵X、Y，使

(b1

,

b2

)

=

(a1

,

a2

)

X

, (a1

,

a2

)

=

(b1

,

b2

)Y

.

亦即矩阵方程同时有解。

2

-

1

1

-

5

3

0

-

2

6

-

4

3

-

5

3

-

1

9

-

53

2

3

-

5

4

-

2

6

-

4

-

1

1

-

5

3

-

1

9

-

51

2

1

2[

AB]

=

(a

,a

,b

,b

)

=

0~r13

0

2

-

6

4

-

101-

2-

563

-

4

05-

1510

13r

(2)4

r14

(3)~

-

1

1

-

5

0

-

2

6

-

4

5

-

15 10

0

2

-

613r

(2)

14r

~(3)

0

r3

r

244

r

23~2(

-

1

)(

1

)2(

-

5

)

00

0

-

1

1

-

5

3

0

1

-

3

20

0

0

0

000

.2

1

0

2

-

11

-

3

0

0

0

0

0

021r

(-1)r1

-

1)

0~故俩向量组

a1

,

a2

与b1